《极值点偏移问题的处理策略及探究》
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1 极值点偏移问题的处理策略及探究 所谓极值点偏移问题 是指对于单极值函数 由于函数极值点左右的增减速度不同 使得函数图像没有对称性 若函数 在 处取得极值 且函数 与直线 fx0 yfx 交于 两点 则 的中点为 而往往 yb 1 Ax2 BbAB12 xMb 120 如下图所示 极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考 作为热点以压轴题的形式给出 很多学生对待此 类问题经常是束手无策 而且此类问题变化多样 有些题型是不含参数的 而更多的题型 又是含有参数的 不含参数的如何解决 含参数的又该如何解决 参数如何来处理 是否 有更方便的方法来解决 其实 处理的手段有很多 方法也就有很多 我们先来看看此类 问题的基本特征 再从几个典型问题来逐一探索 问题特征 处理策略 2 1 不含参数的问题 例 1 2010 天津理 已知函数 如果 且 xfeR 12x 12 fxf 证明 12 x 解析 法一 易得 在 1xfxe f 上单调递增 在 上单调递减 时 x 时 函fx 0 f x 0f 数 在 处取得极大值 且 如图所 1 1 f1e 示 由 不妨设 则必有 1212 fxfx 12x 120 x 构造函数 Ff 则 所以 在 上单调递增 21 xxf e Fx 0 1 也即 对 恒成立 0 ff0 1 由 则 12x 10 x 所以 即 1 112 fffxffx 12 fxf 又因为 且 在 上单调递减 2 x 所以 即证1 12 x 法二 欲证 即证 由法一知 故2x 1 120 x 又因为 在 上单调递减 故只需证 又12 fx 1 fxf 因为 2fxf 故也即证 构造函数 则等价于证明11 x 2 0 Hxfx 对 恒成立 0Hx 由 则 在 上单调递增 所2 2 0 xxffe x 1 以 即已证明 对 恒成立 故原不等式 亦成1x H 1 2x 3 立 法三 由 得 化简得 12 fxf 12xxe 21xe 不妨设 由法一知 令 则 代入 式 21 12o 21t210 txt 得 反解出 则 故要证 1txe 1te 121txe 即证 又因为 等价于证明 12 2t 0te 0tte 构造函数 则 2 1 tGte 1 0t tGtee 故 在 上单调递增 从而 也在 上单调 0t t 递增 即证 式成立 也即原不等式 成立 0 t 12x 法四 由法三中 式 两边同时取以 为底的对数 得 也即e2121lnlnx 从而 21lnx 2212112121 1ln llxxx x 令 则欲证 等价于证明 21 xt 12x ln21t 构造 则 ln ln 1 tMtt 2l ttM 又令 则 由于21l tt 2ln1lntttt 对 恒成立 故 在 上单调递增 所以ln 0 从而 故 在 上单调递增 由洛比塔法则知 0t t t1 即证 即证1111 ln lnlimliimi l 2xxxxt tMt t 2Mt 式成立 也即原不等式 成立 2 4 点评 以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式 方法一 二 利用构造新的函数来达到消元的目的 方法三 四则是利用构造新的变元 将两个旧的变 元都换成新变元来表示 从而达到消元的目的 2 含参数的问题 例 2 已知函数 有两个不同的零点 求证 xaef 12 x21 x 解析 思路 1 函数 的两个零点 等价于方程 的两个实根 从而这一问题f xea 与例 1 完全等价 例 1 的四种方法全都可以用 思路 2 也可以利用参数 这个媒介去构造出新的函数 解答如下 a 因为函数 有两个零点 fx12 x 所以 2 1xe 由 得 211xea 要证明 只要证明 12x 2x 由 得 即 121 x 12xae 即证 1212 xe 21 xe 不妨设 记 则 12t 0 t 因此只要证明 te t 再次换元令 即证xxt ln 2 1 l0 1 xx 构造新函数 2 1 lF F 求导 得 在 递增 2 2140 xx x 1 所以 因此原不等式 获证 0 12 点评 含参数的极值点偏移问题 在原有的两个变元 的基础上 又多了一个参数 12 故思路很自然的就会想到 想尽一切办法消去参数 从而转化成不含参数的问题去解决 或者以参数为媒介 构造出一个变元的新的函数 例 3 已知函数 为常数 若函数 有两个零点 lnfxa fx12 x 试证明 21 e 解析 法一 消参转化成无参数问题 是方程 的两根 也是方ln 0lnlxfxxae 12 0fx 程 的两根 则 是 设 lle12 xa12ln lux xge 5 则 从而 此问题等价转化成12 gu 211212lnxexu 为例 1 下略 法二 利用参数 作为媒介 换元后构造新函数 a 不妨设 12x 2ln0 ln0 x 12121212ln ln xaxxa 欲证明 即证 12xa21e 12l 即证 1212ln x 12ax 原命题等价于证明 即证 令 1212ln 122 lnx 12 xtt 构造 此问题等价转化成为例 2 中思路二的解答 下略 2 l tgt 法三 直接换元构造新函数 设 1221lnln xxa 211 xtt 则 112ll tttxx 反解出 1211lnlnl lnl1t tttx 故 转化成法二 下同 略 21l 2xext 例 4 设函数 其图像与 轴交于 两点 且 faR x 0 21xBA 证明 21x 12 0 x 解析 由 易知 的取值范围为 xfefea 2 e 在 上单调递减 在 上单调递增 fx lna ln 法一 利用通法构造新函数 略 法二 将旧变元转换成新变元 两式相减得 120 xea 21xea 6 记 则 21 0 xtt 1212112 xxx ttef et 设 则 所以 在 上 ttgte 0ttgt gt 0 单调递减 故 而 所以 0tg 120 xet 12 xf 又 是 上的递增函数 且 xfea R12 0 21 xf 容易想到 但却是错解的过程 欲证 即要证 亦要证 也即证 0 21 xf 12 0 xf 120 xea 很自然会想到 对 两式相乘得 12xea 1 12 2 x xea 即证 考虑用基本不等式1212 xx 12 也即只要证 由于 当取212 124x 12 lnxa 将得到 从而 而二元一次不等式 对任意3aex 124x 不恒成立 故此法错误 2 迷惑 此题为什么两式相减能奏效 而变式相乘却失败 两式相减的思想基础是什么 其他题是否也可以效仿这两式相减的思路 解决 此题及很多类似的问题 都有着深刻的高等数学背景 拉格朗日中值定理 若函数 满足如下条件 fx 1 函数在闭区间 上连续 ab 2 函数在开区间 内可导 则在 内至少存在一点 使得 ab ffba 当 时 即得到罗尔中值定理 f 上述问题即对应于罗尔中值定理 设函数图像与 轴交于 两点 因此x12 0 ABx 12 21 e 0 0ABff axk 21xea 7 由于 显然 与 与已知12 0fxf 1 0fxf 1 0fx 不是充要关系 转化的过程中范围发生了改变 例 5 11 年 辽宁理 已知函数 2 ln fxax I 讨论 的单调性 II 设 证明 当 时 0a 1xa 1 fxfa III 若函数 的图像与 轴交于 两点 线段 中点的横坐标为 证明 yf AB0 x 0 fx 解析 I 易得 当 时 在 上单调递增 当 时 在0a fx0 a fx 上单调递增 在 上单调递减 1 a1 II 法一 构造函数 利用函数单调性证明 11 gxffxaa 方法上同 略 法二 构造以 为主元的函数 设函数 则a hffx 由 ln1 l 2hxax 3211xaa 解得 当 时 而 所以 0a 10 0 0h h 0h 故当 时 x fxfa III 由 I 知 只有当 时 且 的最大值 函数 才会有两x1 fa yfx 个零点 不妨设 则 故 由1212 0 AxB 120 x 10 a II 得 又由 在2 ffxfffaa fx 上单调递减 所以 于是 由 I 知 1 21120a 0 问题的进一步探究 对数平均不等式的介绍与证明 两个正数 和 的对数平均定义 ab ln bLa 8 对数平均与算术平均 几何平均的大小关系 此式记为对数平均不等式 2ababL 取等条件 当且仅当 时 等号成立 只证 当 时 不失一般性 可设 证明如下 2abL ab I 先证 ab 不等式 1lnln2ln 1 abaxxb 中 构造函数 则 因为 时 1 2l fxx 22 f 所以函数 在 上单调递减 故 从而不等式 成0f f 10fx 立 II 再证 2abL 不等式 2 1 2 1 lnlnln1 axabb 中 构造函数 则 因为 时 2 1 l xgx 224 1 gxx x 所以函数 在 上单调递增 故 从而不等式 成立 0 0g 综合 I II 知 对 都有对数平均不等式 成立 当且 abR 2ababL 仅当 时 等号成立 ab 前面例题用对数平均不等式解决 例 1 2010 天津理 已知函数 如果 且 xfeR 12x 12 fxf 证明 12 x 解析 法五 由前述方法四 可得 利用对数平均不等式得 12lnx 即证 秒证 1212lnxx 12 说明 由于例 2 例 3 最终可等价转化成例 1 的形式 故此处对数平均不等式的方法省略 9 例 4 设函数 其图像与 轴交于 两点 且 Raxef x 0 21xBA 证明 21x 0 21 解析 法三 由前述方法可得 等式两边取以 1212 ln xxeaax 为底的对数 得 化简得 e12lnl ln x 由对数平均不等式知 12 lnl x 即 故要证1212 ll xx 122 0 x 12121212lnln 0 1 lnf ax 证 证 2 212lnl xxx x 证 证 122 1l l0 而 21 0 xxx 显然成立 故原问题得证 1221212ln 例 5 11 年 辽宁理 已知函数 2 ln fxax I 讨论 的单调性 II 设 证明 当 时 0a 1xa 1 fxfa III 若函数 的图像与 轴交于 两点 线段 中点的横坐标为 证明 yf AB0 x 0 fx 解析 I II 略 III 由 12 0ffx 2 21 2lnln 0 xaax 122121 x 10 1212ln xxa 故要证 1200 f a 21211212lnln xxxx 根据对数平均不等 此不等式显然成立 故原不等式得证 1212lx 挑战今年高考压轴题 2016 年新课标 I 卷理数压轴 21 题 已知函数 有两个零点2 1 2 xaexf 证明 21 x12x 解析 由 得 可知 在2 1 xfea 1 xfxe fx 上单调递减 在 上单调递增 要使函数 有两个零点 则必须 yf 12 0a 法一 构造部分对称函数 不妨设 由单调性知 所以 又 12x 12 1 xx 2 x 在 单调递减 故要证 等价于证明 f 1 1 0ffx 又 且222 xxea 222 xfxea 构造函数 22 xf eg x 由单调性可证 此处略 法二 参变分离再构造差量函数 由已知得 不难发现 120fxf 1x 2 故可整理得 122xxeea 设 则 21 xgx 12gx 那么 当 时 单调递减 当 时 3 xe 0g x1x 11 单调递增 0gx x 设 构造代数式 m 11122221 1mmmgeee 设 2mhe0 则 故 单调递增 有 2 1 h 0hm 因此 对于任意的 0m 1g 由 可知 不可能在 的同一个单调区间上 不妨设 12gx 1x2 x 12x 则必有 令 则有10mx 111122gxgxgxgx 而 在 上单调递增 因此 22 112gxx 整理得 2 法三 参变分离再构造对称函数 由法二 得 构造 利用单调性可 21 xegx 2 1 Ggxx 证 此处略 法四 构造加强函数 分析说明 由于原函数 的不对称 故希望构造一个关于直线 对称的函数 fx 1x g x 使得当 时 当 时 结合图像 易证原不等式成立 1x fg1 fxg 解答 由 故希望构造一个函数2 2 xea 1 2 xea 使得 从而 在 Fx x Fx 上单调递增 在 上单调递增 从而构造出 为 1 1 2 1egxc 任意常数 又因为我们希望 而 故取 从而达到目的 故0F 1 fe c 12 设 的两个零点为 结合图像可知 2 1 eaxgxe gx34 x 所以 即原不等式得证 1324 1234 法五 利用 对数平均 不等式 12122 0 xxeeaax 参 变 分 离 得 由 得 122 lnln x 将 上 述 等 式 两 边 取 以 为 底 的 对 数 得 221112 ln l l x x化 简 得 2211121212 l l ln ln xxxx 故 由对数平均不等式得 221 221 ln l xx 1212 l l 2 从而 1212 xx 12 12 4 xx 1212 x 等价于 1212 04 xx 12221 12 x 13 由 故 证毕 221 12 0 4 0 xx 12x 说明 谈谈其它方法的思路与困惑- 配套讲稿:
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