江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编-圆锥曲线.doc
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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、(常州市2013届高三期末)已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率的值为 答案:2、(连云港市2013届高三期末)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2 = 4x的准线交于A、B两点,AB =,则C的实轴长为 .答案:13、(南京市、盐城市2013届高三期末)已知、分别是椭圆的左、右焦点, 点是椭圆上的任意一点, 则的取值范围是 答案:4、(南通市2013届高三期末)已知双曲线的一个焦点与圆x2+y210x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为 答案:5、(徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末)已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为 .答案:6、(苏州市2013届高三期末)在平面直角坐标系中,双曲线的左顶点为,过双曲线的右焦点作与实轴垂直的直线交双曲线于,两点,若为直角三角形,则双曲线的离心率为 答案:27、(泰州市2013届高三期末)设双曲线的左、右焦点分别为,点P为双曲线上位于第一象限内一点,且的面积为6,则点P的坐标为 答案:8、(无锡市2013届高三期末)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线L交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 。答案:9、(扬州市2013届高三期末)已知圆的圆心为抛物线的焦点,又直线与圆相切,则圆的标准方程为 答案:10、(镇江市2013届高三期末)圆心在抛物线上,并且和抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为 二、解答题1、(常州市2013届高三期末)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知分别是椭圆E:的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且. (1)求椭圆E的离心率;(2)已知点为线段的中点,M 为椭圆上的动点(异于点、),连接并延长交椭圆于点,连接、并分别延长交椭圆于点、,连接,设直线、的斜率存在且分别为、,试问是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解:(1),.,化简得,故椭圆E的离心率为.(2)存在满足条件的常数,.点为线段的中点,从而,左焦点,椭圆E的方程为.设,则直线的方程为,代入椭圆方程,整理得,.,.从而,故点.同理,点.三点、共线,从而.从而.故,从而存在满足条件的常数,.2、(连云港市2013届高三期末)已知椭圆C:(ab0)的上顶点为A,左,右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点P(,),以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.(1)求椭圆C的方程;(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,试问:在轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.xyOF2(第18题图)PAF11解:(1)因为椭圆过点P(,),所以=1,解得a2=2, 2分又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2F2P,即-=-1, b2=c(4-3c).6分而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1,故椭圆C的方程是+y2=1. 8分 (2)当直线l斜率存在时,设直线l方程为y=kx+p,代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p22=0. 因为直线l与椭圆C有只有一个公共点,所以=16k2p24(1+2k2)(2p22)=8(1+2k2p2)=0,即 1+2k2=p2. 10分设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则 =1,即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (*).由(*)恒成立,得解得,或, 14分而(*)不恒成立.当直线l斜率不存在时,直线方程为x=时,定点(1,0)、F2(1,0)到直线l的距离之积d1 d2=(1)(+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. 16分3、(南京市、盐城市2013届高三期末)如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆经过点,椭圆的离心率, 、分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆的方程;(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、. 若直线过坐标原点, 试求外接圆的方程; 若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值?若是, 请给予证明;若不是, 请说明理由.解: (1)由,得,故椭圆方程为3分又椭圆过点,则,解得,所以椭圆的方程为5分(2)记的外接圆的圆心为.因为,所以的中垂线方程为,又由, ,得的中点为,而,所以的中垂线方程为,由,得 8分所以圆T的半径为,故的外接圆的方程为10分(说明:该圆的一般式方程为)(3)设直线的斜率为,由题直线与的斜率互为相反数,直线的斜率为.联立直线与椭圆方程: ,整理得,得,所以,整理得, 13分又=,所以为定值16分4、(南通市2013届高三期末)已知左焦点为F(1,0)的椭圆过点E(1,)过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求k1;(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标解:依题设c=1,且右焦点(1,0)所以,2a=,b2=a2c2=2,故所求的椭圆的标准方程为 4分(2)设A(,),B(,),则,得 所以,k1= 9分(3)依题设,k1k2设M(,),直线AB的方程为y1=k1(x1),即y=k1x+(1k1),亦即y=k1x+k2,代入椭圆方程并化简得 于是, 11分同理,当k1k20时,直线MN的斜率k=13分直线MN的方程为,即 ,亦即 此时直线过定点 15分当k1k2=0时,直线MN即为y轴,此时亦过点综上,直线MN恒过定点,且坐标为 16分5、(徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2,且过点.(1) 求椭圆的方程;(2) 若点,分别是椭圆的左、右顶点,直线经过点且垂直于轴,点是椭圆上异于,的任意一点,直线交于点()设直线的斜率为直线的斜率为,求证:为定值;()设过点垂直于的直线为.求证:直线过定点,并求出定点的坐标.答案:由题意得 ,所以,又,2分消去可得,解得或(舍去),则,所以椭圆的方程为4分()设,则,因为三点共线,所以, 所以,8分因为在椭圆上,所以,故为定值10分()直线的斜率为,直线的斜率为,则直线的方程为,12分=,所以直线过定点 16分6、(苏州市2013届高三期末)如图,在平面直角坐标系中,已知点是椭圆的左焦点,分别为椭圆的右、下、上顶点,满足,椭圆的离心率为(1)求椭圆的方程;(2)若为线段(包括端点)上任意一点,当取得最小值时,求点的坐标;OMNACB(3)设点为线段(包括端点)上的一个动点,射线交椭圆于点,若,求实数的取值范围答案:7、(泰州市2013届高三期末)直角坐标XOY中,已知椭圆C:的左、右顶点分别是A1,A2,上、下顶点为B2,B1,点是椭圆C上一点,直线PO分别交于M,N。(1)求椭圆离心率;(2)若MN,求椭圆C的方程;(3)在(2)的条件下,设R点是椭圆C上位于第一象限内的点,是椭圆C的左,右焦点,RQ平分且与y轴交于点Q,求点Q纵坐标的取值范围。解:(1)P(,),1分KOP=-1,4b2=3a2=4(a2-c2), a2=4c2, e= 4分(2)MN=, 由得,a2=4,b2=3, .8分(3)cos=cos,= .10分 化简得: t=-y0.14分0y0,t(-,0) .16分8、(扬州市2013届高三期末)如图,已知椭圆方程为,圆方程为,过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C ()若时,恰好为线段AC的中点,试求椭圆的离心率;()若椭圆的离心率=,为椭圆的右焦点,当时,求的值;()设D为圆上不同于A的一点,直线AD的斜率为,当时,试问直线BD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由解:()当时,点C在轴上,且,则,由点B在椭圆上,得, 2分, 4分()设椭圆的左焦点为,由椭圆定义知,则点B在线段的中垂线上,6分又,代入椭圆方程得=,=9分()法一:由得,或,则11分由得,得,或,同理,得,13分当时, BDAD,为圆, ADB所对圆的弦为直径,从而直线BD过定点(a,0). 16分法二:直线过定点, 10分证明如下:设,则:,所以,又所以三点共线,即直线过定点。. 16分9、(镇江市2013届高三期末)已知椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点(1) 求椭圆的标准方程;(2)证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值;(3)过点 A,P,Q的动圆记为圆C,动圆C过不同于A的定点,请求出该定点坐标.19. 解:(1)设椭圆的标准方程为.由题意得.2分, , 2分 椭圆的标准方程为.4分(2)证明:设点将带入椭圆,化简得:,6分 , P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.7分(3)(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为(),PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, 8分圆心()满足,所以,9分圆过定点(2,0),所以,10分圆过, 则 两式相加得: ,11分, .12分因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以,由解得: 13分代入圆的方程为:,整理得:,14分所以:15分 解得:或(舍). 所以圆过定点(0,1).16分(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:.8分方程与方程为同解方程., 11分圆过定点(2,0),所以 , 12分 因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以.解得: ,13分 (以下相同)【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定值问题;考查运算求解能力和推理论证能力.- 配套讲稿:
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