同济大学弹性力学知识点复习.pdf
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知识点一:弹性力学绪论 形状 范围 方法上 弹性力学: 杆、板、壳、水坝等 弹性 材料力学: 杆状 弹塑性 、蠕变、疲劳等 结构力学: 杆状物件组合 弹性 连续性 均匀性 各向同性 线性完 全弹性 小变形 无初始应力 基本假设 基本假设: 在 基本假设的 基础上还有 应力、 变形状 态的附加假 设 知识点二:张量基础 1 、 1, 0, i j ij = = ee 2 、 1, 1 0 ijk e = , , 3 、 123 123 123 uuu vvv = uv eee i i j j i j i j i j ijk k u v uv uve = = = uv e e ee e ijk rsk ir js is jr ee = 当ij = ; 当ij 。 当i , j , k 为顺序排列; 当i , j , k 为逆序排列; 当指标中有两个相等。 4 、张量定义 : 12 1 2 nn ii i i i i T = T ee e 5 、Hamilton 算子: 12 3 123 i i xxxx = = + + eee e 6 、 梯度 : , , , , jji j ij i ij i ij = = = = e ee e ee 7 、 散度 : , div ij j i ji j i = = = = ee 8 、 旋度 : , curl i j j j i ijk k i u ue x = = = uu ee e 9 、Laplace 算子 : 2 2 , ( ) i j ii i j ii x x xx = = = = = ee 知识点三:弹性力学问题的建立 点的应力状态:平衡微分方程、静力边界条件静力学 位移与应变的关系:几何方程几何学 应力应变关系:本构方程(广义虎克定律)物理学 3.1 应力与一 点的应力状 态 外力:外界作用在物体上的力,包括体力( 力 长度 -3 ) 、面 力( 力 长度 -2 ) 内力:物体内一部分与另一部分间的相互作用力 应力:截面上内力的集度( 力 长度 -2 ) 应力矢量: + = + + = V V k Z j Y i X F v v v v v 一点的应力状态: 过物体内同一点的各个微分面上的应力情况,可以 用过一点 M 的三个与坐标面 平行的微分面的应力矢量来表示: X F 、 Y F 、 Z F k j i F xz xy x X + + = k j i F yz y yx Y + + = k j i F z zy zx Z + + = 或 = = k j i k j i F F F ij z zy zx yz y yx xz xy x Z Y X (第一个下标为方位,第二个下标为方向) 方向的规定:正面正向为正,负面负向为正 3.2 与坐标轴 倾斜的微分 面上应力 n m l X zx yx x v + + = n m l Y zy y xy v + + = n m l Z z yz xz v + + = 3.3 平衡微分 方程、静力 边界条件 小变形条件下: 0 = + i j ji X x 0 = + + + X z y x zx yx x 0 = + + + Y z y x zy y xy 0 = + + + Z z y x z yz xz 剪应力互等定理: ij ji = 静力边界条件: i ji j Xn = v x yx zx X lmn =+ v xy y zy Y lmn =+ v xz yz z Z l mn =+ 静力上可能的平衡:应力分量在物体内部满足平衡微分方程,在边界上满足静力边界条件。 真正的平衡:满足上述平衡条件的同时,应满足变形协调条件。 3.4 几何方程 , 1 () 2 ij i j j i uu = + x u x = , y v y = , z w z = xy uv yx = + , xz uw zx = + , yz vw zy = + 正应变:三条相互垂直棱边的伸缩的变化(伸长为正) 。 剪应变:棱边间所夹直角的改变量(减小为正,增大为负) 。 应变张量: 11 22 11 22 11 22 x yx zx ij xy y zy xz yz z = 3.5 应变协调 方程 3 个位移分量 (u ,v ,w)表示 6 个应 变分量 ( x , y , z , xy , xz , yz ), 显然 6 个应 变分 量是相关联的。 若已知 6 个应变分量 , 求 3 个位 移分量, 出现矛盾方程。 补充的协调方程 (6 个 ): 22 2 22 y xy x x y xy += , 2 ( )2 yz xy xz x x x y z yz += 22 2 22 x xz z x z xz += , 2 ( )2 yz xy y xz y x y z xz += 22 2 22 y yz z z y yz += , 2 ( )2 yz xy xz z x x y z xy += 几何意义 : 变形前后均连续。 对单元体来说, 当单元变形不满足协调方程, 则单元间会产生裂缝。 3.6 广义虎克 定律 1 、极端各向 异性线弹性体有 21 个常 数;各向同性体有 2 个 常数。 2 、各向同性 体: 2 ij ij ij u = + (3 2 ) 12 E u = + = 体积应变: mm x y z =+ 体积应力: xyz = + + (1 )(1 2 ) E = + , 2(1 ) E uG = = + 不可压缩的弹性体: 0 = , 0.5 = 11 ( )( ) 11 ij ij ij ij mm ij EE + = = + 12 E = 0 = 条件: 0 = 0.5 = 3.7 弹性力学 基本方程 三类边值问 题 3D 2D 1 、平衡方程 3 个 2 个 2 、几何方程 6 个 3 个 3 、物理方程 6 个 3 个 4 、边界条件 静力 i ji j Xn = 2 个 位移 ii uu = 2 个 三类边值问题: 1 、已知体力 i X ,面力 i X ,取静力边界条件,求 ij , ij , i u 2 、已知体力 i X ,位移 i u ,取位移边界条件,求 ij , ij , i u 3 、已知体力 i X ,一部分边界面力 i X ,一部分边界位移 i u ,取混合边界条件,求 ij , ij , i u 3.8 解题途径 1 、位移解法 : 位移 (, ) i u uvw 作为基本未知量 平衡微分方程物理方程用位移表示(运用几何、物理方程) , () ij ij i j j i Gu u =+ mm = 拉梅方程 , () 0 j i jj i G Gu X += 2 , i jj i uu = 222 2 222 xyz = + + , , () () i i j i j ji j j i j ji j X Gu u n n Gu u n =+=+ 位移解法:归结为在给定的边界条件下,求解拉梅方程。 2 、应力解法 : 应力 ij 作为基本未知量 既要满足平衡条件 (平衡微分方程、 静力边界条件) , 还要满足应变协调方程 (或以应力表示的 协调方程) 1 () 1 ij ij ij E + = + 应力协调方程(Bltrami-Michell): , , , , 1 () 11 ij kk ij k k ij i j j i X XX + = + + 2 2 2 1 ( )2 11 x XYZ X x xyz x + = + + 2 2 1 () 1 xy YX xy x y + = + + 平衡微分方程: 0 , = + j j ij X 应力解法:给定边界条件下解平衡微分方程和应力协调方程。 3.9 解的唯 一性定律 、圣维南原理 、 叠加原理 、逆解法、 半逆解法 唯一性定律 :弹性 体在 已知体 力作 用下, 受边 界条件 (静 力、位 移、 或混合 )作 用,则 弹性 体平 衡时,体 内的 应力分 量与 应变分 量是 唯一的 ;位 移边界 条件 确定时 ,位 移分量 也是 唯一 的。 唯一 性定律是逆解法、半逆解法的理论基础。 圣维南原理 (局部性原理) 在物 体任 一小部 分上 作用一 个平 衡力系 ,该 力系作 用的 附近区 域的 应力分 布受 到该力系的影 响,在离该区域的相当远处,这种影响急剧减小。 主边界与次边界: 逆解法 :已 知满足 全部 方程的 应力 分量或 位移 分量, 求给 定坐标 系下 具体物 体的 边界条 件( 表面 受什么样面力或位移) 。 半逆解法 : 已知一部分应力分量或位移分量,再由基本方程求出其它分量,再考察边界条件。 已知所有应力或位移分量,再校核这些假设的量是否满足弹性力学基本方程和边界条件。 3.10 弹性力 学的一些基 本知识 1 、 一点的 应力 状态: (1)求主 应力 ; (2)求最 大剪 应力; (3)根据 一点 的应力求任 意斜截面上 的应力: i ji j Xn = (4 ) 不同 坐标 系下的应力 转换 (5)各种 不同 情况下应力 边界条件的 正确表达 2 、 一点的 应变 状态: (1)求主 应变 ; (2)求任 意方 向的应变; (3)不同 坐标 系下的应变 转换 3 、 张量运 算 :梯度、旋度 、散度等 知识点 四 : 弹性力学平面问题 4.1 平面应变问题与平面 应力问题 1 、 平面应变问题 位移模式: ) , ( y x u u = ) , ( y x v v = 0 = w 平衡方程(2 个 ): = + + = + + 0 0 Y y x X y x y xy xy x 几何方程(3 个 ): x u x = y y = y u x xy + = 物理方程(3 个 ): ) ( 1 1 1 y x x E = ) ( 1 1 1 x y y E = = = 1 1 1 2 1 E E xy xy E 1 1 = 或 + = + = + = xy xy x y y y x x E E E ) 1 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 1 1 1 2 1 1 2 1 应变协调方程: y x y x xy x y = + 2 2 2 2 2 应力协调方程: ) ( 1 1 ) ( y Y x X y x + = + 静力边界条件: + = + = m l Y m l X y xy yx x 2、平面应力问题 物理方程 + = = = xy zy x y y y x x E E E ) 1 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 或 + = + = + = xy xy x y y y x x E E E ) 1 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 2 2 应变协调方程:同前;应力协调方程: ) )( 1 ( ) ( 2 y Y x X y x + + = + 3、应力函 数解 法 0 2 2 = ( 2 2 2 2 2 y x + = 4 4 2 2 4 4 4 2 2 2 y y x x + + = ) 2 2 y x = 2 2 x y = y x zy = 2 有体力 X 、Y 的作用下,有 = = = y x Yy x Xx y xy y x 2 2 2 2 2 引入应力函数 后, 对于带 体力下的平 面问题求解 归结为在给 定的边界条 件下求解双 调和方程 求出应力函数 。再由此求 出应力分量 ,再由边界 条件定待定 系数。 应力函数的构造: 直接给出 ) , ( y x ,但必须首先验证其是否满足 0 2 2 = ,如多项式 利用一部分应力分量已知,或有一定的规律,如对受均布荷载的悬臂梁 0 ) ( = = y f y 0 ) ( 2 2 = = y f x 0 ) ( ) ( 2 ) , ( 2 1 2 = + + = y f l xf y f x y x 0 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 4 2 4 4 1 4 4 4 4 = + + + dy y f d dy y f d x dy y f d x dy y f d 0 ) ( 4 4 = dy y f d 0 ) ( 4 1 4 = dy y f d 2 2 4 2 4 ) ( 2 ) ( dy y f d dy y f d = 利用量纲分析 三角形水坝 ) , , ( 1 y x N ) , , ( 2 1 y x N 1 N 单位为 力长度 3 ; 为 x ,y 的一次幂 4.2 极坐 标问题求解 1 、 平衡方程: = + + + = + + + 0 2 1 0 1 F r r r F r r r r r r r r r 2 、 几何方程: + = + = = r u r u u r r u u r r u r r r r r 1 1 3 、 物理方程(平 面应力) + = = = r r r r r E E E ) 1 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 平面应变问题:将 E 、 改成 2 1 E 、 1 即可。 4 、 莱维方程(Levy )方程 0 ) ( 2 = + y x 或 0 ) )( 1 1 ( 2 2 2 2 2 = + + + r r r r r 5 、 应力函数和双 调和方程 = = + = ) 1 ( 1 1 1 2 2 2 2 2 r r r r r r r r ( 0 ) 1 1 )( 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + r r r r r r r r 注意:应力函数 轴对称问题 ) (r = 由应力分量在特定位置的分布定应力函数 0 2 cos 2 = = = b r r 2 cos ) (r f = 2 sin 2 = =b r r 量纲分析:楔形体 ) ( rf = 利用问题的对称性和反对称性定应力函数 D C B A + + + = 2 sin 2 cos 反对称则 0 = = D A 4.3 平面轴对称 应力问题( 楔形状问题 、半平面问 题) 1 、 轴对称问题 均匀且 各向同性材料特性的条件下,外力关于坐标原点对称的问题,即为轴对称应力问题, 其应力函数 ) (r = 与轴对称应力对应的位移不一定是轴对称的,只有当物体几何形状、 受力均是轴对称的,位 移才是轴对称。 = + + + = + + + = 0 2 ) ln 2 3 ( 2 ) ln 2 1 ( 2 2 r r C r B r A C r B r A 求解过程: (1 ) 构造应力函数,且满足应力协调方程 (2 ) 求应力分量: 2 22 11 x = + , 2 2 = , 1 = (3 ) 考察边界条件,确定常数 知识点 五 : 弹性力学的变分解法 1 、弹性体总 应变能: dv Adv V ij V ij V = = 2 1 2 、虚功原理 静力可能的应力( s ij ) : 满足平衡方程、静力边界条件 几何可能的位移( k i k ij u , ) : 满足几何方程的位移边界条件 虚功原理: dV ds x dv u x k ij V s ij V S k i k i i = + 3 、位移变分 方程 在虚功原理中取静力可能的应力为真实应力,可得位移变分方程。设几何可能的位移 ij ij k ij i i k i u u u + = + = , 易得位移变分方程(虚位移方程) : dv dS u x dV u x ij V ij i S i i V i = + 4 、最小势能 原理 设在虚位移过程中外力不变,则由位移变分方程得到: 0 0 ) 2 1 ( 或 = dS u X dV u X dV i s i i v v i ij ij 在满足位移边界条件的一切位移中,真正的位移使总势能取最小值。 5 、瑞利李 兹法与伽辽金法 瑞利李兹 法 设在全域上,有满足位移 边界条件 的函数: + = + = + = m m m m m m m m m w C w w v B v v u A u u 0 0 0 在 S u 上: 0 , 0 , 0 , , 0 0 0 = = = = = = m m m w v u w w v v u u 利用最小势能原理, 将上述位移式代入总势能, 可将本来 w v u , , 的泛函, 变成待定常数 m A , m B , m C 的二次函数,即将泛函的极值问题变成函数的极值问题: 0 / , 0 / , 0 / = = = m m m C B A 或: + = + = + = V S m m m V S m m m V S m m m dS w Z dV Zw C V dS v Y dV Yv B V dS u X dV Xu A V 例题: (1)假设 验证满足本问题的位移边界条件, 确定 各常数之间的关系 (2) 将位移代入总势能中( = 应变能+ 外力势能) 。 例如,应变能 (3)用 Rayleigh-Ritz 法或 最小势能原理确定常数- 配套讲稿:
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- 同济大学 弹性 力学 知识点 复习
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