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河 南理 工大 概率 论答 案 概率论与 数理统计 第二章习 题答案 河南理工 大学数信 学院 马 学思 三解答 题 1. 解 : X 表示取出 的 3 个球中 的最大号 码,则 X 可能的取值 为 3,4,5. “ X =3” 表示 取的 3 个 球分别 是 1,2,3 号球 ,1 种情 况 “ X =4” 表示 取的 3 个 球分别 是 1,2,4 号球 或 1,3,4 号球或 2,3,4 号球, 3 种情况。 “ X =5” 表示 取的 3 个球分别是 1,2,5 号球或 1,3,5 号球或 1,4,5 号球或 2,3,5 号球 或 2,4,5 号球或 3,4,5 号球 ,6 种情 况。 则 10 1 1 ) 3 ( 3 5 = = = C X P , 10 3 3 ) 3 ( 3 5 = = = C X P , 5 3 6 ) 3 ( 3 5 = = = C X P X 的分布律 为 X 3 4 5 P 1/10 3/10 3/5 2 解 :X 表示两次抛 掷骰子中 小的点数 , Y 表示第 一次抛掷 骰 子 ,Z 表示第二 次抛掷骰 子,则 , min Z Y X = 36 / 11 36 / 1 6 / 1 6 / 1 ) 1 1 ( ) 1 ( = + = = = = = Z Y P X P 4 1 36 9 6 1 6 1 6 1 6 5 6 5 6 1 ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( = = + + = = = = + = = = Z Y P Z Y P Z Y P X P , , , 36 7 6 1 6 1 6 1 6 4 6 4 6 1 ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) 3 ( = + + = = = = + = = = Z Y P Z Y P Z Y P X P , , , 36 5 6 1 6 1 6 1 6 3 6 3 6 1 ) 4 4 ( ) 4 4 ( ) 4 4 ( ) 4 ( = + + = = = = + = = = Z Y P Z Y P Z Y P X P , , , 36 3 6 1 6 1 6 1 6 2 6 2 6 1 ) 5 5 ( ) 5 5 ( ) 5 5 ( ) 5 ( = + + = = = = + = = = Z Y P Z Y P Z Y P X P , , , 36 1 6 1 6 1 ) 6 6 ( ) 6 ( = = = = = = Z Y P X P , X 的分布律 为 X 1 2 3 4 5 6 P 11/36 9/36 7/36 5/36 3/5 1/36 3 解 : X 表 示首次成 功所需试 验的次数 , “ X =k ” 即前 k-1 次试验失 败,第 k 次试验成 功。 X 的分布律 为 1 , 4 1 4 3 75 . 0 25 . 0 ) ( 1 1 = = = k k X P k k X 取偶数的 概率为 5 1 75 . 0 25 . 0 ) 2 ( ) ( 1 1 2 1 = = = = = = k k k k X P X P 取偶数 4 解:( 1 )X 的 分 布函数为 = x x x x x F 3 1 3 2 6 5 2 1 2 1 1 0 ) ( (2 ) 2 1 ) 1 ( ) 2 1 ( = = = X P X P 3 1 ) 2 ( ) 2 5 2 1 ( = = = X P X P 2 1 ) 3 ( ) 2 ( ) 3 2 ( = = + = = X P X P X P 5 解 : X 表示途中遇 到红灯的 次数,显 然 ) 5 2 , 3 ( B X 。 125 27 ) 5 3 ( ) 0 ( 3 0 3 = = = C X P 125 54 ) 5 3 ( 5 2 ) 1 ( 2 1 3 = = = C X P 125 36 5 3 ) 5 2 ( ) 2 ( 2 2 3 = = = C X P 125 8 ) 5 2 ( ) 2 ( 3 3 3 = = = C X P X 的分布律 为 X 0 1 2 3 P 125 27 125 54 125 36 125 8 X 的分布函 数为 = 14 1 2500 2500 ) 002 . 0 1 ( 002 . 0 1 ) 14 ( 1 ) 15 ( ) 12 2500 2000 ( k k k k C X P X P X P 取 5 = = np ,用泊 松近似定 理计算并 查附表 1 得: 0002 . 0 ! 5 1 ) 14 ( 1 ) 15 ( 14 1 5 = = = k k e k X P X P (2 )保 险公司获 利不少 于 10000 元 的概率 986 . 0 ! 5 1 ) 10 ( ) 10000 2000 12 2500 ( 10 1 5 = = = k k e k X P X P 11 解 : X 表示某商店 从早晨开 始营业起 直到第一 个顾客的 等待时间 (1 ) 2 . 1 3 4 . 0 1 1 ) 3 ( ) 3 ( min) 3 ( = = = = e e F X P P 至多 (2 ) 6 . 1 4 4 . 0 ) 4 ( 1 ) 4 ( - 1 ) 4 ( min) 4 ( = = = = = e e F X P X P P 至少 (3 ) 3 4 . 0 4 4 . 0 ) 3 ( ) 4 ( ) 4 3 ( ) min 4 min 3 ( = = = e e F F X P P 之间 至 2 . 1 6 . 1 = e e (4 ) ) 4 ( ) 3 ( ) 4 3 ( min) 4 min 3 ( + = = X P X P X X P P 或 或至少 至多 2 . 1 6 . 1 4 4 . 0 3 4 . 0 1 1 ) 4 ( 1 ) 3 ( + = + = + = e e e e F F (5 )由 X 的分布函 数知, X 为连续随机 变量,故 0 ) 5 . 2 ( ) min 5 . 2 ( = = = X P P 恰好 12 解:( 1 )由概率 密度函数 的性质知 : 1 2 sin ) ( 0 = = = + C dx x C dx x f 得 2 / 1 = C (2 ) ) ( ) ( a X P a X P dx x dx x a a = sin 2 1 sin 2 1 0 a a cos 1 cos 1 + = 2 = a 13 解 : (1 )P (X2)=F X (2)= ln2 , P (0X3)= F X (3) F X (0)=1 , 4 5 ln 2 ln 2 5 ln ) 2 ( ) 2 5 ( ) 2 5 2 ( = = = X X F F X P (2 ) = = 其它 , 0 , 1 , 1 ) ( ) ( e x x x F x f 14 解:( 1 ) X 的概率 密度为 = 其它 , 0 , 2 1 ), / 1 1 ( 2 ) ( 2 x x x f 当 1 x 时, 0 ) ( = x F 当 2 1 x 时, ) 2 / 1 ( 2 ) / 1 1 ( 2 ) ( ) ( 1 2 + = = = x x dt t dx x f x F x x 当 2 x 时, 1 ) ( = x F 故 X 的分布 函数为 + = 3 , 1 3 1 ), 2 / 1 ( 2 1 , 0 ) ( x x x x x x f (2 ) X 的 分布函数 为 + = 2 , 1 2 1 , 2 2 1 1 0 , 2 0 , 0 ) ( 2 2 x x x x x x x x f 15 解 : (1 )由 1 ) ( lim 1 = x F x 得 1 = A (2 ) X 落 在区间(0.3 ,0.7 )内的概 率为 4 . 0 3 . 0 7 . 0 ) 3 . 0 ( ) 7 . 0 ( ) 7 . 0 3 . 0 ( 2 2 = = = X X F F X P (3 ) X 的 概率密度 为 = 其他 , 0 1 0 , 2 ) ( x Ax x f 16 解 :设 K 在(0 ,5 )上服从均匀分布,求方程 0 2 4 4 2 = + + + K xK x 有实根的概率 K 的分布密 度为: = 其他 0 5 0 0 5 1 ) ( K K f 要方程有根,就是要 K 满足(4K) 2 44 (K+2) 0 。 解不等式,得 K 2 时, 方程有实根。 5 3 0 5 1 ) ( ) 2 ( 5 5 2 2 = + = = + + dx dx dx x f K P 17 解 :设 ) 2 , 3 ( 2 N X (1 )求 P (23) 若 X N ( , 2 ) ,则 P ( X )= P (2X5) = 2 3 5 2 3 2 = (1)( 0.5) =0.8413 0.3085=0.5328 P ( 42)=1 P (|X| C )=1 P (XC )= P (XC) 得 P (XC )= 2 1 =0.5 又 P (XC )= 0 2 3 , 5 . 0 2 3 = = C C 查表可得 C =3 (3 ) 9 . 0 ) 2 3 ( 1 ) 2 3 2 3 ( ) ( = = d d X P d X P 1 . 0 ) 2 3 ( d 282 . 1 2 3 d 436 . 0 d 18 解:( 1 )事件 A 记为电子 元件损坏 ,则 ) 200 ( ) 240 200 | ( ) 200 ( ) 200 | ( ) ( + X P X A P ) 25 220 240 ( 1 2 . 0 ) 25 220 200 ( ) 25 220 240 ( 001 . 0 ) 25 220 200 ( 1 . 0 + + = ) 8 . 0 ( 1 2 . 0 ) 8 . 0 ( ) 8 . 0 ( 001 . 0 ) 8 . 0 ( 1 . 0 + + = ) 8 . 0 ( 1 2 . 0 ) 8 . 0 ( ) 8 . 0 ( 001 . 0 ) 8 . 0 ( 1 . 0 + + = 064 . 0 = (2 ) ) ( ) , 240 200 ( ) | 240 200 ( A P A X P A X P = = 009 . 0 064 . 0 ) 8 . 0 ( ) 8 . 0 ( 001 . 0 ) ( ) 240 200 ( ) 240 200 | ( = = e e dx e dx x f X P x x X 因此 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ( , ) 1 ( 5 ) ( ). , 5 ( 5 2 2 2 = = = k e e k k Y P e B Y k k 即 . 5167 . 0 4833 . 0 1 8677 . 0 1 ) 1353363 . 0 1 ( 1 ) 389 . 7 1 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 0 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 5 5 5 5 2 = = = = = = = = = e Y P Y P Y P 20 解:( 1 )由随机 变量分布 律的性质 1 = k k P 知 1 15 1 5 1 5 1 6 1 5 1 = + + + + + 得 30 11 = (2 )由 题意知 X -2 -1 0 1 3 2 2 + = X Y 6 3 2 3 11 P 5 1 6 1 5 1 15 1 30 11 故Y 的分布 律为 2 2 + = X Y 2 3 6 11 P 5 1 30 7 5 1 30 11 (3 )Y 的 分布函数 为 = 11 , 1 11 6 , 30 19 6 3 , 30 13 3 2 , 5 1 0 , 0 ) ( y y y y y y F 21 解 :X 服从(1,2 )上的均 匀分布, 则 X 的密 度函数为 = 其他 0 2 1 1 ) ( x x f 当 2 e y 时, 0 ) ( ) ( 2 = = = y e Y P y F X 当 4 2 e y e 时, y dy y X P y e Y P y F y X log 2 1 ) log 2 1 ( ) ( ) ( log 2 1 1 2 = = = = = 当 4 e y 时, 1 ) ( ) ( 2 1 2 = = = = dy y e Y P y F X 故Y 的分布 函数为 = 4 4 2 2 , 1 , log 2 1 , 0 ) ( e y e y e y e y y F 则Y 的概率 密度为 = 其他 0 2 1 ) ( 4 2 e y e y y f 22 解 :由 3 2 ) ( = k X P 得 3 1 ) ( = k X P 也即 3 1 ) ( 0 = k dx x f 由 ) (x f 的表达式得到, 3 1 k 23 解 :X 的概率密 度函数为 = 其他 0 2 1 3 1 ) ( x x f 3 2 3 1 ) ( ) 0 ( ) 1 ( 2 0 0 = = = = = + dx dx x f X P Y P 3 1 3 1 ) ( ) 0 ( ) 1 ( 0 1 0 = = = = = dx dx x f X P Y P 所以Y 的分布律为 Y -1 1 P k 3 1 3 2 24 解 : X 的 概率密度 为 = 其他 0 1 0 2 ) ( x x x f 01 . 0 2 ) 1 . 0 ( 1 . 0 0 = = = 1 0 1 2 1 ) ( ) 1 ( 2 1 1 y y e y f y Y (2 )当 时 1 y = = = = y X dx x f y X P y e P y Y P y F log 0 2 ) ( log ( ) ( ) ( ) ( 2 log log 0 1 ) (log 1 ) ( ) ( 2 y e y f y dx x f y f y y Y = = = = 故 X e Y = 1 的概率 密度为 = 1 0 1 1 ) ( 2 2 y y y y f Y (3 )当 时 0 y = = = = y dx x f y X P y X P y Y P y F 0 2 3 ) ( ( ) ( ) ( ) ( y y Y e y y f y dx x f y f = = = 2 1 2 1 0 2 1 ) ( 2 1 ) ( ) ( 3 故 2 3 X Y = 的概率 密度为 = 0 0 0 2 1 ) ( 2 1 1 y y e y y f y Y 28 证明 :随机变量 X 服从参数 为 2 的 指 数分布, 则 X 的概率 密度函 数为 R x xe x f x = , ) ( 2 当 1 0 y 时, ) 1 log( 2 1 ( ) 1 log( 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( 2 y F y X P y e P y Y P y F X X = = = = Y 在区间(0,1 )上的 概率密度 函数为 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 ) 1 log( 2 1 ( ) 1 log( 2 1 ( ) ( ) 1 log( = = = = y X X e y y y f y F y f 所以Y 在区 间(0,1 ) 上服从均 匀分布。 习题 3 三、解答题 1. 将两封 信任意地投入 3 个空邮 筒中, 以 X、Y 分别表示放 入第 1 、2 号 邮筒中信的数目, 求:(1) ) , ( Y X 的分布律,(2)第 3 号邮筒中至少有一封信的概率. 解 X、Y 各 自可能的取值均为 0 、1 、2 , (1) ) , ( Y X 的分布律为: (2) 第 3 号邮 筒中至少有一封信的概率: PX+Y 1=PX=0, Y=0+PX=0, Y=1+PX=1, Y=0=5/9 2. 设二维离散 型随机变量的联合分布如下表: Y 0 1 0 1/9 2/9 1 2/9 2/9 2 1/9 0 X Y X 1 2 3 4 1 1/4 0 0 1/16 2 1/16 1/4 0 1/4 3 0 1/16 1/16 0 求:(1) 4 0 , 2 3 2 1 Y X P ;(2) 4 3 , 2 1 Y X P . 解: (1) 4 0 , 2 3 2 1 Y X P = 1 , 1 = = Y X P + 2 , 1 = = Y X P + 4 , 1 = = Y X P =1/4. (2) 4 3 , 2 1 Y X P = 3 , 1 = = Y X P + 4 , 1 = = Y X P + 3 , 2 = = Y X P + 4 , 2 = = Y X P =5/16. 3. 设随机变量 (X,Y )概 率密度为 = 其它 , 0 4 2 , 2 0 ), 6 ( ) , ( y x y x k y x f (1 )确定常 数 k ; (2 )求 P X1, Y3; (3 )求 P (X1.5 ; (4 )求 P (X+Y 4 。 分析:利用 P (X, Y) G= = o D G G dy dx y x f dy dx y x f ) , ( ) , ( 再化为累次积分,其中 = 4 2 , 2 0 ) , ( y x y x D o 解 :( 1 ) + + = = 2 0 1 2 ) 6 ( ) , ( 1 dydx y x k dy dx y x f , 8 1 = k (2 ) 8 3 ) 6 ( 8 1 ) 3 , 1 ( 3 2 1 0 = = dy y x dx Y X P (3 ) 32 27 ) 6 ( 8 1 ) , 5 . 1 ( ) 5 . 1 ( 4 2 5 . 1 0 = = = dy y x dx Y X P X P (4 ) 3 2 ) 6 ( 8 1 ) 4 ( 4 0 2 0 = = + dy y x dx Y X P x 4. 设(X,Y) 在曲 线 x y x y = = , 2 所围成的区域 G 内 服从均匀分布,求:(1) ); , ( y x f (2) 1 + Y X P . 解:(1) 区域 G 的面积 为: = = = 1 0 2 6 1 ) ( dx x x dxdy S G G 于是: = 其他 0 , 1 0 6 ) , ( 2 x y x x y x f 。 (2) 1 + Y X P = 1 6 1 0 2 = x x dydx 5. 已知随机 变量 1 X 和 2 X 的概率分布为: 而且 1 0 2 1 = = X X P ,求 1 X 和 2 X 的联合分布律。 解:由题意知 0 0 2 1 = X X P ,于是 0 1 , 1 1 , 1 2 1 2 1 = = = = = = X X P X X P ,由联 合,边缘分布律的关系,得下表: X 2 X 1 0 1 P i. -1 1/4 0 1/4 0 0 1/2 1/2 1 1/4 0 1/4 p .j 1/2 1/2 1 6. 设二维随 机变量(X,Y )的概率 密度为 = 其它 0 . 0 , 1 0 ) 2 ( 8 . 4 ) , ( x y x x y y x f 求 ) ( ), ( y f x f Y X 。 解: = = + 其它 0 1 0 ) 2 ( 8 . 4 ) , ( ) ( 0 x dy x y dy y x f x f x X = 其他 0 1 0 ) 2 ( 4 . 2 2 x x x = = + 其它 0 1 0 ) 2 ( 8 . 4 ) , ( ) ( 1 y dx x y dx y x f y f y Y = + 其他 0 1 0 ) 4 3 ( 4 . 2 2 y y y y 7. 设二维随 机变量(X,Y )的概率密 度为 = . , 0 0 , ) , ( 其它 y x e y x f y x y 2 X 0 1 P 1/2 1/2 1 X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 求:(1) 随机 变量 X 的概率密度函数 ) (x f X ; (2) ; 1 + Y X P (3) 条件密度函数 ) ( x y f X Y ; (4) 概率 4 2 4 x 时, = = 其他 0 ) ( ) , ( ) ( x y e x f y x f x y f y x X X Y ; (4) 4 2 4 2 4 2 4 2 4 3 4 2 4 2 , 4 4 2 4 = = = e e e e dx e dydx e X P X Y P X Y P x x y ; (5) = = = = = 4 2 4 2 2 2 1 ) 2 ( 2 4 e dy e dy x y f X Y P y X Y . 8. 设二维随机 变量(X,Y)的 概率密度为 = 其他 0 , 1 0 1 ) , ( x y x y x f 求条件概率密度 ) ( y x f Y X . 解 = = = 其他 其他 0 1 1 0 1 0 0 1 ) , ( ) ( 1 1 y y y dx y dx dx y x f y f y y Y , 当 1 1 y 时, = = 其他 0 1 1 1 ) ( ) , ( ) ( x y y y f y x f y x f Y Y X 。 9. 已知随机变 量 Y 的概率密度为 = 其他 0 1 0 5 ) ( 4 y y y f Y ,在给定 y Y = 的条件下,随机 变量 X 的条件概率密度为 X P 。 解 = . 0 , 0 0 , 2 1 ) ( 2 y y e y f y Y 且知 X, Y 相 互独立, 于是(X,Y) 的联合密度为 1 y=x 2 x o y D = = 其它 0 0 , 1 0 2 1 ) ( ) ( ) , ( 2 y x e y f x f y x f y Y X (2)由于 a 有实跟根,从而判别式 0 4 4 2 = Y X 即: 2 X Y 记 0 , 1 0 | ) , ( 2 x y x y x D = dx e de dx dy e dx dxdy y x f X Y P x x y y D x = = = = 1 0 1 0 2 0 2 2 1 0 0 2 2 2 2 1 2 1 ) , ( ) ( 1445 . 0 8555 . 0 1 3413 . 0 5066312 . 2 1 ) 5 . 0 8413 . 0 ( 2 1 ) 2 ( ) 1 ( ( 2 1 2 1 2 1 0 0 2 2 = = = = = = dx e x 11. 设 X 和 Y 相互独立,其概率分布如表所示,求: (1) (X,Y)的联 合概率分布; (2) 1 = + Y X P ; (3) 0 + Y X P . Y -1/2 1 3 p i 1/2 1/4 1/4 解 (1) (X,Y)的联 合概率分布律 X Y -2 -1 0 1/2 P i. -1/2 1 3 1/8 1/16 1/16 1/6 1/12 1/12 1/24 1/48 1/48 1/6 1/12 1/12 1/2 1/4 1/4 p .j 1/4 1/3 1/12 1/3 1 (2) 1 = + Y X P = 12 / 1 1 , 0 3 , 2 = = = + = = Y X P Y X P . (3) 0 1 0 = + = + Y X P Y X P = 2 / 1 , 2 / 1 1 , 1 1 = = = = Y X P Y X P =3/4. X -2 -1 0 1/2 p i 1/4 1/3 1/12 1/3 12. 某旅客到 达火车站的时间 X 均匀分布在早上 7:558:00, 而火车这段时间开出的时间 Y 的概率密度为: = 其他 0 5 0 25 ) 5 ( 2 ) ( y y y f Y 求此人能及时上火车的概率。 解 X 的密度函数为 = 其他 0 5 0 ) ( 5 1 x x f X 由题意知,随机变量 X 与 Y 相互独立,于是,此人能及时赶上火车的概率为 = = = + = + = = + + + 其他 其他 0 0 ) 1 ( 0 0 ) ( ) , ( ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 x e x x dy e y x dy y x f x f x y x X ; + = + = = + + + 其他 其他 0 0 ) 1 ( 0 0 ) ( ) , ( ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 y e y y dx e y x dx y x f y f y y x Y 因为, ) ( ) ( ) , ( y f x f y x f Y X ,故 X 与 Y 不相互独立。 (2) 因为 dx x z x f z f Z + = ) , ( ) ( ,而 = 其他 0 0 , 0 2 1 ) , ( x z x ze x z x f z 于是 = = = + 0 0 0 0 0 0 ) , ( ) ( 2 2 1 0 2 1 z z e z z z dx ze dx x z x f z f z z z Z 。 17. 设随机变 量 X 与 Y 相 互独立,若 X 服从(0,1) 上的均匀分布,Y 服从参数为 1 的 指数分 布,求随机变量 Z=X+Y 的概率密度。 解 X 的密度函数为 = = + 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 ) , ( ) ( 1 1 0 ) ( 0 ) ( z e e z e z z dx e z dx e z dx x z x f z f z z z x z z x z Z 18.已知 X,Y 相互独立, 若 X 与 Y 分别服从(0,1) 与(0,2) 上的 均匀分布, 求 , max Y X U = 和 , min Y X V = 的概率密度。 解 X 的密度函数和分布函数分别为 = 其他 0 1 0 1 ) ( x x f X = x x x x x F X 1 1 1 0 0 0 ) ( Y 的密度函数和分布函数分别为 = 其他 0 2 0 ) ( 2 1 y y f Y = y y y y y F Y 2 1 2 0 2 / 0 0 ) ( 因为 X,Y 相互独立,于是 , max Y X U = 的分布函数为 = = u u u u u u u F u F u F Y X U 2 1 2 1 2 / 1 0 2 / 0 0 ) ( ) ( ) ( 2 U 的密度函数为 = 其他 0 2 1 2 / 1 1 0 ) ( u u u u f U , min Y X V = 的分布函数为 = = v v v v v v F v F v F Y X V 1 1 1 0 2 2 3 0 0 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( 2 V 的密度函数为 = 其他 0 1 0 ) ( 2 3 x v v f V 19. 设(X,Y)的概率密度为 + + = 0 0 0 ) ( 2 2 z z ze z f z Z ). ( ) 2 ( ; 0 | 2 1 ) 1 ( , 0 1 0 1 ) ( , 1 , 0 , 1 , 3 1 . 20 z f Z X Z P Y X Z y y f Y i i X P X Y X Z Y 的概率密度 求 记 , 其他 的概率密度为 的分布律为 相互独立, 与 设随机变量 = + = = = = = 解 (1) = = + = = 2 1 0 2 1 0 2 1 Y P X Y X P X Z P = 2 1 . (2) Z 的分布 函数为 ) ( z Y X P z Z P z F Z + = = 当 2 z 时, 1 ) ( ) ( = = + = S P z Y X P z F Z 。 当 1 z 时, 0 ) ( ) ( = = + = P z Y X P z F Z 。 当 2 1 z 时, ) ( z Y X P z F Z + = = 1 1 = = + X P X z Y X P + 0 0 = = + X P X z Y X P + 1 1 = = + X P X z Y X P = ) 1 1 ( 3 1 + + + z Y P z Y P z Y P 1) 当 0 1 z 时, ) 1 ( 1 ) ( 3 1 3 1 + = + = z z Y P z F Z 2) 当 1 0 z 时, ) 1 ( ) 1 ( ) ( 3 1 3 1 + = + = z z Y P z F Z 3) 当 2 1 z 时, ) 1 ( ) 1 1 1 ( ) ( 3 1 3 1 + = + + = z z Y P z F Z 于是,综上所述, + = 2 1 2 1 ) 1 ( 1 0 ) ( 3 1 z z z z z F Z 故,Z 的概率密度为 = 其他 0 2 1 ) ( 3 1 z z f Z 的概率密度函数。 求: 其他 的概率密度函数为 设随机变量 Y X Z x y x x y x f Y X = = 0 0 , 1 0 3 ) , ( ) , ( . 21 解 Z 的分布函数为 = = = z y x Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F ) , ( ) ( 当 0 z 时, 0 ) ( = z F Z 。 当 1 0 z 时, = = z y x Z dxdx y x f z Y X P z F ) , ( ) ( = 3 1 0 0 2 1 2 3 3 3 z z xdy dx xdy dx z x z z x z x = + 当 1 z 时, 1 ) ( = z F Z 。 故 Z 的分布 函数为 = 1 1 1 0 0 0 ) ( 3 2 1 2 3 z z z z z z F Z Z 的概率密度为 = 其他 0 1 0 ) 1 ( ) ( 2 2 3 z z z f Z 。 第四章 1. 解:由 4 1 ( ) 0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 1, kk k EX xp = = =+ += 4 1 ( ) 0 0.3 1 0.5 2 0.2 3 0 0.9, kk k EY y p = = =+ += 因为 ( ) ( ), E X EY = = 00 1 0 11 9 10 10 1 (0.1) (1 0.9) (0.1) (1 0.9) 0.2639 CC = = , 所以 X (4, ) Bp ,即 X (4, 0.2639) B 则 ( ) 4 0.2639 1.0556 EX= =. 4. 解:因为 22 0 11 ( )d d 2 d (1 ) (1 ) xf x x x x x x xx + + + = + + , 故 () x f x dx + 发散,所以 X 的数 学期望不存在. 5. 解: 3 0 1 () 9 ( )d d x E X x xe xf x x x + + = = 2 33 0 0 11 2d 33 xx x e xe x + + = + 33 0 0 2 2d 6 xx xe e x + + = += . 所以一天的平均耗电量为 6. 6. 解: 1 2 1 1 () 1 ( )d d 0 EX x x xf x x x + = = = . 7. 解: 5 1 1 1 11 1 1 1 ( ) ( 1) 0 1 2 3 6 2 6 12 4 3 kk k EX xp = = =+= , 5 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 12 (1 1) (0 1) ( 1) ( 1 1) ( 2 1) , 3 6 2 6 12 4 3 kk k EX x p = += + =+= 2 5 2 2 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 35 ( ) ( ) ( 1) 0 1 2 3 6 2 6 12 4 24 kk k EX x p = = =+ += . 8. 解: (1) 2 0 () 2 ()() d d 4 x EY x e gxf x x x + + = = = ; (2) 23 00 1 () 3 ()() d d d xx x EY e e e gxf x x x x + + + = = = = . 9. 解: 33 11 () i ij ji EX xp = = = 3 9 333 1 1 0 0 0 1 1 10 2 20 20 28 28 28 14 14 28 2 = + + + + + += 33 11 () j ij ij EY yp = = = 33193 3 3 0 0 0 1 1 10 2 20 20 28 14 28 28 14 28 4 = + + + + + += 13 1 ( ) ( ) () 24 4 EX Y EX E Y = = . 10. 解: 2 11 22 00 1 14 ( ) d d 12 d , 25 ( , )d 12 d y y EX y y y y xf x y x x y x + + = = = () d ( , )d EY y yf x y x + + = 11 23 00 1 3 d 12 (1 )d , 5 12 d y y y yy y yx = = 2 11 23 00 1 11 ( ) d d 12 d , 22 ( , )d 12 d y y E XY y y y y xyf x y x xy y x + + = = = 1 2 2 22 22 2 0 1 16 ( ) ) d ) d. 15 ( ( , )d ( 12 d y EX Y y y y y x f xy x x y x + + += + + = = 11. 解: 1 2 0 2 ( ) ( )d 2 d 3 X E X xf x x x x + = = = , ( 5) 5 ( ) ( )d d 6 y X E Y yf x y ye y + + = = = , 因为 X 和Y 相互独立,故 2 ( ) ( )() 6 4 3 EX Y EXE Y = =. 12. 解:设 ( 1, 2, , 8) i Xi = 为第 i 颗骰子所掷出的点数,则 ( 1, 2, , 8) i Xi = 的分 布律为 1 , 1,2,3,4,5,6 6 i PX k k = = = 故 66 11 7 ( ) , 1, 2, , 8 62 ik kk k E X kp i = = = = = = 所以 88 8 11 1 7 ( ) ( ) 28 2 ii ii i E X EX = = = = = = . 13. 解:设 i X 为 1, 0 i ii X ii = 第 球 放 到 第 只 盒 子 中; , 第 球 未 放 到 第 只 盒 子 中, 则 i X 的分布律为 i- 配套讲稿:
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