D84重积分的应用.ppt
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第四节,8.4.1重积分在几何上的应用,重积分的应用,第八章,8.4.2重积分在物理上的应用,1.能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发建立积分式,用微元分析法(元素法),分布在有界闭域上的整体量,3.解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2.用重积分解决问题的方法,上页下页,8.4.1重积分在几何上的应用,一、平面图形的面积,上页下页,解曲线为一双纽线,图形关于极轴和极点都对称.,D,因此曲线所围成图形的面积,二、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域的立体的体积为,上页下页,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,上页下页,例2.求球体,上页下页,解:,由对称性可知,D,例2.求半径为a的球面与半顶角为的内接,锥面所围成的立体(含在锥面内)的体积.,解:如图,在球面坐标系下立体所占,则立体体积为,上页下页,区域为,上页下页,上页下页,解利用柱面坐标计算,三、空间曲面的面积,设光滑曲面,则面积A可看成曲面上各点,处小切平面的面积dA无限积累而成.,设它在D上的投影为d,上页下页,(称为面积元素),则,故有曲面面积公式,即,上页下页,若光滑曲面方程为,则有,上页下页,若光滑曲面方程为,则有,解由对称性,其面积为它在第一卦限部分面积,的8倍.,它在,面上的投影区域为,由,在第一卦限,球面方程为,得,上页下页,例5.计算半径为a的球的表面积.,因此,于是整个球面面积为,上页下页,注:上述二重积分是一个广义二重积分!,解:,设球面方程为,则球面面积元素为,方法2利用球面的球面坐标方程.,上页下页,刚才是利用球面的直角坐标方程解决的,还可直接用,元素法.,例6.计算双曲抛物面,被柱面,所截,解:曲面在xoy面上投影为,则,出的面积A.,上页下页,上页下页,解先求割下部分在,平面上的投影区域.,故投影区域为,由,一物体的质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知,该质点系的质心坐标,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,公式,分别位于,为,为,即:,采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心,上页下页,8.4.2重积分在物理上的应用,将分成n小块,将第k块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此质点,在第k块上任取一点,上页下页,同理可得,则得形心坐标:,上页下页,若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积),得D的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度,对x轴的静矩,对y轴的静矩,上页下页,上页下页,解记所考虑的球体为,球面的方程为,由对称性,得,例7设有一半径为,的球体,,是此球表面上的一,平方成正比(比例常数,),求球体的,重心位置.,上页下页,而,故,上页下页,例8.求位于两圆,和,的质心.,解:利用对称性可知,而,之间均匀薄片,上页下页,二物体的转动惯量,设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数,该物体位于(x,y,z)处的微元,因此物体对z轴的转动惯量为:,对z轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,上页下页,类似可得:,对x轴的转动惯量为,对y轴的转动惯量为,对原点的转动惯量为,上页下页,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,上页下页,的转动惯量.,直角坐标系,圆锥体的方程为,设密度为,用柱面坐标,锥面方程为,则,上页下页,例10.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.,解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量,上页下页,作业,P2092,4,6,8,9,上页下页,备用题,上页下页,提示:,记雪堆体积为V,侧面积为S,则,(用极坐标),上页下页,由题意知,令,得,(小时),因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100,小时.,上页下页,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积V.,解:曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在xoy面上的投影为,(记所围域为D),在点,1.求曲面,上页下页,- 配套讲稿:
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- D84 积分 应用
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