事故树的定性分析.ppt
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1,3-3事故树的定性分析,2,教学目的与要求:1.掌握事故树分析的数学基础;事故树的结构函数、单调关联系统2.熟悉事故树的化简3.掌握最小割集、最小径集的几种求法,3,一、布尔代数的基本知识,1.逻辑运算逻辑运算的对象是命题逻辑运算的基本运算有三种,即逻辑加、逻辑乘、逻辑非。,4,a.逻辑加,给定两个命题A、B,对它们进行逻辑运算后构成的新命题为S,若A、B两者有一个成立或同时成立,S就成立;否则S不成立。则这种A、B间的逻辑运算叫做逻辑加,也叫“或”运算。构成的新命题S,叫做A、B的逻辑和。记作AB=S或记作A+B=S。均读作“A+B”。逻辑加相当于集合运算中的“并集”。根据逻辑加的定义可知:111;101;011;000。,5,给定两个命题A、B,对它们进行逻辑运算后构成新的命题P。若A、B同时成立,P就成立,否则P不成立。则这种A、B间的逻辑运算,叫做逻辑乘,也叫“与”运算。构成的新命题P叫做A、B的逻辑积。记作AB=P,或记作AB=P,也可记作AB=P,均读作A乘B。逻辑乘相当于集合运算中的“交集”。根据逻辑乘的定义可知:111;100:010:000。,b.逻辑乘,6,给定一个命题A,对它进行逻辑运算后,构成新的命题为F,若A成立,F就不成立;若A不成立,F就成立。这种对A所进行的逻辑运算,叫做命题A的逻辑非,构成的新命题F叫做命题A的逻辑非。A的逻辑非记作“”,读作“A非”。逻辑非相当于集合运算的求“补集”。根据逻辑非的定义,可以知道:0;1;1;0,c.逻辑非,7,2.逻辑运算的常用法则,定理1:A(对合律)定理2:ABBA,ABBA(交换律)定理3:A(BC)(AB)CA(BC)(AB)C(结合律)定理4:ABC(AB)(AC)A(BC)ABAC(分配律)定理5:AAA,AAA(等幂律)推论:AAAA,AAAA,8,定理6:A1,A0定理7:A0A,A1A定理8:A11,A00定理9:AABAA(AB)A(吸收律)在事故树分析中“AABA”,“AAA”和“AAA”几个法则用得较多。,9,二、概率论的基本知识,1.相互独立事件一个事件发生与否不受其他事件的发生与否的影响。假定有A1、A2、A3、An个事件,其中每一个事件发生与否都不受其他事件发生与否的影响,则称A1、A2、A3、An为独立事件。,10,不能同时发生的事件。一个事件发生,其他事件必然不发生。它们之间互相排斥,互不相容。假定有A1、A2、A3、An个事件,A1发生时,A2、A3、An必然不发生;A2发生时,A1、A3、An事件必须不发生,则A1、A2、A3、An事件称为互斥事件。,2.相互排斥事件,11,一个事件发生与否受其他事件的约束,即在其他事件发生的条件下才发生的事件。设A、B两事件,B事件只有在A事件发生的情况下才发生,反之亦然,则A、B事件称为相容事件。在事故树分析中,遇到的基本事件大多数是独立事件。,3.相容事件,12,4.n个独立事件的概率和其计算公式是:P(A1+A2+A3+An)11P(A1)1P(A2)1P(A3)1P(An)式中:P为独立事件的概率。,13,5.n个独立事件的概率积其计算公式是:P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An),14,三、事故树分析的数学基础1.事故树的结构函数结构函数是描述系统状态的函数,它完全取决于元、部件的状态。通常假定任何时间,元、部件和系统只能取正常或故障两种状态,并且任何时刻系统的状态由元、部件状态唯一决定。假设系统由n个单元(即元、部件)组成,且下列二值变量xi对应于各单元的状态为:,结构函数描述系统状态的函数。,15,y=(X)或y=(x1,x2,xn),(X)系统的结构函数,16,与门结构,与门的结构函数,只有所有基本事件发生时,顶上事件才发生。根据布尔代数运算法则,它是逻辑“与”(逻辑乘)的关系,其逻辑式为:,这就是与门结构函数。用代数算式表示为:,式中,,中取最小值,即只要有一个最小的“0”(正常),则整个系统为“0”(正常)。,17,或门的结构函数,或门结构,只要有一个或一个以上基本事件发生时,顶上事件就发生。根据布尔代数运算法则,它是逻辑“或”(逻辑加)的关系,其逻辑式为:,当仅取0,1二值时,结构函数可写成:,式中,,从,中取最大值,即只要其中有一个最大的“1”(故障),整个系统就为“1”(故障)。,这就是或门结构函数。用代数算式表示为:,18,复杂系统的结构函数由与门和或门组成的事故树,根据逻辑乘与逻辑加的关系,可以写出其结构函数。,则其结构函数为:,19,2.单调关联系统单调关联系统是指系统中任一组成单元的状态由正常(故障)变为故障(正常)而不会使系统的状态由故障(正常)变为正常(故障)的系统。也就是说,系统每个元、部件对系统的功能(可靠性)发生影响,如果系统中所有元、部件发生故障,则系统一定呈故障状态;反之,所有元、部件正常,系统一定正常。,20,而且,当故障的元、部件经过修复转为正常时系统不会由正常转为故障;反之,正常部件故障不会使系统由故障转为正常。根据以上特点,单调关联系统的结构函数具有下述性质:不含有多余元、部件。第i个元、部件正常与否,与系统正常与否无关。这样,第i个元、部件就是逻辑多余元、部件。含有逻辑多余元、部件的系统不是单调关联系统。组成系统的所有元、部件都正常,系统一定正常;反之,所有元、部件发生故障,系统一定发生故障。,21,系统中正常元、部件发生故障时,系统不可能出现由故障状态转为正常状态。这就体现了结构函数的单调性。或门结构(串联系统)是单调关联系统不可靠性的上限,而与门结构(并联系统)则是单调关联系统的下限。由与门和或门结构组成的事故树都是单调关联系统。,22,练习1:写出如下事故树的结构函数,23,练习2:写出如下事故树的结构函数,24,四、事故树的化简,1.事故树化简的必要性在同一事故中包含有2个或2个以上的相同基本事件时,若不进行化简,则可能产生结果的错误。为说明这一问题,试看例题:,25,且q1=q2=q3=0.1,x1、x2、x3相互独立。,例,26,解:不化简时,所求出的T发生的概率为:T=A1A2=x1x2x1+x3P(x1x2)=P(x1)P(x2)=q1q2n又P(A1+A2+An)=1-1-P(Ai)i=1P(x1+x3)=1-(1-q1)(1-q3)则P(T)=q1q21-(1-q1)(1-q3)=0.10.11-(1-0.1)(1-0.1)=0.0019,27,化简后,求出的T发生的概率为:T=A1A2=x1x2(x1+x3)=x1x2x1+x1x2x3=x1x2+x1x2x3=x1x2P(T)=P(x1x2)=P(x1)P(x2)=0.10.1=0.01,28,由上面计算,两种算法得到的结果不同,哪一个结果是正确的?这又是为什么呢?这是因为在事故树结构中,存在着多余的事件x3,所谓多余事件,指的是它的发生与顶上事件的发生无关。由于x3是多余的,所以若在计算时,无事先进行简化,则发生错误。所以P(T)=0.01。故说明化简的必要性。,29,化简后的事故树也可用其“等效图”来表示。,T=x1x2。它表明,只要x1和x2同时发生,T就发生。所以,计算顶上概率时,应按其等效图计算。,30,2.事故树化简举例,例、将下列事故树化简,31,解:T=x1+A=x1+(x1x2)=x1,所以,其等效图为:,32,例2化简事故树,33,等效事故树,34,练习1:化简该事故树,并做出等效图,35,等效事故树,36,练习2:化简该事故树,并做出等效图,37,等效事故树,38,五、最小割集与最小径集在事故树分析中,最小割集与最小径集的概念起着非常重要的作用。事故树定性分析的主要任务是求出导致系统故障(事故)的全部故障模式。通过对最小割集或最小径集的分析,可以找出系统的薄弱环节,提高系统的安全性和可靠性。,39,1.割集和最小割集割集是图论中的一个重要的概念,事故树分析中的割集指的是导致顶上事件发生的基本事件组合,也称作截集或截止集。系统的割集也就是系统的故障模式。,40,如果在某个割集中任意除去一个基本事件就不再是割集了,这样的割集就称为最小割集。换句话说,也就是导致顶上事件发生的最低限度的基本事件组合。因此,研究最小割集,实际上是研究系统发生事故的规律和表现形式,发现系统最薄弱环节。由此可见,最小割集表示了系统的危险性。,41,2.最小割集的求法最小割集的求法有多种,常用的方法有布尔代数化简法、行列法、结构法、质数代入法和矩阵法等。这是仅就常用的布尔代数化简法和行列法做一简介。a.布尔代数化简法事故树经过布尔代数化简,得到若干交集的并集,每个交集实际就是一个最小割集。下面以图示的事故树为例,利用布尔代数化简法求其最小割集。,42,图1某事故树示意图,46,58,43,结果得7个交集的并集,这7个交集就是7个最小割集,即,44,图2图1事故树的等效图,45,b.行列法行列法又称下行法,这种方法是1972年由:富塞尔(Fussel)提出,所以又称为富塞尔法。该算法的基本原理是从顶上事件开始,由上往下进行,与门仅增加割集的容量(即割集内包含的基本事件的个数),而不增加割集的数量。或门则增加割集的数量,而不增加割集的容量。,46,每一步按上述的原则:由上而下排列,把与门连接的输入事件横向排列,把或门连接的输入事件纵向排列,这样逐层向下,直到全部逻辑门都置换成基本事件为止。得到的全部事件积之和,即是布尔割集(BICS),再经布尔代数化简,就可得到若干最小割集。下面仍以图1所示的事故树为例,求最小割集。,47,顶上事件与下一层的中间事件是用或门连接的。故T被代替时,纵向排列。,与下一层事件之间也是或门连接的,故被代替时,仍然是纵向排列。,48,与下一层事件之间是与门连接的,故被代替时,要横向排列。而与下层事件是或门连接的,故被代替时,要纵向排列。,49,50,51,这与第一种算法的结果是一致的。上述两种算法相比,布尔代数化简法较为简单。但行列法便于用计算机辅助计算最小割集,故国际上仍普遍使用行列法。,52,六、径集和最小径集径集是割集的对偶。当事故树中某些基本事件的集合都不发生时,顶上事件就不发生,这种基本事件的集合称为径集,也叫路集或通集。所以系统的径集也就代表了系统的正常模式,即系统成功的一种可能性。最小径集,如果在某个径集中任意除去一个基本事件就不再是径集了,或者说,使事故树顶上事件不发生的最低限度的基本事件组合,这样的径集就称为最小径集。,53,研究最小径集,实际上是研究保证正常运行需要哪些基本环节正常发挥作用的问题,它表示系统不发生事故的几种可能方案,即表示系统的可靠性。a.对偶、对偶系统及对偶树设系统S有一个结构函数,现定义一个新的结构函数使式中,称为为的对偶结构函数,以为结构函数的系统称为系统S的对偶系统。,54,由于有,所以的对偶系统是S。对偶是相互的,故称为相互对偶系统。相互对偶系统有如下基本性质:S的割集是的径集,反之亦然。S的最小割集是的最小径集,反之亦然。,55,利用相互对偶系统的定义,可根据某系统的事故树建造其对偶树。具体做法是,只要把原事故树中的与门改为或门,或门改为与门,其他的如基本事件、顶上事件不变,即可建造对偶树,根据相互对偶系统的基本性质,则事故树的最小割集就是对偶树的最小径集。因此,求事故树最小割集的方法,同样可用于对偶树。,56,b.成功树在对偶树的基础上,再把其基本事件及顶上事件T改成它们的补事件(即各事件发生改为不发生),就可得到成功树。如图3所示。,57,图3事故树、成功树的变换示例,例1:以图1为例,画出其成功树,求原树的最小径集。解:首先画成功树,见图4,58,图4图1事故树的成功树,59,用布尔代数化简法求成功树的最小割集如下:由此得到成功树的两个最小割集,根据相互对偶关系,也就是原事故树的两个最小径集,即:,60,例2:图5是某系统的事故树,求其最小割集,画出成功树,求最小径集。解:用布尔代数化简法求最小割集,图5某系统的事故树的示意图,61,得到9个最小割集,分别为:,62,画出的成功树见图图6,最后用布尔代数化简法求最小径集。,图6图5事故树的成功树,63,得到成功树的三个最小割集,根据相互对偶的关系,也就是事故树的三个最小径集,分别为:,如果将成功树最后经布尔代数化简的结果再换为事故树,则:,64,这样,就形成了三个并集的交集。根据最小径(割)集的定义,可做出其等效图如图7所示。,(a)用最小割集表示,图7图5事故树的等效图,65,(b)用最小径集表示,66,七、判别割(径)集数目的方法从上例可看出,同一事故树中最小割集和最小径集数目是不相等的。如果在事故树中与门多、或门少,则最小割集的数目较少;反之,若或门多与门少,则最小径集数目较少。在求最小割(径)集时,为了减少计算工作量,应从割(径)集数目较少的入手。,67,遇到很复杂的系统,往往很难根据逻辑门的数目来判定割(径)集的数目。在求最小割集的行列法中曾指出,与门仅增加割集的容量(即基本事件的个数),而不增加割集的数量,或门则增加割集的数量,而不增加割集的容量。根据这一原理,下面介绍一种用“加乘法”求割(径)集数目的方法。该法给每个基本事件赋值为1,直接利用“加乘法”求割(径)集数目。但要注意,求割集数目和径集数目,要分别在事故树和成功树上进行。,68,如图8所示,首先根据事故树画出成功树,再给各基本事件赋与“1”,然后根据输入事件与输出事件之间的逻辑门确定“加”或“乘”,若遇到或门就用“加”,遇到与门则用“乘”。,割集数目径集数目,69,(a)事故树(b)成功树图8用“加乘法”求割、径集数目,70,从上例可看出,割集数目比径集数目多,此时用径集分析要比用割集分析简单。如果估算出某事故树的割、径集数目相差不多,一般从分析割集入手较好。这是因为最小割集的意义是导致事故发生的各种途径,得出的结果简明、直观。另外,在做定量分析时,用最小割集分析,还可采用较多的近似公式,而最小径集则不能。必须注意,用上述方法得到的割、径集数目,不是最小割、径集的数目,而是最小割、径集的上限。只有当事故树中没有重复事件时,得到的割、径集的数目才是最小割、径集数。,71,八、最小割集与最小径集在事故树分析中的意义1.最小割集表示系统的危险性。求解出最小割集可以掌握事故发生的各种可能,了解系统危险性的大小,为事故调查和事故预防提供依据。2.最小径集表示系统的安全性。求出最小径集,可知道要使事故不发生,需控制住哪几个基本事件能使顶上事件不发生,并可知道有几种可能的预防方案。,72,3.从最小割集能直观地、概略地看出哪种事故发生后,对系统危险性影响最大,哪种稍次,哪种可以忽略,以及如何采取措施使事故发生概率迅速下降。4.利用最小割集和最小径集可以直接排出结构重要度的顺序。5.根据最小径集,选择控制事故的最佳方案。6.利用最小割集和最小径集计算顶上事件的发生概率和定量分析。,- 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