工程数学形成性考核册答案2014春.pdf
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工程数学形成性考核册参考答案 QQ:195764822 工程数学作业(一)答案 (满分 100 分) 第 2 章 矩阵 (一)单项选择题(每小题 2 分,共 20 分) 设 aaa bbb ccc 123 123 123 2= ,则 aaa ababab ccc 12 3 11 2 2 33 12 232323=(D ) A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 若 0001 00 0 0200 100 1 a a = ,则 (A ) a = A. 1 2 B. 1 C. 1 2 D. 1 乘积矩阵 中元素 c 11 24 103 521 23 =(C ) A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 设 A B, 均为 阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是( B) n A. AB A B+=+ 111 B. ()AB BA = 1 1 C. () D. AB A B+=+ 111 1 ()AB A B = 11 设 A B, 均为 阶方阵, n k 0 且 ,则下列等式正确的是(D ) k 1 A. AB A B+=+ B. AB n A B= C. kA k A= D. =kA k A n () 下列结论正确的是( A) A. 若 是正交矩阵,则 也是正交矩阵 A A 1 B. 若 A B, 均为 n 阶对称矩阵,则 也是对称矩阵 AB C. 若 A B, 均为 n 阶非零矩阵,则 也是非零矩阵 AB D. 若 A B, 均为 阶非零矩阵,则 n AB 0 矩阵 的伴随矩阵为( C) 13 25 A. B. 13 25 13 25 C. D. 53 21 53 21 方阵 可逆的充分必要条件是(B ) A A.A 0 B. A 0 C. A* 0 D. A* 0 设 A B C,均为 阶可逆矩阵,则 ( (D ) n )ACB = 1 1 2 1 A. B. () BAC 11 B C A 11 C. D. () AC B 11 1 () BCA 111 设 A B C,均为 阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A ) n A. B. ()AB A ABB+=+ + 22 2 2 1 ()ABBBAB+=+ 2 C. () D. ()22 111 ABC C B A = 22ABC C B A = (二)填空题(每小题 2 分,共 20 分) 210 140 00 1 = 7 11 1 11 11 1 x 是关于 x的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是 2 若 为 矩阵,A 34 B 为 矩阵,切乘积25 AC B 有意义,则 C 为 54 矩阵 二阶矩阵 A = = 11 01 5 10 51 设 ,则 ()AB= = 12 40 34 120 314 , AB+ = 815 360 设 A B, 均为 3 阶矩阵,且 AB=3 ,则 =2AB 72 设 A B, 均为 3 阶矩阵,且 AB= = 13, ,则 = 3 12 ()AB 3 若 为正交矩阵,则A a = 1 01 a = 0 矩阵 的秩为 212 402 033 2 设 是两个可逆矩阵,则AA 1 , 2 AO OA 1 2 1 = 1 2 1 1 AO OA (三)解答题(每小题 8 分,共 48 分) 设 ,求ABC= = = 12 35 11 43 54 31 , A B+ ; A C+ ; 23A C+ ; A B+5 ; ; ( AB )AB C 答案: =+ 81 30 BA =+ 40 66 CA =+ 73 1617 32 CA =+ 012 2226 5BA = 1223 77 AB = 80151 2156 )( CAB 设 ,求ABC= = = 121 012 10 3 21 1 114 321 002 , AC BC+ 解 : = =+=+ 1022 1046 200 123 411 102 420 )( CBABCAC 已知 ,求满足方程 32AB= = 310 121 342 102 111 211 , A X B = 中的 X 解 : Q32A X B= = = 2 5 2 11 2 7 1 2 5 1 1 2 3 4 5117 252 238 2 1 )3( 2 1 BAX 写出 4 阶行列式 1020 14 3 6 02 53 3110 中元素 a 的代数余子式,并求其值 a 41 42 , 答案: 0 352 634 020 )1( 14 41 = = + a 45 350 631 021 )1( 24 42 = = + a 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵: ; ; 12 2 21 2 221 12 3 4 23 1 2 11 1 1 10 2 6 1000 1100 1110 1111 解:(1 ) = + + + + + + 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 100 010 001 9 1 9 2 9 2 0 3 1 3 2 0 3 2 3 1 100 210 201 122 012 0 3 2 3 1 900 630 201 102 012 001 360 630 221 100 010 001 122 212 221 | 23 13 3 2 32 12 31 21 2 2 9 1 3 1 2 3 2 2 2 rr rr r r rr rr rr rr IA = 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 1 A 3 (2 ) (过程略) (3) = 3514 1201 1320517 1726622 1 A = 1100 0110 0011 0001 1 A 求矩阵 的秩 1011011 1101100 1012101 2113201 解 : + + + + 0000000 0111000 1110110 1101101 0111000 0111000 1110110 1101101 1221110 0111000 1110110 1101101 1023112 1012101 0011011 1101101 43 4241 31 21 2 rr rrrr rr rr 3)( =AR (四)证明题(每小题 4 分,共 12 分) 对任意方阵 ,试证 A A A+ 是对称矩阵 证明: )()( AAAAAAAA +=+=+=+ A A+ 是对称矩阵 若 是 阶方阵,且 A n AA I = ,试证 A = 1或 1 证明: Q 是 n 阶方阵,且A AA I = 1 2 = IAAAAA A = 1或 1=A 若 是正交矩阵,试证 A A 也是正交矩阵 证明: Q 是正交矩阵 A AA = 1 )()()( 111 = AAAA 即 A 是正交矩阵 4 工程数学作业(第二次) (满分 100 分) 第 3 章 线性方程组 (一)单项选择题( 每小题 2 分,共 16 分) 5 1 用消元法得 的解 为(C ) xxx xx x 123 23 3 24 0 2 += += = x x x 1 2 3 A. , B. , 10 2 , 72 2 C. , D. ,11 2 2 , 11 2 2 线性方程组 (B ) xxx xx 123 13 23 23 6 33 += = += 2 4 A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 向量组 的秩为( A) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 3 0 4 , A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 设向量组为 ,则(B )是极大无关组 1234 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 = = = = , A. 1 , 2 B. 12 , 3 C. 12 , 4 D. 1 与A A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(D ) A. 秩 () 秩A = ()A B. 秩 ()A ()A D. 秩 ()A =秩 ()A 1 若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A ) A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 以下结论正确的是(D ) A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解 若向量组 12 ,L s 线性相关,则向量组内(A )可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量 9设 A,为 阶矩阵,n 既是又是的特征值, x既是又是的属于 的特征向量,则结论( ) 成立 是 AB 的特征值 是 A+B 的特征值 是 AB 的特征值 x是 A+B 的属于 的特征向量 10设,为 阶矩阵,若等式( )成立,则称和相似 n BAAB= ABAB =)( BPAP = 1 BPPA = (二)填空题( 每小题 2 分,共 16 分) 当 = 时,齐次线性方程组 有非零解 xx xx 12 12 0 0 += += 向量组 线性 12 000 111=, , , 相关 向量组 的秩是 123 120 100 000, , , , , , , 设齐次线性方程组 11 2 2 33 0 xxx+= 的系数行列式 123 0= ,则这个方程组有 无穷多 解,且系数列向量 12 , 3 是线性 相关 的 123 10 01 00=, , ,的极大线性无关组是 21 , 向量组 向量组 12 ,L s 的秩与矩阵 的秩 12 ,L s 相同 设线性方程组 中有 5个未知量,且秩AX = 0 ()A = 3,则其基础解系中线性无关的解向量有 个 设线性方程组 AXb= 有解, 是它的一个特解,且 X 0 AX = 0的基础解系为 ,则XX 1 , AXb 2 = 的通解 为 22110 XkXkX + 9若 是的特征值,则 是方程 0= AI 的根 10若矩阵满足 AA = 1 ,则称为正交矩阵 (三)解答题( 第 1 小题 9 分,其余每小题 11 分) 1用消元法解线性方程组 xxxx xxxx xx xx xxxx 12 34 1234 12 34 1234 32 6 38 5 0 24 43 = += += + = 12 解: = + + + + + + 26121000 90392700 188710 48231901 84310 01850 188710 61231 23141 121412 05183 61231 41 32 12 41 31 21 5 3 2 3 rr rr rr rr rr rr A + + + + 3311000 41100 4615010 12442001 136500 41100 188710 48231901 136500 123300 188710 48231901 43 23 13 34 34 5 7 19 3 1 2 1 3 rr rr rr rr rr + + + 31000 10100 10010 20001 31000 41100 4615010 12442001 34 24 14 4 15 42 11 1 rr rr rr r 方程组解为 = = = = 3 1 1 2 4 3 2 1 x x x x 设有线性方程组 6 11 11 11 1 2 = x y z 为何值时,方程组有唯一解? 或有无穷多解? 解: + = + + + 2 2 32 2 22 2 )1)(1()1)(2(00 )1(110 11 1110 110 11 111 11 11 11 11 111 32 31 21 31 rr rr rr rr A 当 1 且 2 时, 3)()( = ARAR ,方程组有唯一解 当 1= 时, 1)()( = ARAR ,方程组有无穷多解 判断向量 能否由向量组 12 , 3 线性表出,若能,写出一种表出方式其中 = = = = 8 3 7 10 2 7 1 3 3 5 0 2 5 6 3 1 123 , 解 :向量 能否由向量组 321 , 线性表出,当且仅当方程组 =+ 332211 xxx 有解 这里 = 571000 1171000 41310 7301 10123 7301 3657 8532 , 321 A )()( ARAR 方程组无解 不能由向量 321 , 线性表出 计算下列向量组的秩,并且(1 )判断该向量组是否线性相关 12 34 1 1 2 3 4 3 7 8 9 13 1 3 0 3 3 1 9 6 3 6 = = = = , 解 : = 0000 0000 18000 2110 1131 63134 3393 6082 9371 1131 , 4321 该向量组线性相关 求齐次线性方程组 7 8 0 0= xxxx xxxx xxxx xx x 1234 1234 1234 12 4 32 52 11 2 5 0 35 4 += += + = + 的一个基础解系 解: = + + + + + + 3000 0000 73140 2 1 14 5 01 103140 73140 73140 2131 4053 52111 3215 2131 42 32 12 41 31 21 14 3 3 5 rr rr rr rr rr rr A + + 0000 1000 0 14 3 10 0 14 5 01 0000 1000 2 1 14 3 10 2 1 14 5 01 0000 3000 2 1 14 3 10 2 1 14 5 01 23 13 3 43 2 2 1 2 1 3 1 14 1 rr rr r rr r 方程组的一般解为 = = = 0 14 3 14 5 4 32 31 x xx xx 令 1 3 =x ,得基础解系 = 1 0 14 3 14 5 求下列线性方程组的全部解 xxxx xx xx xx x xxx x 12 34 12 3 4 12 4 12 3 4 5231 342 94 536 += += = + = 5 17 1 解: = + + + + + + 00000 00000 2872140 1 2 1 7 9 01 56144280 2872140 2872140 113251 11635 174091 52413 113251 42 32 12 41 31 21 2 14 5 5 3 rr rr rr rr rr rr A 00000 00000 2 2 1 7 1 10 1 2 1 7 9 01 2 14 1 r 方程组一般解为 = += 2 2 1 7 1 1 2 1 9 7 432 431 xxx xxx 令 , ,这里 , 为任意常数,得方程组通解 13 kx = 24 kx = 1 k 2 k + + = + = 0 0 2 1 1 0 2 1 2 1 0 1 7 1 9 7 2 2 1 7 1 1 2 1 9 7 21 2 1 21 21 4 3 2 1 kk k k kk kk x x x x 试证:任一维向量 = 4321 , aaaa 都可由向量组 = 0 0 0 1 1 , , , = 0 0 1 1 2 = 0 1 1 1 3 = 1 1 1 1 4 线性表示,且表示方式唯一,写出这种表示方式 证明: = 0 0 0 1 1 = 0 0 1 0 12 = 0 1 0 0 23 = 1 0 0 0 34 任一维向量可唯一表示为 )()()( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 344233122114321 4 3 2 1 += + + + = = aaaaaaaa a a a a 44343232121 )()()( aaaaaaa += 试证:线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解 证明:设 BAX = 为含 个未知量的线性方程组 n 该方程组有解,即 nARAR = )()( 从而 BAX = 有唯一解当且仅当 nAR =)( 而相应齐次线性方程组 只有零解的充分必要条件是 0=AX nAR =)( BAX = 有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组 0=AX 只有零解 9设 是可逆矩阵的特征值,且 0 ,试证: 1 是矩阵 的特征值 1 A 证明: Q是可逆矩阵的特征值 存在向量 ,使 =A = 1111 )()()( AAAAAAI 1 1 = A 即 1 是矩阵 的特征值 1 A 10用配方法将二次型 化为标准型 43324221 2 4 2 3 2 2 2 1 2222 xxxxxxxxxxxxf += 解: 42 2 4423 2 3 2 21433242 2 4 2 3 2 21 2)(2)(222)( xxxxxxxxxxxxxxxxxxxf +=+= 2 2 2 423 2 21 )()( xxxxxx += 令 , 211 xxy += 4232 xxxy += , 23 xy = , 44 yx = 9 即 = += = = 44 4323 32 311 yx yyyx yx yyx 则将二次型化为标准型 2 3 2 2 2 1 yyyf += 10 工程数学作业(第三次) (满分 100 分) 第 4 章 随机事件与概率 (一)单项选择题 A B, 为两个事件,则( B)成立 A. ()A B B A+= B. ()A B B A+ C. ()A B B A+= D. ()A B B A + 如果( C)成立,则事件 与 A B互为对立事件 A. B. AB = AB U= C. 且 D. 与AB = AB U= A B 互为对立事件 10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券,每人购买 1 张,则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为(D ) A. B. 03 C. 07C 10 32 07 03. . 03 2 . D. 307 03 2 . 4. 对于事件 A B, ,命题(C )是正确的 A. 如果 A B, 互不相容,则 AB, 互不相容 B. 如果 A B ,则 A B C. 如果 A B, 对立,则 AB, 对立 D. 如果 A B, 相容,则 AB, 相容 某随机试验的成功率为 ,则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为(D ) )10( pp A. B. C. D. 3 )1( p 3 1 p )1(3 p )1()1()1( 223 ppppp + 6.设随机变量 X B n p (, ),且 E X D X() .,() .= =48 096,则参数 n 与 分别是(A ) p A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2 7.设 为连续型随机变量fx() X 的密度函数,则对任意的 aba b,( ) , E X()=(A ) A. B. xf x x()d + xf x x a b ()d C. D. fx x a b ()d fx x()d + 8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是(B ) A. fx xx () sin , , = 2 3 2 0 其它 B. fx xx () sin , , = 0 2 0 其它 C. fx xx () sin , , = 0 3 2 0 其它 D. fx xx () sin , , = 0 0 其它 9.设连续型随机变量 X 的密度函数为 ,分布函数为 fx() F x(),则对任意的区间 ,则 (,)ab = )( bXaP ( D) A. B. Fa Fb() () Fx x a b ()d C. D. fa fb() () fx x a b ()d 10.设 X 为随机变量, ,当(C )时,有EX DX() ,()= 2 = E Y D Y() , ()= =01 A. Y X=+ B. Y X= C. Y X = D. Y X = 2 (二)填空题 从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个,组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为 5 2 11 2.已知 P A P B() ., () .= =03 05,则当事件 A B, 互不相容时, P A B()+ = 0.8 , PAB()= 0.3 3. A B, 为两个事件,且 B A ,则 P A B()+ = ( )AP 4. 已知 PAB PAB PA p() ( ),()=,则 P B()= P1 5. 若事件 A B, 相互独立,且 P A p P B q() , ()= = ,则 P A B()+ = pqqp + 6. 已知 P A P B() ., () .= =03 05,则当事件 A B, 相互独立时, P A B()+ = 0.65 , PAB()= 0.3 7.设随机变量 X U (,)01,则 X 的分布函数 F x()= 11 10 00 x xx x 8.若 X B (,.)20 0 3 ,则 E X()= 6 9.若 ,则XN(, ) 2 12 PX = 3 )3(2 E X E X Y E Y( ( )( ( )称为二维随机变量 (,)X Y 的 协方差 10. (三)解答题 1.设 A B C,为三个事件,试用 A B C,的运算分别表示下列事件: A B C,中至少有一个发生; A B C,中只有一个发生; A B C,中至多有一个发生; A B C,中至少有两个发生; A B C,中不多于两个发生; A B C,中只有 C 发生 解 :(1) (2)CBA + CBACBACBA + (3) CBACBACBACBA + (4) (5)BCACAB + CBA + (6) CBA 2. 袋中有 3 个红球,2 个白球,现从中随机抽取 2 个球,求下列事件的概率: 2 球恰好同色; 2 球中至少有 1 红球 解 :设 =“2 球恰好同色”,A B =“2 球中至少有 1 红球” 5 2 10 13 )( 2 5 2 2 2 3 = + = + = C CC AP 10 9 10 36 )( 2 5 2 3 1 2 1 3 = + = + = C CCC BP 3. 加工某种零件需要两道工序,第一道工序的次品率是 2%,如果第一道工序出次品则此零件为次品;如果 第一道工序出正品,则由第二道工序加工,第二道工序的次品率是 3%,求加工出来的零件是正品的概率 解:设 “第 i 道工序出正品”(i=1,2) = i A 9506.0)03.01)(02.01()|()()( 12121 = AAPAPAAP 4. 市场供应的热水瓶中,甲厂产品占 50%,乙厂产品占 30%,丙厂产品占 20%,甲、乙、丙厂产品的合格率 分别为 90%,85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率 解:设 1 产品由甲厂生产=A 2 产品由乙厂生产=A 3 产品由丙厂生产=A 产品合格=B )|()()|()()|()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP += 865.080.02.085.03.09.05.0 =+= 5. 某射手连续向一目标射击,直到命中为止已知他每发命中的概率是 ,求所需设计次数 p X 的概率分布 解: PXP = )1( PPXP )1()2( = PPXP 2 )1()3( = PPkXP k 1 )1()( = 故 X 的概率分布是 ppppppp k k 12 )1()1()1( 321 6.设随机变量 X 的概率分布为 0123456 01 015 02 03 012 01 003. . . . 试求 P X P X P X(),( ),( ) 42 5 3 解: 87.012.03.02.015.01.0)4()3()2()1()0()4( =+=+=+=+=+= XPXPXPXPXPXP 72.01.012.03.02.0)5()4()3()2()52( =+=+=+=+= XPXPXPXPXP 7.03.01)3(1)3( = XPXP 7.设随机变量 X 具有概率密度 fx xx () , , = 20 0 其它 1 试求 PX P X(),( 1 2 1 4 2) 解: 4 1 2)() 2 1 ( 2 1 0 2 2 1 0 2 1 = xxdxdxxfXP 16 15 2)()2 4 1 ( 1 4 1 2 1 4 1 2 4 1 = xxdxdxxfXP 8. 设 ,求Xfx xx () , , = 20 1 0 其它 E X D X(),() 解: 3 2 3 2 2)()( 1 0 3 1 0 = + xxdxxdxxxfXE 2 1 4 2 2)()( 1 0 4 1 0 222 = + xxdxxdxxfxXE 18 1 ) 3 2 ( 2 1 )()()( 222 = xEXEXD 9. 设 ,计算)6.0,1( 2 NX P X(. .)02 18 0 解: 8164.019082.021)33.1(2)33.1()33.1()33.1 2.0 1 33.1()8.12.0( = = | 0 (u 为临界值) 发生的概率 (三)解答题 1设对总体 X 得到一个容量为 10 的样本值 4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值 x 和样本方差 s 2 解: 6.336 10 1 10 1 10 1 = =i i xx 878.29.25 9 1 )( 110 1 2 10 1 2 = = =i i xxs 2设总体 X 的概率密度函数为 fx xx (; ) (), , = + 10 0 其它 1.96 ,所以拒绝 237.0| =U 0 H 5某零件长度服从正态分布,过去的均值为 20.0,现换了新材料,从产品中随机抽取 8 个样品,测得的 长度为(单位:cm ): 20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5 问用新材料做的零件平均长度是否起了变化( = 005. ) 解:由已知条件可求得: 0125.20=x 0671.0 2 =s 1365.0 259.0 035.0 | 8/259.0 200125.20 | / | 0 = = = ns x T 62.2)05.0,9()05.0,1( = tnt | T | 2.62 接受H 0 即用新材料做的零件平均长度没有变化。 15- 配套讲稿:
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