北邮概率论讲议第8讲.ppt
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2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,1,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,2,1、关于事件的条件数学期望,定义3.5.1设是概率空间(,F,P)上的随机变量,且E()存在,BF,P(B)0,(,F,PB)为(,F,P)在事件B下的条件概率空间,称为在给定事件B下的条件数学期望,记为E(|B)。,定理3.5.1若在上关于P的数学期望E()存在,P(B)0,则E(|B)存在,且,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,3,证明:(1)当为示性函数时,不妨假设,由定义3.5.3,有,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,4,(2)当为非负简单函数时,由可测函数积分的性质,即可证明。(3)当为非负随机变量时,利用单调收敛定理即可得证。(4)当为一般随机变量时,显然也成立。,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,5,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,6,则:,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,7,是一A-可测函数。可以从以下几个方面来理解A-可测函数的意义:,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,8,2、随机变量关于随机变量=x的条件数学期望前面给出了在=x条件下的条件分布函数F|(y|x),我们将F|(y|x)简记为F(y|x)。考虑积分。由于是E()的积分表达式,那么将理解为=x的条件下的条件数学期望是合理的,记为,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,9,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,10,二、关于给定-代数下的条件数学期望(不讲),为了帮助大家充分理解条件数学期望的概念,下面给出随机变量的条件数学期望例。,仅对连续型随机变量的情况给予说明:,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,11,例1:随机变量X、Y的取值为1,2,n,其概率分布为:,求E(Y|i),E(X|j)。,解:首先求出条件分布律为:,那么:,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,12,例2:设二维正态分布服从N(0,1;0,1;r),试求f(y|x),f(x|y),E(Y|x),E(X|y)。解:已知,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,13,同理可得:,而:,同理可得:,从此例可以看出,E(Y|x),E(X|y)分别是x和y的函数。而E(Y|X)=rX;E(X|y)=rY。,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,14,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,15,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,16,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,17,第六节几个重要的不等式,一、Chebyshev不等式,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,18,几个重要的不等式,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,19,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,20,三、Cr-不等式,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,21,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,22,解,例,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,23,解,例,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,24,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,25,解,例,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,26,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,27,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,28,第四章随机变量的特征函数,为什么要引入特征函数?,积分的逆运算是微分(或求导),而求导运算要比积分运算简单得多,因此是否可将求数学期望的积分问题简化为求导问题?,用分布函数求独立随机变量和的分布需要用卷积,是否可将卷积运算简化为乘积运算?,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,29,第一节随机变量的特征函数,一、随机变量的特征函数,定义4.1.1,知特征函数的定义有意义。,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,30,若为离散型随机变量,其分布律为:,若为连续型随机变量,分布函数为f(x),则的特征函数为:,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,31,例1,例2,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,32,例3,例4,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,33,例5,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,34,另解:,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,35,二、特征函数的性质,(1),证明:,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,36,(2),2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,37,(3),利用上述性质,可求正态分布的特征函数如下:,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,38,(4),2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,39,(5),例4.1.6请大家自学。,2020/5/26,北京邮电大学电子工程学院,40,例6,- 配套讲稿:
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