微观经济学计算题
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第二章 需求、供给计算题1、 假设X商品的需求曲线为直线,QX=40-0.5PX,Y商品的需求曲线也为直线,X与Y的需求线在Px=8的那一点相交,在Px=8的那一点上,X的需求弹性的绝对值只有的Y的需求弹性的绝对值的一半,请根据上述条件求Y的需求函数。解:当PX=8时,QX=36,且|EX|=1/9,故|EY|=2/9,设Y商品的需求函数为QY=a-bPY, 由此可得b=1,由于36=a-8,得a=44,故Y商品的需求函数为QY=44-PY.2、 某人每周收入120元,全部花费在X和Y两种商品上,他的效用函数为U=XY,PX=2元,PY=3元。求(1)为获得最大效用,他会购买几单位X和Y?(2)货币的边际效用和总效用各多少?(3)假如X的价格提高44%,Y的价格不变,为使他保持原有的效用水平,收入必须增加多少?解:(1)由U=XY,得MUX=Y,MUY=X,根据消费者均衡条件得Y/2=X/3 考虑到预算方程为2X+3Y=120 解得X=30,Y=20(2)货币的边际效用=MUX/PX=Y/PX=10 总效用TU=XY=600(3)提价后PX=2.88 新的消费者均衡条件为Y/2.88=X/3 由题意知XY=600,解得X=25,Y=24 将其代入预算方程M=2.8825+324=144元 M=144-120=24元 因此,为保持原有的效用水平,收入必须增加24元。3、证明需求曲线P=a/Q上的点均为单一弹性证明:dQ/dP=-aP-2, Ed=(dQ/dP)(P/Q)=(-aP-2)(P/aP-1)=-1, 故| Ed|=1,为单一弹性。4、1986年7月某外国城市公共汽车票价从32美元提高到40美元,1986年8月的乘客为880万次,与1985年同期相比减少了12%,求需求的弧弹性.解:由题设, P1=32, P2=40, Q2=880 Q1=880/(1-12%)=880/88%=1000 于是,Ed=(Q2-Q1)/( P2-P1)(P1+P2)/(Q1+Q2)-0.57 故需求弹性约为-0.57.5、设汽油的需求价格弹性为-0.5,其价格现为每加仑1.20美元,试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少10?解:因为(dQ/Q)(P/dP)=-0.5 要使dQ/Q=-10%,则有dP/P=1/5 dP=1.20.2=0.24 所以每加仑汽油价格要上涨0.24美元6、某电脑公司生产的芯片的需求弹性为-2,软盘驱动器的弹性为-1,如果公司将两种产品都提价2%,那么这些产品的销售将会怎样变化?解:因为芯片弹性(dQ/Q)(P/dP)=-2 所以dQ/Q=-22%=-4%因为软盘驱动器弹性(dQ/Q)(P/dP)=-1 所以dQ/Q=-12%=-2%即提价2%后,芯片销售下降4%,软盘驱动器销售下降2%。7、消费x,y两种商品的消费的效用函数为:u=xy, x,y的价格均为4,消费者的收入为144,求x价格上升为9,所带来的替代效应和收入效应。解:Mux=y Muy=x 因为Mux/Px=Muy/Py 得X=y 又因为4X+4y=144 得X=y=18 购买18单位x与18 单位y,在x价格为9时需要的收入M=234 在实际收入不变时,Mux/Muy=Px/Py=y/x=9/4 且9x+4y=234得x=13,可以看出由于替代效应对X商品的购买减少5单位。再来看价格总效应,当Px=9,Py=4时,Mux=y Muy=x Y/x=9/4且 9x+4y=144得X=8 y=18 由此可见价格总效应使X商品的购买减少10单位,收入效应与替代效应各为5单位。8、某消费者消费X和Y两种商品时,无差异曲线的斜率处处是Y/X,Y是商品Y的消费量,X是商品X的消费量。(1)说明对X的需求不取决于Y的价格,X的需求弹性为1;(2)PX=1,PY=3,该消费者均衡时的MRSXY为多少?(3)对X的恩格尔曲线形状如何?对X的需求收入弹性是多少?解:(1)消费者均衡时,MRSXY=Y/X=PX/PY,即PXX=PYY, 又因为PXX+PYY=M,故X=M/2PX,可见对X的需求不取决于Y的价格。 由于dX/dPX=-M/2PX2 |EX|=-(dX/dPX)(PX/X)=1 (2)已知PX=1,PY=3,消费者均衡时,MRSXY=PX/PY=1/3。 (3)因为X=M/2PX,所以dX/dM=1/2PX, 若以M为纵轴,X为横轴,则恩格尔曲线是从原点出发,一条向右上方倾斜的直线,其斜率是dM/dX =2PX。 对X的需求收入弹性EM=(dX/dM)(M/X)=19、已知销售商品X的总收益(R=PQ)方程为:R=100Q-2Q2,计算当边际收益为20时的点价格弹性。解:由R=100Q-2Q2,得MR=dR/Dq=100-4Q 当MR=20时,Q=20,考虑到R=PQ=100-2Q2,得P=100-2Q=60 Ed=(dQ/dP)(P/Q)=(-1/2)(60/20)=-3/210、X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者,这两家公司的主要产品的需求曲线分别为:PX=1000-5QX,PY=1600-4QY,这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。(1)求X和Y当前的价格弹性;(2)假定Y降价后,使QY增加到300单位,同时导致X的销售量QX下降到75单位,试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少?(3)假定Y公司的目标是谋求销售收入最大化,你认为它降价在经济上是否合理?解:(1)PX=1000-5QX=1000-5100=500 PY=1000-5QY=1600-4250=600 EdX=(dQX/dPX)(PX/QX)= (-1/5)(500/100)=-1 EdY=(dQY/dPY)(PY/QY)= (-1/4)(600/250)=-3/5 (2)由题设,QY=300,QX=75 则 PY=1600-4QY=400 QX=-25, QY=-200 于是EXY=(QX/PY)(PY+PY)/22/(QX+QX)=5/7 (3)根据(1)得知Y公司产品在价格P=600时,需求价格弹性为-3/5,说明缺乏弹性, 这时降价会使销售收入减少,故降价不合理.第三章 消费者行为理论计算题1、某人每周花 360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:U=2X2Y,求在均衡状态下,他如何购买效用最大?解:max:U=2X2Y S.T 360=3X+2Y构造拉格朗日函数得:W=2X2Y+(360-3X-2Y)dW/Dx=MUx-3=4xy-3=0dW/Dy=MUy-2=2x2-2=0求得:4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=602、求最佳需求,maxU=X1+(X2-1)3/3 S.T 4X1+4X2=8(1) 如果效用函数变为U=3X1+(X2-1)3,而预算约束不变则最佳需求会改变吗?(2)如果效用函数不变,而预算约束变为2X1+2X2=4, 则最佳需求会改变吗?解:运用拉格朗日函数,L=X1+(X2-1)3/3+(8-4X1-4X2) dL/dX1=1-4=0 dL/dX2=(x2_1)2-4=0 显然,(X2-1)2=1,求得:X2=0,X1=2;或X2=2, X1=0 代入总效用函数,可将X2=2, X1=0舍去,因此最佳需求为X2=0,X1=2 当U=3X1+(X2-1)3时,同理求得X1=2,X2=0,即最佳需求不变. 当预算约束变为2X1+2X2=4时,同理求得:X1=2,X2=0,最佳需求也不变.3、某人的收入为10000元,全部用于购买商品X和商品Y(各自的价格分别为50、20元),其效用函数为u=xy2。假设个人收入税率为10%,商品X的消费税率为20%。为实现效用极大化,该人对商品x、y的需求量应分别为多少?解:M=10000(1-10%)=9000 Px=50(1+20%)=60 Py=20 预算约束式:60x+20y=9000 由此可得 y=450-3x 代入u=xy2的得u=9(x3-300x2+22500x) 由du/dx=9(3x2-600x+22500)=0得 x1=150 x2=50 由于x1=150时,u=0不合题义,所以该人需求量为x=50,y=300。4、所有收入用于购买x,y的一个消费者的效用函数为u=xy,收入为100,y的价格为10,当x的价格由2上升至8时,其补偿收入(为维持效用水平不变所需的最小收入)是多少?解:最初的预算约束式为2x+10y=100效用极大化条件MUx/Muy=Px/Py=2/10由此得y/x=1/5x=25,y=5,u=125价格变化后,为维持u=125效用水平,在所有组合(x,y)中所需收入为m=8x+10y=8x+10125/x最小化条件(在xy=125的约束条件下)dm/dx=8-1250x-2=0解得x=12.5,y=10,m=2005、若某消费者的效用函数为U=XY4,他会把收入的多少用于商品Y上? 解:由U=XY4,得MUX=Y4,MUY=4XY3,根据消费者均衡条件得Y4/PX=4XY3/PY,变形得:PXX=(1/4)PYY,将其代入预算方程得PYY=(4/5)M,即收入中有4/5用于购买商品Y。6、设某消费者的效用函数为U(x,y)=2lnx+(1-)lny;消费者的收入为M; x,y两商品的价格分别为PX,PY;求对于X、Y两商品的需求。解: 构造拉格朗日函数L=2lnX+(1-)lnY+(M-PXX-PYY) 对X 、Y 分别求一阶偏导得2Y/(1-)X=PX/PY 代入PXX+PYY=M 得:X=2M/(3-) PX Y=(1-)M/(3-) PY7、某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数X,和对商品Y的消费量,购买Y的支出全部来源于其劳动天数L所得的工资。假设日工资为100元,商品Y的价格为50元,问该人若想实现效用最大化(U=X2Y3),则他每年应安排多少个劳动日?解:预算约束式为50Y=100L, 即Y=2L=2(365-X)构造拉格朗日函数L= X2Y3-(Y +2X -730) 对X 、Y 分别求一阶偏导得Y =3X ,进而得X =146,Y =438,L =219,即该人每年应安排219个工作日.8、消费X ,Y两种商品的消费者的效用函数为 U = X3Y2 ,两种商品的价格分别为 PX = 2 ,PY = 1 ,消费者收入为 M = 20 ,求其对 X ,Y 的需求量。解:PXX + PYY = M2X + Y = 20U = X3(20-2X)2 = 400X3 80X4 + 4X5效用极大 1200X2 -320X3 + 20X4 = 0解得X1 = 0 ,X2 = 6 ,X3 = 10X = 0或10时U = 0 ,不合题意所以X = 6 ,Y = 8 。9、令消费者的需求曲线为P=a-bQ,a,b0,并假定每单位商品征收t 单位的销售税,使得他支付的价格提高到P(1+t)。证明,他的消费者剩余的损失将总是超过政府因征税提高的收益。解:设价格为P时,消费者的需求量为Q1,由P=a-bQ1,得Q1= (a-P)/b。又设价格为P(1+t)时,消费者的需求量为Q2,则Q2=a-P(1+t)/b消费者剩余的损失=0Q1(a-bQ)dQ-PQ1-0Q2(a-bQ)dQ-P(1+t)Q2=Q1Q2(a-bQ)dQ+ P(1+t)Q2-PQ1=(aQ-bQ2/2)Q1Q2+ P(1+t)Q2-PQ1政府征税而提高的收益= P(1+t)Q2-PQ1消费者剩余损失政府征税得到的收益=(aQ-bQ2/2)Q1Q2=(aQ1-bQ12/2)- (aQ2-bQ22/2)=(2tP+t2P2)/2b因为b、t、P0 所以(2tP+t2P2)/2b0因此,消费者剩余的损失要超过政府征税而提高的收益。第四章 生产者行为理论计算题1、生产函数为Q=LK-0.5L2+0.08K2,现令K=10,求出APL和MPL 。解:APL=10-0.5L+8/L,MPL=K-L=10-L2、假定某大型生产企业,有三种主要产品X、Y、Z,已知它们的生产函数分别为: QX=1.6L0.4C0.4M0.1 QY=(0.4L2CM)1/2 QZ=10L+7C+M 试求这三种产品的生产规模报酬性质.解:fX(L,C,M)= 1.6(L)0.4(C)0.4(M)0.1=0.9QX 产品X的规模报酬递减 fY(L,C,M)= 0.4(L)2(C)(M)1/2=2QY 产品Y的规模报酬递增 fZ(L,C,M)= 10L+7C+M=QZ 产品Z的规模报酬不变3、已知生产函数为Q=f(K,L)=10KL/(K+L),求解(1)劳动的边际产量及平均产量函数;(2)劳动边际产量的增减性。解:()劳动的边际产量MPL=dQ/dL=10K2/(K+L)2, 劳动的平均产量APL=Q/L=10K/(K+L) (b)因为MPL=10K2/(K+L)2,得: d(MPL)/dL=-10K22(K+L)/(K+L)4 =-20K2/(K+L)3(a/b)2时,(PB0.5b)/a1,即第1种生产方法的产品平均成本大于第2种生产方法,故应选用第2种生产方法.12、某企业成本函数为c=x2+100,c为总成本,x为产品x的产量(1) 画出边际成本曲线和平均成本曲线(2) 若产品市场价格p=40,那么x为多少(3) 产品价格达到多少时,企业利润为正解:(1)MC=2x AC=x+100/x(2)=PX-C=40x-x2-100d/dx=40-2x=0 x=20(3)企业利润为正 即=PX-C0PC/X=X+100/X 即 p20第五章 完全竞争市场计算题1.设完全竞争市场中代表性厂商的总成本函数TC=240Q-25Q2+Q3,若该产品的市场价格是1440元,试问该厂商利润最大时的产量和利润。解:均衡条件为P=MC,即240-50Q+3Q2,可得Q=30,=315002.一个完全竞争的厂商每天利润最大化的收益为5000美圆。此时,厂商的平均成本是8美圆,边际成本是10美圆,平均变动成本是5美圆。试求该厂商每天的产量和固定成本各是多少?解:根据利润最大化条件P=MR=MC,得P=10由TR=PQ=5000,得Q=TR/P=500又AC= 8 TC=ACQ=4000(元) TVC=AVCQ=5500=2500(元)TFC=TC-TVC=4000-2500=1500(元)即产量为500,固定成本为1500元。3.完全竞争产业中某厂商的成本函数为TC=q36q2+30q+40 ,假设产品的价格为66元.(1)求利润最大时的产量及利润总额;(2)若市场价格为30 元,在此价格下,厂商是否会发生亏损?如果会,最小亏损额为多少?(3)该厂商在什么情况下才会退出该产业?解:(1)根据利润最大化条件P=MR=MC 可算出q=6 =176 (2)当短期均衡时, P=MR=MC ,可得q=4,AC=q26q+30+40/q=32 可知单位产品的亏损额为2元. 因此总的亏损额为8元 (3)AVC=q26q+30 MC=3q212q+30 根据AVC=MC,求出实现最低平均可变成本时,产出q=3 代入P=AVC=q26q+30,可得p=21 即当p,市场上新鲜草莓会供不应求,一部分需求得不到满足,供求缺口为2000个单位。10水蜜桃的生产成本是每公斤2元,但运输成本较高,每公斤桃子每公里0.2元。市场上对它的需求为:=5000-200P,在离市场5公里的地区有果园,每季产量为3000公斤,不考虑水蜜桃的储存,求:(1)生产厂商共得多少净利润?(2)若要新建一个产量为1000公斤的果园,那么这个新果园离市场最远的距离。1 解:不考虑储存,属于市场期均衡市场出清的条件是=(1)3000=5000-200PP=10利润=30000-9000=21000(2)新的均衡价格 =4000=5000-200PP=5对于新果园里的厂商来说,利润=5000-1000(2+0.2n), n为距离市场的公里数必须满足0,否则新厂商不会经营下去5000-1000(2+0.2n) 0n15 这个新果园离市场最远的距离为15公里。11在短期的完全竞争市场上,市场供给函数为=1800P-60000,市场需求函数为=100000-200P,求:(1)短期均衡价格;(2)厂商面对的需求函数。2 解:均衡条件:=1800P-60000=100000-200P短期均衡价格为:P=80(元)在完全竞争市场,厂商的产量在市场上是微不足道的,它是价格的接受者,可以在既定的价格下卖出任意多的商品,所以,厂商面对的需求曲线是一条水平直线 P=8012上题中,若有个厂商的短期成本函数为:STVC=0.16+132.5q,STFC=400,求:(1)该厂商的利润最大化产量是多少?(2)该厂商的净利润是多少?(3)若该厂商的生产成本发生变化,固定成本增加:STFC=400 +c,那么c为多少时该厂商开始停止生产?3 解:(1)厂商追求利益最大化,即最大化,必须MR=MC完全竞争厂商的边际收益就是产品的价格,所以均衡产量是P=MC的产量0.3-12q+132.5=80q=35或q=5,经检验q=5不是的极大值点所以该厂商的短期均衡产量是35(2)=TR-TC=Pq-(0.16+132.5q+400)=825(3)固定成本的变化不影响MC的大小,从而不影响均衡产量,只影响到利润=825-c,当固定成本的增量c为825时,厂商的净利润为零,当c超过825元,厂商的净利润开始为负,产生亏损,但只要c小于1225元,此时的总收益能够补偿全部的变动成本和一部分固定成本,短期内厂商仍然会选择生产。当c超过1225元时总收益不仅不能补偿固定成本、连变动成本也不能补偿,此时厂商会停止生产、退出此行业。13快餐业是近似的完全竞争市场,厂商的短期成本函数是:STVC=0.2+3q,STFC=2000,q是每天的产量、单位是份,成本单位是元,(1)求:该厂商的短期供给函数;(2)假设这个完全竞争市场中共有1000家成本函数相同的厂商,求:市场的供给函数。4 解:(1)厂商的短期边际成本SMC=0.4q+3当市场价格为P时,厂商的均衡产量是使SMC=MR=P的产量,并且由于是短期均衡,只要TRSTVC,现有厂商还是愿意供给产品的得出厂商的短期供给函数为:q=2.5P-7.5,(其中q100的部分,厂商处于亏损)(2)市场上有100家相同的厂商,市场供给量Q=1000q=2500P-7500市场供给函数为:Q=2500P-750014某企业处于完全竞争市场中,它的成本函数为STC=0.1+8q,该企业利润最大化的产量为q=30。现在企业准备再建一条生产线,新生产线的成本函数为STC*=0.05+10q,求:新生产线的产量是多少?15完全竞争市场中,厂商的长期成本函数LTC=.05-+10q,当市场价格P=30时,该厂商的利润最大化产量以及净利润是多少?这个产出点是均衡的吗? 解:厂商的长期利润最大化产量是由LMC=MR来决定的0.15-2q+10=30解得q=20=TR-LTC=600-(.05-+10q)=400厂商的净利润为400,在完全竞争市场,这种产出点是不稳定的,因为长期净利润的存在会吸引新的加入者,使行业的供给曲线增加,在需求不变的情况下价格会下降,直到厂商的净利润为零。16 小家电市场上的年消费量(单位:万台)与价格水平有关:Q=20000-4P (P是产品单价) ,市场是完全竞争的。厂商的成本函数均为LTC=.001q3-2q+2000q(q是厂商的年产量,单位:台)。求:(1)市场的长期均衡价格、厂商的均衡产量;(2)市场均衡产量、市场中厂商个数。 解:完全竞争市场的长期均衡价格是厂商的长期平均成本的最低点P=LAC=LMC= SAC = SMC根据厂商的长期成本曲线,可知LAC曲线的最低点为q=1000(元),LAC=1000(元)市场的- 配套讲稿:
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