湖南师大附中高三上学期月考试卷五数学理试卷及答案

高考数学精品复习资料 2019.5湖南师大附中20xx届高三上学期月考试卷（五）数学（理）试题本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共10页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)复数的虚部是(C)(A) i (B) i (C) 1 (D) 1【解析】2i，则复数的虚部是1，故选C.(2)若集合AxR|x4|2，非空集合BxR|2axa3，若BA，则实数a的取值范围是(D)(A) (3，) (B) 1，) (C) (1，3) (D) 1，3【解析】集合AxR|x4|22，6，由集合B不为空集可得2aa3，即a3，由BA得解得a1，3，故选D.(3)若q0，命题甲：“a，b为实数，且|ab|2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a2|q，且|b2|q”，则甲是乙的(B)(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【解析】若a，b为实数，且|ab|2q，则取a8，b6，q2时，不满足|a2|<q，且|b2|<q；若a，b为实数，满足|a2|<q，且|b2|<q，则|ab|(a2)(b2)|a2|b2|<qq2q，所以甲是乙的必要而不充分条件，故选B.(4)MOD(a，b)表示求a除以b的余数，若输入a34，b85，则输出的结果为(B)(A) 0(B) 17(C) 21(D) 34【解析】模拟执行程序框图，可得a34，b85，不满足条件ab，c34，a85，b34，mMOD(85，34)17，a34，b17，不满足条件m0，mMOD(34，17)0，a17，b0，满足条件m0，退出循环，输出a的值为17.故选B.(5)已知椭圆1的离心率为e1，双曲线1的离心率为e2，抛物线y22px的离心率为e3，a5log3e1，be2，c5loge3，则a，b，c之间的大小关系是(D)(A) acb (B) abc(C) cba (D) bca【解析】依题意，0e11，e21，e31，log3e10，log2e20，loge30，c5loge3501；又be25log2e2501；a5log3e1501；bca.故选D.(6)若a1，6，则函数y在区间2，)内单调递增的概率是(B)(A) (B) (C) (D) 【解析】函数y在区间2，)内单调递增，y10在2，)恒成立，ax2在2，)恒成立，a4，a1，6，a1，4，函数y在区间2，)内单调递增的概率是，故选B.(7)下列选项中为函数f(x)cossin 2x的一个对称中心为(A)(A) (B) (C) (D) 【解析】函数f(x)cossin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin22xsin 4x·sin，令4xk，求得x，可得函数的对称中心为，kZ，当k1时，函数的对称中心为.故选A.(8)九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则_天后，蒲、莞长度相等？参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1，结果精确到0.1.(注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍)(B)(A) 2.8 (B) 2.6 (C) 2.4 (D) 2.2【解析】设蒲的长度组成等比数列an，其a13，公比为，其前n项和为An.莞的长度组成等比数列bn，其b11，公比为2，其前n项和为Bn.则An，Bn，由题意可得：，化为：2n7，解得2n6，2n1(舍去)n12.6.估计2.6天后，蒲、莞长度相等，故选B.(9)某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b.若直线axby80与以A(1，1)为圆心的圆交于B，C两点，且BAC120°，则圆C的方程为(C)(A) (x1)2(y1)21 (B) (x1)2(y1)22(C) (x1)2(y1)2 (D) (x1)2(y1)2【解析】由题意，a40，b24，直线axby80，即5x3y10，A(1，1)到直线的距离为.直线axby80与以A(1，1)为圆心的圆交于B，C两点，且BAC120°，r，圆C的方程为(x1)2(y1)2，故选C.(10)已知k1，实数x，y满足约束条件且的最小值为k，则k的值为(C)(A) (B) (C) (D) 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D(0，1)的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得得A(4k，k)，则AD的斜率k，整理得k23k10，得k或(舍)，故选C.(11)某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是(A)(A) 16 (B) 24 (C) 8 (D) 12【解析】根据题意，分3步进行分析：要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A2种情况；将这个整体与英语全排列，有A2种顺序，排好后，有3个空位；数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×24种则不同排课法的种数是2×2×416种，故选A.(12)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2x)f(x)，且当x1，2时，f(x)ln xx1，若函数g(x)f(x)mx有7个零点，则实数m的取值范围为(A)(A) (B) (C) (D) 【解析】函数g(x)f(x)mx有7个零点，即函数yf(x)的图象与ymx的图象有7个交点当x1，2时，f(x)ln xx1，f(x)1<0，此时f(x)单调递减，且f(1)0，f(2)ln 21.由f(2x)f(x)知函数图象关于x1对称，而f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)f(2x)f(x2)，故f(x2)f(x)，即f(x)是周期为2的函数，易知m0，当m<0时，作出函数yf(x)与ymx的图象，如图所示则要使函数yf(x)的图象与ymx的图象有7个交点，需有即解得<m<.同理，当m>0时，可得<m<.综上所述，实数m的取值范围为.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分(13)若二次函数f(x)ax2bxc有两个零点x1、 x2，则f(x)a(xx1)·(xx2)，类比此，若三次函数g(x)ax3bx2cxd有三个零点x1、 x2、x3，则g(x)_a(xx1)(xx2)(xx3)_(14)若(cos x)5的展开式中x3的系数为4，则sin_【解析】由二项式定理得，x3的系数为Ccos24，cos2，故sincos 212cos2.(15)如图所示，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为_63_.【解析】如图， 延长EF、A1B1 相交于M，连接AM交BB1 于H，延长FE、A1D1 相交于N，连接AN交DD1 于G，可得截面五边形AHFEG.ABCDA1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，EF3，AGAH2，EGFH.截面的周长为63.(16)已知向量a，b夹角为，|b|2，对任意xR，有|bxa|ab|，则|tba|tb|(tR)的最小值是_【解析】向量a，b夹角为，|b|2，对任意xR，有|bxa|ab|，两边平方整理可得x2a22xa·b(a22a·b)0，则4(a·b)24a2(a22a·b)0，即有(a2a·b)20，即a2a·b，则(ab)a，由向量a，b夹角为，|b|2，由a2a·b|a|·|b|·cos，即有|a|1，则|ab|，画出a，b，建立平面直角坐标系，如图所示则A(1，0)，B(0，)，a(1，0)，b(1，)|tba|2表示P(t，0)与M，N的距离之和的2倍，当M，P，N共线时，取得最小值2|MN|.即有2|MN|2.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API(Air Pollution Index)的监测数据，结果统计如下：API0，50(50，100(100，150(150，200(200，250(250，300大于300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数101520307612()若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100P(K2 k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：K2()政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当API在区间0，100时企业正常生产；当API在区间(100，200时对企业限产30%(即关闭30%的产能)，当API在区间(200，300时对企业限产50%，当API在300以上时对企业限产80%，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过50%的恰为2天的概率；求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值【解析】()根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计供暖季23730非供暖季65570合计8812100K25.213>3.841，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关(4分)()设“在本年内随机抽取一天，该天企业被限产达到或超过50%”为事件A，据题意有频数为25，P(A)，(6分)则这一年中随意抽取5天，5天中被限产达到或超过50%的恰为2天的概率P是：PC.8分企业甲这一年的利润的期望值为365×502.97 万元，故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是365×2502.97227.03 万元(12分)(18)(本小题满分12分)已知锐角ABC的三个内角A、B、C满足sin Bsin C(sin2Bsin2Csin2A)tan A.()求角A的大小；()若ABC的外接圆的圆心是O，半径是1，求·()的取值范围【解析】()由已知有：·，即sin A，又A是锐角，A.(4分)() ·()·(2)··22cosAOBcosAOC2 cos 2Ccos 2B2 coscos 2B2 cos 2Bsin 2B2 cos2，(9分)ABC是锐角三角形，<B< ，则<2B< ，故·()的取值范围是.(12分)另法：设M是边BC的中点，·()2·，又2222· ，2·221 ，据正弦定理得BC2sin A1，则|，ABC是锐角三角形，当B或C取临界值时|最小值是，当AMBC时|最大值是1.则|，2·2.(19)(本小题满分12分)已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，ABAD2CD2，E、F分别是边AD、BC上的点，且EFAB，沿EF将EFCD折起并连接成如图的多面体CDABFE，折后BEED，()求证：AEFC；()若折后直线AC与平面ABFE所成角的正弦值是，求证：平面ABCD平面FCB.【解析】()EFAB，ABAD，EFAD，EFDE，又BEDE，EFBEE，DE平面ABFE，DEAE，又EFAE，DEEFE，AE平面EFCD，AECF.(5分)()由()知，可如图建立空间直角坐标系，作CHEF于H，连AH，由()知CHABFE，即CAH为AC与平面ABFE所成角，设DECHh, AH21(2h)2h24h5，而直线AC与平面ABFE所成角的正弦值是，即h1.(或：平面ABFE的法向量是(0，0，1)，C(0，1，h)，A(2h，0，0)，(h2，1，h)，则sin h1 )(8分)易知平面ABCD平面ADE于AD，取AD的中点M，则EM平面ABCD，而EDEA1，则平面ABCD的法向量是，(或另法求出平面ABCD的法向量是n1(1，0，1) )，再求出平面FCB的法向量n2(1，2，1)(过程略)，设二面角ABCF是，则|cos |0，平面ABCD平面FCB.(12分)(20)(本小题满分12分)如图，已知曲线C1：y24x，曲线C2：1(a>b>0)的左右焦点是F1，F2，且F2就是C1的焦点，点P是C1与C2的在第一象限内的公共点且|PF2|，过F2的直线l分别与曲线C1、C2交于点A，B和M，N.() 求点P的坐标及C2的方程；() 若F1AB与F1MN面积分别是S1、S2，求的取值范围【解析】()F2(1，0)，设P(x0，y0)，据题意有|PF2|x01，则x0，P，(2分)点P在椭圆上及F2就是C1的焦点，则解之得：所以C2的方程是1.(4分)或由|PF1|PF2|2a计算出a2，从而得方程()易知，当l不垂直于x轴时，设l的方程是yk(x1) (k0)，联立得：k2x2(2k24)xk20，1(2k24)24k4>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，|AB|x1x22；(7分)联立得：(34k2)x28k2x4k2120，264k44(34k2)(4k212)144(1k2)>0，设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则x3x4，x3x4，|MN|，(10分)则，当l垂直于x轴时，易知|AB|4，|MN|3，此时，综上有的取值范围是.(12分)设l：xmy1类似给分(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2xxln x，g(x)exx2 (e为自然对数的底数)()当x0，)时，求g(x)的最小值；()若函数f(x)恰有两个不同极值点x1，x2.求a的取值范围；求证：x1x2e2.【解析】()g(x)ex2x，(g(x)ex2，x0，)，所以g(x)在0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，g(x)ming(ln 2)2(1ln 2)>0，(2分)即x0，)时，恒有g(x)ex2x>0，故g(x)在0，)上单调递增，g(x)ming(0)1.(4分)()f(x)2axln x，要f(x)恰有两个极值点，等价于h(x)2axln x在(0，)上恰有两个不同零点h(x)2a，(5分)当a0时，h(x)<0在(0，)恒成立，h(x)在(0，)上单调递减，不合要求；(6分)当a>0时，h(x)在上单调递减，在上单调递增，而h1ln(2a)，由h1ln(2a)<00<a<，(7分)>e，e>>，此时h(1)2a>0，h2ae2a>0，故当0<a<时，g(x)2axln x在与上各恰有一个零点，即当0<a<时函数f(x)有两个极值点. (8分)另法：考查2a不妨设0<x1<x2，则有：两式相加与相减得： ln(x1x2)ln，而x1x2>e2ln(x1x2)>2，ln>2，令t(0，1)，ln t>2(t1)ln t2(t1)<0，t(0，1) ln t<0，t(0，1)，考查函数g(t)ln t，t(0，1) ，g(t)>0恒成立于(0，1)，g(x)在(0，1)上单调递增，则恒有g(t)<g(1)0.即ln t<0，t(0，1)成立，故命题得证(12分)请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线C1的方程是2(13sin2)16，点P是C1上的动点，点M满足2(O为极点)，点M的轨迹为曲线C2，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程是(t为参数)()求曲线C2直角坐标方程与直线l的普通方程；()求点M到直线l的距离的最大值【解析】()设在极坐标系中M(，)，据2有P(2，)，代入C1的方程2(13sin2)16整理得：2(13sin2)4，再化为直角坐标方程是：y21 即为所求(4分)直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程是2xy60.(5分)()由C2：y21知，在直角坐标系中设M(2cos ，sin )，R，点M到直线l的的距离d，dmax .(10分)(23)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲()已知函数f(x)|x2|x1|.解不等式f(x)x22x；()已知x，y，z均为正数求证：.【解析】()函数f(x)|x2|x1|(2分)当x1时，不等式为 x22x3，1x3，即x1；当1x2时，不等式为x22x2x1，解得1x1，即1x1；当x2时，不等式为x22x3，x综合上述，不等式的解集为：1，1(5分)()证明：因为x，y，z都是为正数，所以同理可得(8分)当且仅当xyz时，以上三式等号都成立将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得：.(10分)或直接用柯西不等式证明：，即.或要证即证x2y2z2yzxzxy，再证(xy)2(xz)2(yz)20显然成立欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org