控制系统的数学模型习题及答案.pdf
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第二章 控制系统的数学模型 习题及答案 2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。其中外力 ,位移 和电压 为 输入量;位移 和电压 为输出量; (弹性系数), (阻尼系数), )(tF )(tx )(tu r )(ty )(tu c k f R (电阻) , C(电容)和 (质量)均为常数。 m 解 (a)以平衡状态为基点,对质块 m进行受力分析(不再考虑 重力影响),如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 2 2 )()( dt yd m dt dy ftkytF = 整理得 )( 1 )( )()( 2 2 tF m ty m k dt tdy m f dt tyd =+ (b) 如图解2-1(b)所示,取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 )()( 1 11 dt dy dt dx fxxk = (1) 对B点有 yk dt dy dt dx f 2 1 )( = (2) 联立式(1)、(2)可得: dt dx kk k y kkf kk dt dy 21 1 21 21 )( + = + + 10 (c) 应用复数阻抗概念可写出 )()( 1 1 )( 1 1 sUsI cs R cs R sU cr + + = (3) 2 )( )( R sUc sI = (4) 联立式(3)、(4),可解得: CsRRRR CsRR sU sU r c 2121 12 )1( )( )( + + = 微分方程为: r r c c u CRdt du u RCR RR dt du 121 21 1 += + + (d) 由图解2-1(d)可写出 Cs sIsIsIRsU cRRr 1 )()()()( += (5) )()( 1 )( sRIsRI Cs sI cRc = (6) Cs sIsIRsIsU cRcc 1 )()()()( += (7) 联立式(5)、(6)、(7),消去中间变量 和 ,可得: )(sI C )(sI R 13 12 )( )( 222 222 + + = RCssCR RCssCR sU sU r c 微分方程为 r rr c cc u RCdt du CRdt du u RCdt du CRdt du 222 2 222 2 1213 +=+ 2-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统(即有相同形式 的数学模型)。 解 (a) 取A、B两点分别进行受力分析,如图 11 解2-2(a)所示。对A点有 )()()( 1122 yyfyxfyxk & =+ (1) 对B点有 1111 )( ykyyf = & (2) 对式(1)、(2)分别取拉氏变换,消去中间变量 ,整理后得 1 y )( )( sX sY = 2 12 1 2 12 1 2 2 12 1 2 2 12 1 2 1 ()1 () ff f f ss kk k k ff f f f ss kk k k k + + 1+ + + (b) 由图可写出 sC R sU c 2 2 1 )( + = sC R sC R sC R sU r 1 1 1 1 1 2 1 1 1 )( + + 整理得 )( )( sU sU r c = 1)( 1)( 212211 2 2121 2211 2 2121 + + sCRCRCRsCCRR sCRCRsCCRR 比较两系统的传递函数,如果设 112 2112 1, 1, , 2 ,R kR kC fC f=则两系统的传递函数 相同,所以两系统是相似的。 2-3 假设某容器的液位高度 与液体流入量 满足方程h r Q r Q S h Sdt dh 1 =+ , 式中 为液位容器的横截面积, S 为常数。若 与 在其工作点 附近做微量变 化,试导出 关于 h r Q ),( 00 hQ r h r Q 的线性化方程。 解 将 h 在 处展开为泰勒级数并取一次近似 0 h h h hh dt hd hh h +=+= 0 00 2 1 | 0 (1) 代入原方程可得 )( 1 ) 2 1 ( )( 0 0 0 0 rr QQ S h h h Sdt hhd +=+ + (2) 在平衡工作点处系统满足 12 00 0 r Qh dt dh =+ (3 ) 式(2),(3)相减可得 的线性化方程 h r Qh h dt hd S =+ 0 2 2-4 试求图2-29所示各信号 的象函数 。 )(tx )(sX 解 (a) )(2)( 0 tttx += )(sX = st e ss 0 2 12 + (b) )()()()( 321 ttcttcbttabatx += = )(sX )()( 1 321 ststst ceecbeaba s + (c) = )(tx )( 4 ) 2 ( 4 ) 2 ( 44 2222 Tt T T t T T t T t T + )21( 4 )( 2 22 Ts s T ee sT sX += 2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。 (1) 1 )( = s e sX s (2) )3()2( 1 )( 3 + = sss sX (3) )22( 1 )( 2 + + = sss s sX 解 (1) 1 )( = t etx 13 (2) 原式 )3(3 1 24 1 )2(8 3 )2(4 1 )2(2 1 23 + + + + + + sssss x(t) 24 1 3 1 8 3 44 3222 2 + tttt eee t e t (3) 原式 1)1( 1 2 1 1)1( 1 2 1 2 1 22 2 1 2 1 222 + + + + = + ss s sss s s )(tx )cos(sin 2 1 2 1 tte t + 2-6 已知在零初始条件下,系统的单位阶跃响应为 ,试求系统 的传递函数和脉冲响应。 tt eetc += 2 21)( 解 单位阶跃输入时,有 s sR 1 )( = ,依题意 sss s sss sC 1 )2)(1( 23 1 1 2 21 )( + + = + + + = )2)(1( 23 )( )( )( + + = ss s sR sC sG tt ee ss LsGLtk = + + + = 211 4 2 4 1 1 )()( 2-7 已知系统传递函数 23 2 )( )( 2 + = sssR sC ,且初始条件为 , , 试求系统在输入 1)0( =c 0)0( =c& )(1)( ttr = 作用下的输出 。 )(tc 解 系统的微分方程为 )(2)(2 )( 3 )( 2 2 trtc dt tdc dt tcd =+ (1) 考虑初始条件,对式(1)进行拉氏变换,得 s sCssCssCs 2 )(23)(3)( 2 =+ (2) 2 2 1 41 )23( 23 )( 2 2 + + + = + + = ssssss ss sC tt eetc 2 241)( += 2-8 求图2-30所示各有源网络的传递函数 )( )( sU sU r c 。 14 解 (a) 根据运算放大器 “虚地”概念,可写出 1 2 )( )( R R sU sU r c = (b) 2 211 2211 1 1 1 1 2 2 )1)(1( 1 1 1 )( )( sCCR sCRsCR sC R sC R sC R sU sU r c + = + + = (c) )1( 1 1 )( )( 21 2 1 2 2 CsRR R R Cs R Cs R sU sU r c + = + = 2-9 某位置随动系统原理框图如图2-31所示,已知电位器最大工作角度 330 m Q 0 , 功率放大器放大系数为 。 3 k (1) 分别求出电位器的传递函数 ,第一级和第二级放大器的放大系数 , ; 0 k 1 k 2 k (2) 画出系统的结构图; (3) 求系统的闭环传递函数 )()( sQsQ rc 。 15 解 (1) 电位器的传递函数 11 180 180 330 30 0 0 0 0 = = m Q E K 根据运算放大器的特性,可分别写出两级放大器的放大系数为 3 1010 1030 3 3 1 = =K , 2 1010 1020 3 3 2 = =K (2) 可画出系统结构如图解2-9所示: (3) )1(1 1 )1( )( )( 321032 3210 + + + + + = sTs KKKKK sT KKKK sTs KKKKK sQ sQ m m m tm m m r c 1 1 1 3210 322 3210 + + + = s KKKKK KKKK s KKKKK T m tm m m 2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如图2-32所示,试求闭环传递函数 )()( sQsQ rc 。 解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数 68.0)42.018.1()7.09.0( )6.0(7.0 )( )( 23 + + = sKsKs s sQ sQ r c 16 2-11 已知系统方程组如下: = = = = )()()( )()()()()( )()()()()( )()()()()()()( 34 3523 36122 87111 sXsGsC sGsGsCsXsX sXsGsXsGsX sCsGsGsGsRsGsX 试绘制系统结构图,并求闭环传递函数 )( )( sR sC 。 解 系统结构图如图解2-11所示。 利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为 8432174321543632 4321 1)( )( GGGGGGGGGGGGGGGG GGGG sR sC + = 2-12 试用结构图等效化简求图2-32所示各系统的传递函数 )( )( sR sC 。 17 解 (a) 所以: 4321324321 4321 1)( )( GGGGGGGGGG GGGG sR sC + = (b) 所以: HG GG sR sC 2 21 1)( )( = (c) 18 所以: 3213221 321 1)( )( GGGGGGG GGG sR sC + = (d) 所以: 2441321232121 41321 1)( )( HGGGGGGHGGHGG GGGGG sR sC + + = (e) 所以: 23212121 321 4 1)( )( HGGHGHGG GGG G sR sC + += 19 2-13 已知控制系统结构图如图2-34所示,求输入 () 3 1()rt t= 时系统的输出 。 )(tc 解 由图可得 )3)(1( 2 )1( 12 2 1 12 2 )( )( 2 2 + = + + + + = Ss s ss ss sR sC 又有 s sR 3 )( = 则 3 1 1 323 )3)(1( 2 )( + + + = + = ssssSs sC 即 tt ee sss Ltc 31 32 3 1 1 32 )( += + + + = 2-14 试绘制图2-36所示系统的信号流图。 解 2-15 试绘制图2-36所示信号流图对应的系统结构图。 20 解 2-16 试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。 解 (a)图中有1条前向通路,3个回路,有1对互不接触回路 , 211143211 1 GGLGGGGP = , 21321323432 )(1 LLLLLGGLGGL += 4321324321 432111 1)( )( GGGGGGGGGG GGGGP sR sC + = = (b)图中有2条前向通路,1个回路 , HGLGPGP 21222111 11 = 1 1 L= HG GGPP sR sC 2 212211 1)( )( = + = (c)图中有1条前向通路,3个回路 , 21113211 1 GGLGGGP = , )(1 3213213322 LLLGGGLGGL += 3213221 32111 1)( )( GGGGGGG GGGP sR sC + = = (d)图中有2条前向通路,5个回路 21 , 11 241213211 = GGPGGGP , 414321323221211 GGLGGGLHGGLHGGL = , )(1 54321245 LLLLLHGL += 2441321232121 413212211 1)( )( HGGGGGGHGGHGG GGGGGPP sR sC + + = + = (e)图中有2条前向通路,3个回路 , = 24213211 1 GPGGGP , )(1 32123231221211 LLLHGGLHGLHGGL += 23212121 321 4 11 2 211 1)( )( HGGHGHGG GGG G P P PP sR sC + += += + = 2-17 试用梅逊增益公式求图2-37中各系统的闭环传递函数。 解 (a)图中有1条前向通路,4个回路 1 143211 = ,GGGGP 22 )(1 43212434 443213332121321 LLLLHGGL HGGGGLHGGGLHGGL += = , , 则有 243443213321132 432111 1)( )( HGGHGGGGHGGGHGG GGGGP sR sC + = = (b)图中有2条前向通路,3个回路,有1对互不接触回路 , 111243213211 111 HGLGGPGGGP += , 3213213332111 HHHGGGLHGLHGL = , 21321 )(1 LLLLL += 则有 33113213213311 11433212211 1 )1( )( )( HGHGHHHGGGHGHG HGGGGGGPP sR sC + + = + = (c)图中有4条前向通路,5个回路 , 1242321211 GGPGPGGPGP = , 2151242321211 GGLGGLGLGGLGL = , )(11 43214321 LLLL += 则有 + = 44332211 )( )( PPPP sR sC 2121 2121 21122211 122211 31 2 1 GGGG GGGG GGGGGGGG GGGGGG + + = + + = (d)图中有2条前向通路,5个回路 , 11 2321211 = GPGGP , 22135342132212121 HGHGLGLGGLHGGLHGL = ,)(1 54321 LLLLL += 则有 + = 2211 )( )( PP sR sC 221332122112 321 1 HGHGGGGHGGHG GGG + + = (e)图中有2条前向通路,3个回路,有1对互不接触回路 23 , 1234213211 11 LGGPGGGP = , 3232321211 HGLHGLHGGL = , 21321 )(1 LLLLL += 则有 213213223121 121343212211 1 )1( )( )( HHGGGHGHGHGG HGGGGGGGPP sR sC + + = + = 2-18 已知系统的结构图如图2-38所示,图中 为输入信号, 为干扰信号,试 求传递函数 )(sR )(sN )( )( sR sC , )( )( sN sC 。 解(a)令 0)( =sN ,求 )( )( sR sC 。图中有2条前向通路,3个回路,有1对互不接触回路。 , HGLGGPGGP 2123121211 111 += , 31321221 GGLGGLHGL = , 31321 )(1 LLLLL += 则有 HGGGGGGGHG HGGGGGPP sR sC 32131212 231212211 1 )1( )( )( + + = + = 令 ,求 0)( =sR )( )( sN sC 。有3条前向通路,回路不变。 , 111 22142111 = GGGPLP , 133143 1 LGGGP = , 31321 )(1 LLLLL += 则有 HGGGGGGGHG HGGGGGGGHGPPP sN sC 32131212 23142142332211 1 )1(1 )( )( + + = + = 24 (b)令 0)(0)( 21 = sNsN , ,求 )( )( sR sC 。图中有1条前向通路,1个回路。 , 1111 1 2 )1(2 1 2 L s sK L s Ks P = + + = + = 则有 )1(2)12()( )( 11 + = = KsK KsP sR sC 令 0)(0)( 2 = sNsR , ,求 )( )( 1 sN sC 。图中有1条前向通路,回路不变。 , 1 11 = sP 则有 )1(2)12( )2( )( )( 11 1 + + = = KsK ssP sN sC 令 0)(0)( 1 = sNsR , ,求 )( )( 2 sN sC 。图中有1条前向通路,回路不变。 , 1 2 2 11 = + = s K P 则有 )1(2)12( 2 )( )( 11 2 + = = KsK KP sN sC (c)令 ,求 0)( =sN )( )( sR sC 。图中有3条前向通路,2个回路。 , 111 3421324321421 = GGGPGGPGGP , )(1 21432421 LLGGLGGL += 则有 4342 4214342332211 1)( )( GGGG GGGGGGGPPP sR sC + + = + = 令 ,求 0)( =sR )( )( sN sC 。有1条前向通路,回路不变。 , 1 141 =GP 则有 4342 411 1)( )( GGGG GP sN sC + = = 25- 配套讲稿:
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