多元函数积分概念与性质.ppt
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将一元函数积分学中的“分割、近似、求和、取极限”思想推广,运用到多元函数情形。,第1节多元数量函数积分的概念和性质,1.曲顶柱体的体积曲顶柱体:以XOY平面上的闭区域D为底,以D的边界曲线为准线,母线平行于Z轴的柱面为侧面,并以z=f(x,y)为顶的空间立体.,一.两个实例:,如何求此曲顶柱体的体积V?微元法思想.,分割:把D任意分成n个小区域(同时用表示第i个小区域的面积),分别以的边界为准线作母线平行于z轴的柱面,则原曲顶柱体分成了n个小的曲顶柱体。,近似:任取,则以为底的小曲顶柱体体积:,求和:,取极限:区域中任意两点距离的最大值称为该区域的直径,记,则:,设有一物体对应于空间曲面,(x,y,z)为密度函数(连续),现要求该物体的质量m。,2.质量:,分割:把任意分成n小块,表示第i小块曲面的面积。,近似:任取,则第i小块曲面的质量,取极限:,求和:,二.数量函数积分的概念,定义1,二重积分;,三重积分:,其中称为积分域,f称为被积函数,f(M)d称为被积式或积分微元。,几种具体的类型:,第一型曲线积分,(对弧长的曲线积分):,第一型曲面积分,(对面积的曲面积分):,L称为积分路径。,数量函数积分的几何意义:,当时,=以D为底,以为顶的曲顶柱体的体积;,数量函数积分的物理应用之一:,三.积分存在的条件和性质.,必要条件:f在上可积,则f在上有界。,1.线性性质:,2.可加性,3.积分不等式若则,5.中值定理,特别地,有,若则,第2节二重积分的计算,一.直角坐标系中二重积分的计算:,任取,过x轴作平行于yoz坐标面的平面,此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形,设其面积为,则,而该体积也可用定积分的方法求得:,X-型区域:任一平行y轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。,上面假定,但实际上上公式对一般的也成立。对各种不同类型的积分区域D,二重积分化为二次积分的情况总结如下:,Y-型区域:任一平行x轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。,例1计算,解,解法一先对y后对x积分,例2,法二先对x后对y积分,解由于的原函数不能用初等函数表示,故不能先对y积分,例3计算,注意:在例2中,法1比法2简便,在例3中,由于被积函数中含有,只能先对x积分.因此,在把二重积分化为二次积分时,选择恰当的积分次序是非常重要的,而要计算二重积分,关键的是要化为二次积分。,例4作出积分域,并改变积分次序:,解原积分=,解原积分=,解原积分=,解原积分,例5求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体的体积。,解,二.极坐标系下二重积分的计算,则得极坐标系下的二重积分计算公式:,作极坐标变换,若区域D可用极坐标的不等式,若区域D可用极坐标的不等式,若区域D可用极坐标的不等式,若区域D可用极坐标的不等式,于是,例6计算,例7计算反常积分,解设,而,从而,例8将下列二次积分化为极坐标形式下的二次积分:,解,积分区域:D:,在极坐标下,D:,于是,解,在极坐标下,将D分为二部分表示:,于是,解,在极坐标下,D分为二部分表示:,于是,解,例9求Bernoulli双纽线,围成的面积A.,解双纽线在极坐标下的方程为:,由的周期性得图形的对称性,而且当从增加到时,由零增加到,再减少到零,于是可得如图所示的双纽线图形。,(2)变换T:把uov平面上的区域一对一的变为D,,定理1设(1),(3)(u,v),(u,v)在上具有一阶连续偏导数,且:,三.二重积分的换元法,例10计算,解,于是,例11求由曲线所围区域D的面积S。,于是,例12求椭圆围成区域的面积A。,作业,P93-97习题6.21(1)(b)2(3)3(2)4(1)(2)(3)6(2)7(2)(7)(9)8(2)(4)9(1)(3)10(2)(3)(6)11(2)(3)12(1)(2)13(1)(2)14(1)16,- 配套讲稿:
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