八年级上册——角平分线的性质和判定
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1 角平分线的性质 问题 如图 是一个平分角的仪器 其中 AB AD BC DC 将点 A 放在角的顶点 AB 和 AD 沿着角的两边放下 沿 AC 画一条射线 AE AE 就是角平分线 你能说明它的道理吗 操作 作已知角的平分线的方法 已知 AOB 求作 AOB 的平分线 作法 1 以 O 为圆心 适当长为半径作弧 分别交 OA OB 于 M N 2 分别以 M N 为圆心 大于 MN 的长为半径作弧 两弧在 AOB 内部交于点 C 12 3 作射线 OC 射线 OC 即为所求 探索 按以下步骤折纸 将 AOB 对折 再折出一个直角三角形 使第一条折痕为斜边 然后展开 观察两次折叠 形成的三条折痕 你能得出什么结论 证明 已知 OC 是 AOB 的平分线 点 P 在 OC 上 PD OA PE OB 垂足分别是 D E 求证 PD PE 证明 2 几何语言描述 在 的平分线上 PAOB 于 于D E 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 例 1 如图 要在 S 区建一个集贸市场 使它到公路 铁路的距离 相等 这个集贸市场应建于何处 例 2 如图 ABC 的角平分线 BM CN 相交于点 P 求证 点 P 到三边 AB BC CA 的距离相等 例 3 如图 是 的外角 的平分线上一点 于 于DABC E DFAC EBC 且交 的延长线于 E 求证 CF 3 例 4 已知 AD 是 ABC 的角平分线 DE AB DF AC 垂足分 别是 E F BD CD 求证 B C 例 5 如图 在 ABC 中 已知 AC BC C 90 AD 是 ABC 的角平分线 DE AB 垂足为 E 求证 AB AC CD 例 6 如图 OC 是 AOB 的角平分线 P 是 OC 上一点 PD OA 交于点 D PE OB 交于点 E F 是 OC 上除点 P O 外一点 连接 DF EF 则 DF 与 EF 的关系如何 证明你的结论 4 课后作业 1 如图所示 B C 90 根据角平分线的性质填空 1 若 1 2 则 2 若 3 4 则 2 如图所示 下列推理中正确的个数是 因为 OC 平分 AOB 点 P D E 分别在 OC OA OB 上 所以 PD PE 因为 P 在 OC 上 PD OA PE OB 所以 PD PE 因为 P 在 OC 上 PD OA PE OB 且 OC 平分 AOB 所以 PD PE A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 3 如图 ABC 中 ACB 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D DE 垂直 AB 于 E 若 DE 1 5cm 则 BC A 3cm B 7 5cm C 6cm D 4 5cm 4 如图 OP 平分 AOB PC OA 于 C PD OB 于 D 下列结论中错误的是 A PC PD B OC OD C CPO DPO D OC PC 5 第 2 题 第 3 题 第 4 题 5 如图 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 5 cm BD 3 cm 则点 D 到 AB 的距 离为 A 5 cm B 3 cm C 2 cm D 不能确定 6 如图 ABC 中 B C 的平分线交于点 O OD AB 于 D OE AC 于 E 则 OD 与 OE 的大小关系 是 A OD OE B OD OE C OD OE D 不能确定 7 如图 AB CD O 为 BAC ACD 平分线的交点 OE AC 交 AC 于 E 且 OE 2 则 AB 与 CD 之间的距离等于 8 如图 AB AD ABC ADC 90 则 AC 平分 BAD CA 平分 BCD AC 平分 BD BD 平分 ADC 中 正确的结论是 A B C D 只有 第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题 9 如图所示 ABC 中 C 90 AD 是 BAC 的平分线 DE AB 于 E 点 F 在 AC 上 BD DF 求证 1 DC DE 2 CF EB 6 10 如图 四边形 ABCD 中 AB AD CD CD 点 P 是对角线 AC 上一 点 PE BC 于 E PF CD 于 F 求证 PE PF 11 如图 点 D B 分别在 A 的两边上 C 是 A 内一点 且 AB AD BC DC CE AD CF AB 垂足分别为 E F 求证 CE CF 12 已知 如图 在 ABC 中 BD 为 ABC 的平分线 AB BC 点 P 在 BF 上 PM AD 于 M PN CD 于 N 求证 PM PN 13 如图 BD 平分 ABC DE 垂直于 AB 于 E 点 三角形 ABC 的面积等于 90 AB 18 BC 12 求 DE 的长 7 14 如图 1 在 ABC 中 A B 的角平分线交于点 O 过 O 作 OP BC 于 P OQ AC 于 Q OR AB 与 R AB 7 BC 8 AC 9 1 求 BP CQ AR 的长 2 如图 2 若 CD BO 于 D 求证 OCD A 3 如图 3 若 BO 的延长线叫 AC 于 E CO 的延长线叫 AB 于 F 若2 A 60 求证 OE OF 图 1 图 2 图 3 第十讲 角平分线的判定 思考 角平分线上的点到角两边的距离相等 这里的条件是 结论是 如果将条件和结论互换 则可以得到命题 那么 这个命题是真命题吗 可以证明吗 例 1 证明如下 已知 PD OA PE OB 垂足分别是 D E PD PE 求证 点 P 在 AOB 的平分线上 8 例 2 如图 已知 BD CD BF AC CE AB 求证 D 在 BAC 的平分线上 例 3 如图 CAB 的角平分线与 ACB 的外角平分线交于点 P 求证 BP 平分 CBN 例 4 如图所示 BD 平分 ABC AB BC 点 P 在 BD 上 PM AD PN CD M N 为垂足 求证 PM PN 例 5 如图 在 ABC 中 D 为 BC 的中点 DE BC 交 BAC 的平分线 AE 于 E EF AB 于 F EG AC 交 AC 延长线于 G 求证 BF CG 9 思考 若 OC 为 AOB 的角平分线 PD OA 于 D PE OB 于 E 除了可以得到 DP PE 之外 还可以得到哪些角或线段之间的关系 例 5 如图 在 BAC 的平分线上任取一点 D 在 AB AC 上各到一点 E 和 F 若 DE DF 且 AE AF 求证 AED AFD 180 例 6 如图 D 是 EAF 平分线上的一点 若 ACD ABD 180 求证 CD DB 课后作业 1 如图 已知 PA ON 于 A PB OM 于 B 且 PA PB MON 50 OPC 30 则 10 PCA 2 如图 在 ABC 中 B 90 点 O 到 AB BC 两边的距离相 等 则 AOC 的度数 为 第 1 题 第 2 题 3 如图所示 AB CD 点 P 是线段 MN 的中点 且 MN CD 点 P 到 BC 的距离等于 则点 P 应是 的平分线与 平分线的交点 4 如图 已知点 P 在 ABC 的外部 DAE 的内部 若点 P 到 BC BD CE 的距离都相等 则下列 关于 P 的位置说法最准确的是 5 2010 南宁 如图所示 在 Rt ABC 中 A 90 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D 且 AB 4 BD 5 AD 3 则点 D 到 BC 的距离是 第 3 题 第 4 题 第 5 题 6 如图 在 ABC 中 C 90 AD 是三角形的角平分线 DE AB 于 E 下列结论错误的是 A BD DE BC B DE 平分 ADB C AD 平分 EDC D AC AE 7 如图所示 在 ABC 中 AB AC AD 是 ABC 的角平分线 DE AB DF AC 垂足分别是 E F 则下列结论中不正确的是 11 A DA 平分 EDF B AE AF C AD 上任一点 P 到 AB AC 的距离相等 D AB AC 上的点到 AD 的距离相等 8 如图所示 AD 平分 BAC DE AB 垂足为 E DF AC 垂足为 F 则结论 AEG AFG AED AFD DEG DFG BDE CDF 中正确的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 第 6 题 第 7 题 第 8 题 第 9 题 9 如图 l 1 l 2 l3 是三条两两相交的笔直公路 现欲修建一个加油站 使它到三条公路的距离相等 这 个加油站的位置共有 A 1 处 B 2 处 C 3 处 D 4 处 9 如图 D E F 分别是三角形 ABC 三边上的点 CE BF 且 S DCE S DBF 10 如图 B C 90 M 是 BC 的中点 DM 平分 ADC 求证 1 AM 平分 DAB 2 DMA 90 11 如图 已知 CAD CDA AC BD E 在 BC 上 DE EC 求证 AD 平分 BAE 12 12 如图 AE BD 是 ABM 的高 AE BD 交于点 C 且 AE BE BD 平分 ABM 求证 1 BC 2AD 2 AB AE CE 3 ED 平分 BDM 13 如图 在平面直角坐标系中 点 B 的坐标是 1 0 点 C 的坐标是 1 0 点 D 为 y 轴上一点 点 A 为第二象限内一动点 且 BAC 2 BDO 过 D 作 DM AC 于 M 1 求证 ABD ACD 13 2 若 E 在 BA 的延长线上 求证 AD 平分 CAE 3 当 A 点运动时 的值是否发生变化 若变化 求其值 若不变 请说明理由 CABM- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 年级 上册 平分线 性质 判定
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