高三数学上学期第一次教学诊断考试试题 理
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山东省淄博实验中学2017届高三数学上学期第一次教学诊断考试试题 理第I卷(共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知集合,则()A(0,1) Bx|x1 Cx|x0 Dx|x12命题p:函数f(x)=ax(a0且a1)在R上为增函数;命题q:垂直于同一平面的两个平面互相平行;则下列命题正确的是()ApqBp(q)C(p)qD(p)(q)3由曲线,直线y=x所围成的封闭曲线的面积是()A B C D14已知A(2,1),O(0,0),点M(x,y)满足则的最大值为()A5B1 C0 D15某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是()A B C D6 ABC中,“A”是“sinA”的()A必要不充分条件 B充分必要条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件7将函数f(x)=2sin(2x)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的一个单调递减区间是()A,0 B,0 C0, D,8在ABC中,则ABC=()A B C D9已知,f(m)=3,且m0,若a=f(2m),b=2f(m),c=f(m+2),则a,b,c的大小关系为()Acba Bacb Cabc Dbac10已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且,当函数(其中k0)的零点个数取得最大值时,则实数k的数值范围是()A BCD第卷非选择题(共100分)二、填空题:(请把答案填在题中横线上每小题5分,共25分)11已知等比数列an为递增数列,其前n项和为Sn,若,则公比q=_12已知,且,则=13、设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出以下四个命题:当c=0时,有f(x)=f(x)成立;当b=0,c0时,方程f(x)=0,只有一个实数根;函数y=f(x)的图象关于点(0,c)对称 当x0时;函数f(x)=x|x|+bx+c,f(x)有最小值是其中正确的命题的序号是_14. 若存在实数使成立,则实数的取值范围是 15在边长为2的正方形ABCD中,动点M和N分别在边BC和CD上,且,则的最小值为_三解答题:(本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16. (本小题满分12分)已知,且(1)求的最小正周期及单调递增区间;(2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若(a+2c)cosB=bcosA成立,求的取值范围17 .(本小题满分12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(1)判断ABC是否为直角三角形,并说明理由;(2)若,求ABC面积的最大值18. (本小题满分12分)已知数列an满足a1=1,a1+a2+a3+an=an+11(n),数列an的前n项和为Sn(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,Tn是数列bn的前n项和,求使得Tn对所有n都成立的最小正整数m19. (本小题满分12分)已知数列的前项和满足(为大于0的常数),且是与的等差中项(1) 求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和 20 (本小题满分13分)请你设计一个包装盒,如图所示ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个四棱柱形状的包装盒,其中E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB= x cm(1)某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值;(2)某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值21. (本小题满分14分)设函数f(x)=ax2(2a1)xlnx,其中aR(1)当a0时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)当a0时,求函数f(x)在区间,1上的最小值;(3)记函数y=f(x)的图象为曲线C,设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上不同的两点,点M为线段AB的中点,过点M作x轴的垂线交曲线C于点N,试判断曲线C在N处的切线是否平行于直线AB?并说明理由CDADC ADCDC11、已知等比数列an为递增数列,其前n项和为Sn,若a3=8,S3=(4x+3)dx,则公比q=2【考点】等比数列的通项公式;定积分【分析】求定积分S3=(4x+3)dx=14,从而可得8(1+)=14,从而解得【解答】解:S3=(4x+3)dx=2x2+3x|=8+6=14,则S3=a3(1+)=14,解得,q=2,故答案为:212、已知,且,则=13、设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出以下四个命题:当c=0时,有f(x)=f(x)成立;当b=0,c0时,方程f(x)=0,只有一个实数根;函数y=f(x)的图象关于点(0,c)对称 当x0时;函数f(x)=x|x|+bx+c,f(x)有最小值是其中正确的命题的序号是_14、若存在实数使成立,则实数的取值范围是 15、在边长为2的正方形ABCD中,动点M和N分别在边BC和CD上,且=, =,则的最小值为1【考点】平面向量数量积的运算【分析】建立平面直角坐标系,求出关于的函数,利用基本不等式得出最小值【解答】解:以CB,CD为坐标轴建立平面直角坐标系如图:则A(2,2),B(2,0),M(22,0),N(0,2)=(2,2),=(2,)=4=4+1+55=1当且仅当4+1=即=时取等号故答案为:116 解答:解:(I)f(x)=2cos2x+2sinxcosx=2sin(2x+)+1,故函数的周期为令 2k2x+2k+,kz,可得 kxk+,kz,故函数的单调递增区间为k,k+,kz()在ABC中,由正弦定理可得(sinA+2sinC)cosB=sinBcosA,即sin(A+B)=2sinCcosB,cosB=,B=f(A)=2sin(2A+)+1由于 0A,2A+,sin(2A+)1,2f(A)3,故f(A)的取值范围为(2,317、 ()因为sinA+sinB=(cosA+cosB)sinC, 由正、余弦定理,得a+b=c 2分化简整理得(a+b)(a2+b2)=(a+b)c2因为a+b0,所以a2+b2=c2 4分故ABC为直角三角形. 且C=90 6分()因为a+b+c=1+,a2+b2=c2,所以1+=a+b+2+=(2+) 当且仅当a=b时,上式等号成立 所以. 8分故SABC=ab 10分即ABC面积的最大值为 18、【解答】解:(1)a1+a2+a3+an1+an=an+11(nN),当n2时,a1+a2+a3+an1=an1,两式相减得: an=an+1an,即=,又=满足上式,=(nN),当n2时,an=a1=21=n,又a1=1满足上式,数列an的通项公式an=n;(2)由(1)可知bn=2(),Tn=2(1+)=2(1)=,随着n的增大而增大,不等式Tn对所有nN都成立求数列Tn的最大值,又=2,2,即m20,故满足题意的最小正整数m=2019、解:(1)当n1时,S1p(S1a1),故a1.当n2时,Snp(Snan), Sn1p(Sn1an1) ,由得,anpan1,即p(p0)故an是首项为,公比为p的等比数列,即anpn1.由题意得,6a3a22a1,即3p2p1.解得p或p(舍去)an()()n1.(2)由(1),得bn(2n1)2n,则有Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n,2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1,两式相减,得Tn322(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n12(2n1)2n1.Tn2(2n1)2n1.20、请你设计一个包装盒,如图所示ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个四棱柱形状的包装盒,其中E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB= xcm(I)某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值;(II)某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值此时,装盒的高与底面边长的比值为 12分考点:几何体的体积与表面积,二次函数,应用导数研究函数的单调性、最值.21 【解答】解:(I)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2ax+12a=a0,x0,2ax+10,令f(x)0得x10,f(x)单调递增区间为(1,+)(II)当a0时,令f(x)=0得x1=1,x2=当1即a0时,f(x)在(0,1)上是减函数,f(x)在,1上的最小值为f(1)=1a当即1时,f(x)在区间,上单调递减,在区间,1上单调递增,f(x)在区间,1上的最小值为f()=1+ln(2a)当即a1时,f(x)在区间,1上是增函数,f(x)在区间,1上的最小值为f()=综上,fmin(x)=(III)设M(x0,y0),则xN=x0=直线AB的斜率k1= a(x22x12)+(12a)(x2x1)+ln1lnx2=a(x1+x2)+(12a)+曲线C在N处的切线斜率为k2=f(x0)=2ax0+12a=a(x1+x2)+12a假设曲线C在N处的切线平行于直线AB,则k1=k2,=,ln=,令=t,则lnt=,不妨设x1x2,则0t1令g(t)=lnt,则g(t)=0,g(t)在(0,1)上为增函数,g(t)g(1)=0,即g(t)=0在(0,1)上无解,曲线C在N处的切线不平行于直线AB- 配套讲稿:
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