复变函数复习资料
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一 复数的概念 1 复数的概念 是实数 zxiy Re Imxzyz 21i 注 一般两个复数不比较大小 但其模 为实数 有大小 两个复数相等 当且仅当它们的实部与虚部分别相等 一个复数等于零 当且仅当它的实部与虚部同时等于零 称复数 x iy 和 x iy 互为共轭复数 2 复数的表示 1 模 2zxy 2 幅角 在 时 矢量与 轴正向的夹角 记为 多值0 x Argz 函数 主值 是位于 中的幅角 有无穷个值 argz 2 0 rz 是复数 z 的辐角的主值 2k argz Argza 3 与 之间的关系如下 arctnyx 当 0 x gz 当 arctn 0 gyyxz 4 三角表示 其中 注 中间一定是 sin co r rzgA 号 r z 5 指数表示 其中 ire z rz 二 复数的运算 1 加减法 若 则11222 zxiyzxiy 122zxi 2 乘除法 1 1 若 则1122 zxiyzxiy 2 1 121 1212122xiyizi xyxyi 2 若 则121 iizez 122i 121ize 3 乘幂与方根 对任何整数 n 有 特别地当 r 1 时 有 即 iner z inie niscos isn co 若 则称复数 w 为复数 z 的 n 次方根 记作zn w nz 设 则有 iier n2 01 Kn 故 k 0 n 1 n 21 kperw 与 表示的是同一个复数 i z kiz2 一个圆心在原点 半径为 R 的圆可表示为 z R 一个圆心在 半径为 R 的圆可表示为 0z Rz 0 三 复变函数 1 复变函数 2 复初等函数 1 指数函数 在 平面处处可导 处处解析 cosinzxey z 且 zze 注 是以 为周期的周期函z2i 数 注意与实函数不同 2 对数函数 多值函数 i2ln kzL 0 12 主值 单值函ln arg2 Lzizk 0 1 lnargziz 数 的每一个主值分支 在除去原点及负实轴的 平面内处处解zlnz z 析 且 1lnz 注 负复数也有对数存在 与实函数不同 3 乘幂与幂函数 Lnze z 4 三角函数 sincossin cos t 22coin iizizizezzgtg 在 平面内解析 且sin cozz incos iz 注 有界性 不再成立 与实函数不同 i1 cos 双曲函数 22zzeeshh 奇函数 是偶函数 在 平面内解析 且shzcz szc hs 导数 1 复变函数的导数 1 点可导 0fz 00limzfzf 2 区域可导 在区域内点点可导 f 2 解析函数的概念 1 点解析 在 及其 的邻域内可导 称 在 点解析 fz00z fz0 2 区域解析 在区域内每一点解析 称 在区域内解析 3 若 在 点不解析 称 为 fz00z的奇点 fz 3 3 解析函数的运算法则 解析函数的和 差 积 商 除分母 为零的点 仍为解析函数 解析函数的复合函数仍为解析函数 五 函数可导与解析的充要条件 1 函数可导的充要条件 在 可导 fzuxyivxy zxiy 和 在 可微 且在 处满足 条件 uxy v xy CD 此时 有 vfzix 2 函数解析的充要条件 在区域内解析 fuyi 和 在 在 内可微 且满足 条件 uxy v xyDCD 此时 u vfzix 注意 若 在区域 具有一阶连续偏导数 则 xyv 在区域 内是可微的 因此在使用充要条件证明时 uxyvD 只要能说明 具有一阶连续偏导且满足 条件时 函数u CR 一定是可导或解析的 fziv 3 函数可导与解析的判别方法 1 利用定义 题目要求用定义 2 利用充要条件 函数以 形式给出 fzuxyiv 3 利用可导或解析函数的四则运算定理 函数 是以 的形fz 式给出 八 解析函数与调和函数的关系 1 调和函数的概念 若二元实函数 在 内有二阶连续偏导 yxhD 数且满足 0 h yxx 为 内的调和函数 yD 4 2 解析函数与调和函数的关系 解析函数 的实部 与虚部 都是调和函数 而且它们 fzuiv uv 的一阶偏导数满足柯西 黎曼方程 则称虚部 为实部 的共vu 轭调和函数 两个调和函数 与 构成的函数 不一定是解析函数 uv fzuiv 但是若 如果满足柯西 黎曼方程 则 一定是解析函数 v 3 已知解析函数 的实部或虚部 求解析函数 的方 fz fzuiv 法 1 偏微分法 若已知实部 利用 条件 得 uxy CR vxy 对 两边积分 得 vuyx vdg 再对 式两边对 求偏导 得 x vudygxx 由 条件 得 可求出 CR uvy uy gx 代入 式 可求得 虚部 uvdygx 2 线积分法 若已知实部 利用 条件可得 uxyCR vudxdyxdy 故虚部为 0 xyc 由于该积分与路径无关 可选取简单路径 如折线 计算它 其 中 与 是解析区域中的两点 0 xy 5 3 不定积分法 若已知实部 根据解析函数的导数公式 uxy 和 条件得知 CR vufzii 将此式右端表示成 的函数 由于 仍为解析函数 故U fz 为实常数 fzdzc c 注 若已知虚部 也可用类似方法求出实部v u 六 复变函数积分的概念与性质 1 复变函数积分的概念 是光滑曲线 1limnkckfzdfz c 注 复变函数的积分实际是复平面上的线积分 2 复变函数积分的性质 1 与 的方向相反 1ccfzdfzd 1c 2 是常数 ccgfzgzd 3 若曲线 由 与 连接而成 则 12 12ccffzdfz 3 复变函数积分的一般计算法 1 化为线积分 常用于理 cccfzduxvdyixuy 论证明 2 参数方法 设曲线 其中 对应曲线 的起c ztt c 点 对应曲线 的终点 则 cfdzftzdt 被积函数不解析时 积分结果与路径有关 反之 无关 七 关于复变函数积分的重要定理与结论 1 柯西定理 设 在单连域 内解析 为 内任一闭曲 fzBcB 线 则 0cfzd A 6 2 复合闭路定理 设 在多连域 内解析 为 内任意一 fzDcD 条简单闭曲线 是 内的简单闭曲线 它们互不包含互12 nc c 不相交 并且以 为边界的区域全含于 内 则 其中 与 均取正向 cfzd A 1 kncfzd ck 其中 由 及 所组成的复合闭路 0f 1 2 n 3 闭路变形原理 一个在区域 内的解析函数 沿闭曲线D fz 的积分 不因 在 内作连续变形而改变它的值 只要在变形ccD 过程中 不经过使 不解析的奇点 fz 4 解析函数沿非闭曲线的积分 设 在单连域 内解析 fzB 为 在 内的一个原函数 则 GzfB 212112 zdzGzB 说明 解析函数 沿非闭曲线的积分与积分路径无关 计算f 时只要求出原函数即可 5 柯西积分公式 设 f z 在简单正向闭曲线 c 及其所 围区域 D 内处处解析 为 D 内任意一点 那么 z dzfic00 21 z 即 00 idzfc 6 解析函数的导数 解析函数 的导数仍为解析函数 它的 fz 阶导数为 n 0102 1 2 nncfidzfz A 7 其中 为 的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线 c fzD0z 而且它的内部完全属于 7 重要结论 是包含 的任意正向简单闭曲线 12 0 ncindza Aca 8 复变函数积分的计算方法 1 若 在区域 内处处不解析 用一般积分法 fzD cdtzdt 2 设 在区域 内解析 fz 是 内一条正向简单闭曲线 则由柯西 古萨定理 cD 0cfzd A 是 内的一条非闭曲线 对应曲线 的起点和终点 则有12 zc 212zcffdF 3 设 在区域 内不解析D 曲线 内仅有一个奇点 在 内解c 000102 c nncfzdifzffz A fzc 析 曲线 内有多于一个奇点 内只有一个c cfzd A 1kncfzd ic 奇点 或 留数基本定理 kz 12Re nkkcfzdisf 若被积函数不能表示成 则须改用留数定理来计算 1 nofz 九 复数项级数 1 复数列的极限 8 1 复数列 收敛于复数 的充要条件 nnaib 1 2 abi 为 同时成立 lim linnb 2 复数列 收敛 实数列 同时收敛 n a 2 复数项级数 1 复数项级数 收敛的充要条件是级数 与 同0 nnaib 0na 0nb 时收敛 2 级数收敛的必要条件是 lim0n 注 复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问 题的讨论 十 幂级数的敛散性 1 幂级数的概念 表达式 或 为幂级数 00 nncz 0ncz 2 幂级数的敛散性 1 幂级数的收敛定理 阿贝尔定理 Abel 如果幂级数 在0ncz 处收敛 那么对满足 的一切 该级数绝对收敛 0z 0z z 如果在 处发散 那么对满足 的一切 级数必发散 0 2 幂级数的收敛域 圆域 幂级数在收敛圆域内 绝对收敛 在圆域外 发散 在收敛圆 的圆周上可能收敛 也可能发散 3 收敛半径的求法 收敛圆的半径称收敛半径 比值法 如果 则收敛半径 1lim0nc 1R 9 根值法 则收敛半径 lim0nc 1R 如果 则 说明在整个复平面上处处收敛 0 R 如果 则 说明仅在 或 点收敛 00z 注 若幂级数有缺项时 不能直接套用公式求收敛半径 如 20ncz 3 幂级数的性质 1 代数性质 设 的收敛半径分别为 与 记00 nnazb 1R2 则当 时 有 12min R R 线性运算 000 nnnnabzazbz 乘积运算 01000 nn nna 2 复合性质 设当 时 当 时 解析r 0nf zR gz 且 gzr 则当 时 R 0 nnfgzagz 3 分析运算性质 设幂级数 的收敛半径为 则0n 0R 其和函数 是收敛圆内的解析函数 0nfza 在收敛圆内可逐项求导 收敛半径不变 且 10nfzaz zR 在收敛圆内可逐项求积 收敛半径不变 100z nnafdz 10 zR 十一 幂函数的泰勒展开 1 泰勒展开 设函数 在圆域 内解析 则在此圆域内 fz0zR 可以展开成幂级数 并且此展开式是唯 fz 00 nnff 一的 注 若 在 解析 则 在 的泰勒展开式成立的圆域的收敛 fz0 fz0 半径 0Ra 其中 为从 到 的距 最近一个奇点 之间的距离 0z f0za 2 常用函数在 的泰勒展开式 1 2301 nznzze z 2 20nnzz 1 3 3521 210 si n nn zz z 4 242 20 1 co nnnzz 3 解析函数展开成泰勒级数的方法 1 直接法 直接求出 于是 01 nncfz 00nnfzcz 2 间接法 利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算 复合运算和逐项求导 逐项求积等方法将函数展开 十二 幂函数的洛朗展开 1 洛朗级数的概念 含正幂项和负幂项 0nncz 2 洛朗展开定理 设函数 11 在圆环域 内处处解析 为圆环域内绕 的 fz102Rz c0z 任意一条正向简单闭曲线 则在此在圆环域内 有 且展开式唯一 0nnfzcz 3 解析函数的洛朗展开法 洛朗级数一般只能用间接法展开 4 利用洛朗级数求围线积分 设 在 内解析 为 fz0rzR c 内的任何一条正向简单闭曲线 则 其0rzR 12cfdzi A 中 为 在 内洛朗展开式中 的系数 1c f0rzR 01z 说明 围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中 的系10 z 数 留数 十三 孤立奇点的概念与分类 1 孤立奇点的定义 在 点不解析 但在 的 内 fz0 0z0z 解析 2 孤立奇点的类型 1 可去奇点 展开式中不含 的负幂项 0z 201020fzczcz 2 极点 展开式中含有限项 的负幂项 0z 1 211020000 mmccfz zczz 0 mgz 其中 在 解析 1 10mmgz 0 且 0 mzc 3 本性奇点 展开式中含无穷多项 的负幂项 0z 10100 mmccfz czzz 12 十四 孤立奇点的判别方法 1 可去奇点 常数 00limzfc 2 极点 0z 3 本性奇点 不存在且不为 0lizf 4 零点与极点的关系 1 零点的概念 不恒为零的解析函数 如果能表示成 fz 0 mfzz 其中 在 解析 为正整数 称 为 的 级零点 0 zm 0z fm 2 零点级数判别的充要条件 是 的 级零点0z fm 0 1 2 nmfzn 3 零点与极点的关系 是 的 级零点 是 的 级极0z f 0z 1fm 点 4 重要结论 若 分别是 与 的 级与 级零点 则za z mn 是 的 级零点 An 当 时 是 的 级零点 mn za z 当 时 是 的 级极点 z nm 当 时 是 的可去奇点 mnza 13 当 时 是 的 级零点 mn za z lmin l 当 时 是 的 级零点 其中 l 十五 留数的概念 1 留数的定义 设 为 的孤立奇点 在 的去心邻域0z f fz0 内解析 为该域内包含 的任一正向简单闭曲线 则0z c0z 称积分 为 在 的留数 或残留 记作 2cfzdi A fz0 0Re sfz 1cfi 2 留数的计算方法 若 是 的孤立奇点 则 其中 为0z f 0Re sfz 1c 1c 在 的去心邻域内洛朗展开式中 的系数 fz 1 1 可去奇点处的留数 若 是 的可去奇点 则0z f 0Re sfz 2 级极点处的留数m 法则 I 若 是 的 级极点 则0z fm 0Re sf 010li mzdzfz 特别地 若 是 的一级极点 则0 f 0Re sfz 0lim zfz 注 如果极点的实际级数比 低 上述规则仍然有效 法则 II 设 在 解析 PzfQ z0 0 Pz 则00 z 00Re sQzz 十六 留数基本定理 设 在区域 内除有限个孤立奇点 外处处解析 fzD12 nz 为 内包围诸奇点的一条正向cD 14 简单闭曲线 则 12Re ncnfzdisfz A 说明 留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积 函数 在 内各孤立奇点处留数的局部问题 fzc 积分变换复习提纲 一 傅里叶变换的概念 jwtFftftedFw 11 2jtFeft 二 几个常用函数的傅里叶变换 1 Fetj utj 1Ft 2 三 傅里叶变换的性质 位移性 时域 00 jwtFfte Ff 位移性 频域 00 jwt w 位移性推论 01 sin 2tfj 位移性推论 000co FtfF 微分性 时域 jw tft nnFftjw 1 ntft 15 微分性 频域 nnFjtfwFjtfFw 相似性 1 fat 0 a 四 拉普拉斯变换的概念 0 stLftftedFs 五 几个常用函数的拉普拉斯变换 1 ktLes 是自然数 11 mmts 2 Luts 1 2 2 sin cos ktLkt Lhh 设 则 是以 为周期的周 ftTft 01 Tsftftde ftT 期函数 六 拉普拉斯变换的性质 微分性 时域 2 0 0 LftsFfLftsFf 微分性 频域 nn 积分性 时域 0 t sfd 积分性 频域 收敛 sftLF 位移性 时域 atefa 16 位移性 频域 sLfteF 0 0tft 相似性 1 sfatF 0 a 七 卷积及卷积定理 1212 ftftd FftFw 1212 Lfts 八 几个积分公式 0 ftdf t 16000 ftLfsFds kt skfedt 复变函数 考试试题 一 填空题 每题 分 设 则 cosin zr nz 设函数 则 的充要条件 fuxyv0Auiv 00zxiy 0lim zfA 设函数 在单连通区域 内解析 则 在 内沿任意一条简单闭曲线 的积分 fzD fzDC Cfd 17 设 为 的可去奇点 za fzlim zaf 设 则 是 的 阶零点 21zfe 0 设 则 在 的邻域内的泰勒展式为 2 fz 设 其中 为正常数 则点 的轨迹曲线是 zab az 设 则 的三角表示为 sincos z 10zed 设 则 在 处的留数为 21 sifz f0z 二 计算题 计算下列各题 分 1 2 3 34 Lni 16ie 1 i 2 求解方程 分 20z 设 验证 是调和函数 并求解析函数 使之 分 1 uxyu fzuiv 2 fi 计算积分 其中路径为 自原点到点 的直线段 120 iixdz 1i 2 自原点沿虚轴到 再由 沿水平方向向右到 10 分 1i 试将函数 在 的邻域内的泰勒展开式 分 2 fz z 计算下列积分 分 1 2 22sin zdz A24 3 zdz A 计算积分 分 053cos 求下列幂级数的收敛半径 分 1 2 1 nniz 21 nnz 设 为复平面上的解析函数 试确定 的值 分 3232 fmyxilxy lmn 三 证明题 设函数 在区域 内解析 在区域 内也解析 证明 必为常数 分 fzD fzD fz 试证明 的轨迹是一直线 其中 为复常数 为实常数 分 0ab ab 18 复变函数 考试试题参考答案 一 1 2 且 cosinnr 00 limxyu 00 lixyv 3 0 4 有限值 5 4 6 2421nzz 7 椭圆 8 9 10 cossin2 1ie16 二 计算题 1 解 1 ln34i l5argtn24n10 12 3i n 2 16 3cosi6i iee 3 1ln21ln4iikii ln22n44kikl 24coslsilke 2 解 32iz 230 1niz 故 方程 共有三个根 分别为 0 33 2i 3 解 2 1xyux 220 故 是调和函数 u 0 xyxvudyc 19 4 解 1 112200 ixyidzixi 31 ii 2 1201 ixyidzi 5 解 0133 nnzfz 10 nnz 6 解 1 22sicos 02 zdi A 2 213 fzz 1Re sfC 42Re 2zdisfi A 7 解 设 则 ie zi1nzi 22011253sin303 z zdddzii A 令 则 在 内只有一级权点 依离数定理有 fziz f 3 202Re 253sin34diiisfz 8 解 1 即 故 1iz 1 2 2 nC 101limlinncR 20 9 解 设 则3232 uxymnxyvxly 2 3 unxymnx 因 解析 由 条件有 解得23 vvll fzCR 22ly 1ln 三 1 证明 设 由 有 fuiv fHD uvxyx 1 又 也在 也解析 有 fzi 2 由 与 得 1 20uvxyx 故 在 内为常数 fD 2 证明 设 有 zxiyaAiB azixiyAByix 2 0abxyb 即点 在直线 上 为实常数 z0 xyb- 配套讲稿:
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