2016全国二卷理科数学高考真题及答案
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2016 年全国高考理科数学试题全国卷 2 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知 z m 3 m 1 i 在复平面内对应的点在第四象限 则实数 m 的取值范围是 A 3 1 B 1 3 C 1 D 3 2 已知集合 A 1 2 3 B x x 1 x 2 0 的直线交 E 于 x2t y23 A M 两点 点 N 在 E 上 MA NA 1 当 t 4 AM AN 时 求 AMN 的面积 2 当 2 AM AN 时 求 k 的取值范围 21 本小题满分 12 分 1 讨论函数 f x ex 的单调性 并证明当 x 0 时 x 2 ex x 2 0 x 2x 2 2 证明 当 a 0 1 时 函数 g x x 0 有最小值 设 g x 的最小值为 h a 求函数 h a 的值域 ex ax ax2 请考生在 22 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在正方形 ABCD 中 E G 分别在边 DA DC 上 不与 端点重合 且 DE DG 过 D 点作 DF CE 垂足为 F 1 证明 B C G F 四点共圆 2 若 AB 1 E 为 DA 的中点 求四边形 BCGF 的面积 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 圆 C 的方程为 x 6 2 y2 25 1 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 求 C 的极坐标方程 2 直线 l 的参数方程是 t 为参数 l 与 C 交于 A B 两点 AB 求 l 的斜率 x tcos y tsin 10 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x x x M 为不等式 f x 2 的解集 12 12 1 求 M 2 证明 当 a b M 时 a b 0 m 1 0 3 m 1 故选 A 2 解析 B x x 1 x 2 0 x Z x 1 x 2 x Z B 0 1 A B 0 1 2 3 故选 C 3 解析 向量 a b 4 m 2 a b b a b b 10 2 m 2 0 解得 m 8 故选 D 4 解析 圆 x2 y2 2x 8y 13 0 化为标准方程为 x 1 2 y 4 2 4 故圆心为 1 4 d 1 解得 a a 4 1 a2 1 故选 A 43 5 解析一 E F 有 6 种走法 F G 有 3 种走法 由乘法原理知 共 6 3 18 种走法 故选 B 解析二 由题意 小明从街道的 E 处出发到 F 处最短有 C 条路 再从 F 处到 G 处最短共有 C 条路 则小明 24 13 到老年公寓可以选择的最短路径条数为 C C 18 条 故选 B 24 13 6 解析 几何体是圆锥与圆柱的组合体 设圆柱底面圆半径为 r 周长为 c 圆锥母线长为 l 圆柱高为 h 由图得 r 2 c 2 r 4 由勾股定理得 l 4 S 表 r2 ch cl 4 16 8 28 故选 C 22 2 r 3 2 12 7 解析 由题意 将函数 y 2sin2x 的图像向左平移 个单位得 y 2sin2 x 2sin 2x 则平移后函数的对 12 12 6 称轴为 2x k k Z 即 x k Z 故选 B 6 2 6k 2 8 解析 第一次运算 s 0 2 2 2 第二次运算 s 2 2 2 6 第三次运算 s 6 2 5 17 故选 C 9 解析 cos sin2 cos 2 2cos2 1 故选 D 4 35 2 4 725 解法二 对 cos 展开后直接平方 4 35 解法三 换元法 10 解析 由题意得 x i yi i 1 2 3 n 在如图所示方格中 而平方和小于 1 的点均在如图的阴影中 由几何概型概率计算公式知 故选 C 41 mn 4mn 11 解析 离心率 e 由正弦定理得 e 故选 A F1F2MF2 MF1 F1F2MF2 MF1 sinMsinF1 sinF2 223 1 13 2 12 解析 由 f x 2 f x 得 f x 关于 0 1 对称 而 y 1 也关于 0 1 对称 x 1x 1x 对于每一组对称点 xi x i 0 yi y i 2 11102 mmiiiii i mxy 故选 B 13 解析 cosA cosC sinA sinC sinB sin A C sinAcosC cosAsinC 45 513 35 1213 6365 由正弦定理 解得 b bsinB asinA 2113 14 解析 对于 m n m n 则 的位置关系无法确定 故错误 对于 因为 n 所以 过直线 n 作平面 与平面 相交于直线 c 则 n c 因为 m m c m n 故 正确 对于 由两个 平面平行的性质可知正确 对于 由线面所成角的定义和等角定理可知其正确 故正确的有 15 解析 由题意得 丙不拿 2 3 若丙 1 2 则乙 2 3 甲 1 3 满足 若丙 1 3 则乙 2 3 甲 1 2 不满足 故甲 1 3 16 解析 y lnx 2 的切线为 y x lnx1 1 设切点横坐标为 x1 1x1 y ln x 1 的切线为 y x ln x2 1 1x2 1 x2x2 1 1x1 1x2 1 lnx1 1 ln x2 1 x2x2 1 解得 x1 x 2 b lnx 1 1 1 ln2 12 12 17 解析 1 设 a n 的公差为 d S 7 7a4 28 a 4 4 d 1 a n a1 n 1 d n a4 a13 b1 lga1 lg1 0 b 11 lga11 lg11 1 b 101 lga101 lg101 2 2 记 b n 的前 n 项和为 Tn 则 T1000 b1 b2 b1000 lga1 lga2 lga1000 当 0 lgan 1 时 n 1 2 9 当 1 lgan 2 时 n 10 11 99 当 2 lgan0 整理得 k 1 4k 2 k 4 0 1 k2 123 4k2 1 k2 123k 4k 4k2 k 4 0 无实根 k 1 所以 AMN 的面积为 AM 2 2 12 12 1 1 123 4 14449 2 直线 AM 的方程为 y k x t 联立椭圆 E 和直线 AM 方程并整理得 3 tk 2 x2 2t k2x t2k2 3t 0 解得 x 或 x t t t tk2 3t3 tk2 AM AN 1 k2 t tk2 3t3 tk2 t 1 k2 6t3 tk2 1 k2 6t3k tk 2 AM AN 2 整理得 t 1 k2 6t3 tk2 1 k2 6t3k tk 6k2 3kk3 2 椭圆 E 的焦点在 x 轴 t 3 即 3 整理得 0 解得 k0 f x 在 2 和 2 上单调递增 x 0 时 ex f 0 1 x 2 e x x 2 0 x 2x 2 2 g x a 0 1 ex a x2 2x ex ax a x4 x xex 2ex ax 2a x4 x 2 F x 2 x 2 ex a x3 由 1 知 当 x 0 时 f x ex 的值域为 1 只有一解 使得 et a t 0 2 x 2x 2 t 2t 2 当 x 0 t 时 g x 0 g x 单调增 h a et a t 1 t2 et t 1 t 2t 2 ett2 ett 2 记 k t 在 t 0 2 时 k t 0 k t 单调递增 h a k t ett 2 et t 1 t 2 2 12e24 22 解析 1 证明 DF CE Rt DEF Rt CED GDF DEF BCF DFDGCFBC DE DG CD BC GDF BCF CFB DFG DFDGCFBC GFB GFC CFB GFC DFG DFC 90 GFB GCB 180 B C G F 四点共圆 2 E 为 AD 中点 AB 1 DG CG DE 在 Rt GFC 中 GF GC 连接 GB Rt BCG Rt BFG S 四边形 BCGF 2S BCG 2 1 12 12 1212 23 解 1 整理圆的方程得 x2 y2 12x 11 0 由 2 x2 y2 cos x sin y 可知圆 C 的极坐标方程为 2 12 cos 11 0 2 记直线的斜率为 k 则直线的方程为 kx y 0 由垂径定理及点到直线距离公式知 即 整理得 k2 则 k 6k 1 k2 25 F r 10 2 2 36k2 1 k2904 53 153 24 解析 1 当 x 时 f x x x 2x 若 1 x 当 x 时 f x x x 1 时 12 12 12 12 12 12 12 12 12 f x 2x 若 f x 2 x 1 综上可得 M x 1 x0 即 a2b2 1 a2 b2 则 a2b2 2ab 1 a2 2ab b2 则 ab 1 2 a b 2 即 a b ab 1 证毕- 配套讲稿:
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