精品高中数学苏教版必修5学案：2.2.3　等差数列的前n项和 Word版含解析

苏教版数学精品资料2.2.3等差数列的前n项和1掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决一些简单问题(重点)2体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系(难点)3等差数列前n项和的最值的判断(易错点)基础·初探教材整理1等差数列的前n项和公式阅读教材P42，完成下列问题1等差数列的前n项和公式已知条件首项a1和末项an首项a1和公差d选用公式SnSnna12.推导等差数列的前n项和的方法是倒序相加法1在等差数列an中，a11，a3030，则S30_.【解析】S30465.【答案】4652在等差数列an中，a11，a3a514，其前n项和Sn100，则n_.【解析】a11，a3a52a414，a47，d2，Snn×2100，n10.【答案】10教材整理2等差数列前n项和的性质阅读教材P48第8题第12题，完成下列问题等差数列前n项和常用性质(1)Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差数列(2)S奇表示奇数项之和，S偶表示偶数项之和，公差为d.当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，.当项数为奇数2n1时，S奇S偶an，.(3)前n项Sn是关于n的二次函数，不具有常数项当a1>0，d<0时，Sn有最大值当a1<0，d>0时，Sn有最小值1若an是等差数列，且a1a4a745，a2a5a839，则a3a6a9_.【解析】设a3a6a9x，则45,39，x成等差数列，45x39×2，x33.【答案】332已知等差数列an的前n项和为Snn210n，则当n_时，Sn最小【解析】Snn210n(n5)225，当n5时，Sn最小，为25.【答案】5质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型与等差数列Sn有关的基本量的计算在等差数列an中，(1)a1，an，Sn5，求n和d；(2)a14，S8172，求a8和d；(3)d2，an11，Sn35，求a1和n.【精彩点拨】(1)(2)利用Sn求解；(3)利用Snna1d求解【自主解答】(1)由题意，得Sn5，解得n15.又a15(151)d，d.(2)由已知，得S8172，解得a839.又a84(81)d39，d5.(3)由得解方程组得或等差数列的基本计算方法与技巧1公式Sn中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式Snna1d中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列的通项公式ana1(n1)d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个可以求另外的两个量简称“知三求二”2在进行等差数列基本量的互求时，要注意求和公式和通项公式的恰当选取，注意方程思想及等差数列性质的应用再练一题1已知等差数列an中，(1)a1，d，Sm15，求m及am；(2)a11，an512，Sn1 022，求d；(3)S524，求a2a4.【解】(1)Smm··15，整理，得m27m600，解得m12或m5(舍去)，ama12(121)×4.(2)由Sn1 022，得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.(3)法一设等差数列的首项为a1，公差为d，则S55a1d24，得5a110d24，即a12d，a2a4a1da13d2(a12d)2×.法二由S524，得a1a5.a2a4a1a5.等差数列前n项和的最值在等差数列an中，公差为d，若a125，且S9S17，求数列an的前多少项和最大？【精彩点拨】【自主解答】法一由得解得d2.则Sn25n(2)n226n(n13)2169，数列an的前13项和最大法二同法一解得d2，an25(2)(n1)2n27.令an>0，即2n27>0，解得n<13.5，即数列an的前13项均为正数，第13项以后均为负数，数列an的前13项和最大法三a125，S9S17，公差d<0.又Snna1dn2n，设a，ba1，则Snan2bn(a<0)，其图象是二次函数f(x)ax2bx图象上一群孤立的点S9S17，即f(9)f(17)，二次函数f(x)的图象的对称轴为x13，且开口向下，当x13时，f(x)取得最大值，数列an的前13项和最大等差数列前n项和的最值问题的三种解法1利用an：当a1>0，d<0时，前n项和有最大值可由an0，且an10，求得n的值；当a1<0，d>0，前n项和有最小值，可由an0，且an10，求得n的值2利用Sn：由Snn2n(d0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值3利用二次函数的图象的对称性再练一题2在等差数列an中，an2n14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值. 【导学号：91730031】【解】法一an2n14，a112，d2，a1<a2<<a6<a70<a8<a9<，当n6或n7时，Sn取到最小值易求S742，(Sn)min42.法二an2n14，a112，Snn213n2，当n6或n7时，Sn最小，且(Sn)min42.探究共研型等差数列前n项和的性质及应用探究1设an是等差数列，Sn是其前n项和，d是其公差，那么Sm，S2mSm，S3mS2m是否成等差数列？如果是，其公差是多少？【提示】由Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1mda2mdammdSmm2d.同理S3mS2ma2m1a2m2a3mS2mSmm2d.所以Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，并且公差为m2d.探究2设Sn，Tn分别为两个等差数列an和bn的前n项和，那么与有怎样的关系？请证明【提示】.证明：S2n1(2n1)(a1a2n1)·2an(2n1)an；同理T2n1(2n1)bn；.即.(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m.(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值【精彩点拨】(1)利用Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列求解(2)利用求解【自主解答】(1)法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列，2×7030(S3m100)，S3m210.法二在等差数列中，成等差数列，即S3m3(S2mSm)3×(10030)210.(2).1对等差数列an的前n项和Sn，等差数列bn的前n项和Tn，是很重要的性质，解类似题目时注意运用2求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质以简化运算过程再练一题3(1)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则_.(2)在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为_【解析】(1)由S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，可得.(2)S奇a1a3a2n1，S偶a2a4a2n.又a1a2n1a2a2n，解得n10.【答案】(1)(2)10构建·体系1在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11_.【解析】S11，a1a11a4a816，S1188.【答案】882等差数列an中，S104S5，则_.【解析】S104S5，10a1d4(5a1×5×4d)，d2a1，.【答案】3数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值为_【解析】等差数列前n项和Sn的形式为Snan2bn，1.【答案】14在等差数列an中，已知a3a5，则S9S5的值是_. 【导学号：91730032】【解析】××.【答案】5已知an是等差数列，其中a1030，a2050.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan20，求数列bn的前n项和Tn的最小值【解】(1)由a1030，a2050，得解得a112，d2，所以an2n10.(2)由bnan20，得bn2n10，所以，当n<5时，bn<0；当n>5时，bn>0；当n5时，bn0.由此可知，数列bn的前4项或前5项的和最小易知T4T520，故数列bn的前n项和Tn的最小值为20.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于_【解析】S55a325，a35，a23，da3a22，a735×213.【答案】132已知等差数列an中，aa2a3a89，且an<0，则S10_.【解析】由aa2a3a89，得(a3a8)29，an<0，a3a83，S1015.【答案】153(2016·南京高二检测)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9_.【解析】由等差数列前n项和公式知S84(a1a8)4(a7a2)，又S84a3，4(a7a2)4a3，2a2a3，公差d2，a9a72d6.【答案】64一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为_. 【导学号：91730033】【解析】S奇6a1×2d30，a15d5，S偶5a2×2d5(a15d)25，a中S奇S偶5.【答案】55首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3S8，当n_时，Sn取到最大值【解析】S3S8，S8S3a4a5a6a7a85a60，a60，a1>0，a1>a2>a3>a4>a5>a60，a7<0.故当n5或6时，Sn最大【答案】5或66(2015·安徽高考)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于_【解析】由a11，anan1(n2)，可知数列an是首项为1，公差为的等差数列，故S99a1×91827.【答案】277已知等差数列an的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，则项数n为_【解析】a1a2a3a425，an3an2an1an63，而a1ana2an1a3an2a4an3，4(a1an)88，a1an22.Sn11n286，n26.【答案】268已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5<ak<8，则k_.【解析】anan2n10.由5<2k10<8，得7.5<k<9，k8.【答案】8二、解答题9已知an为等差数列，Sn是an的前n项和，S77，S1575.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Tn.【解】(1)证明：设等差数列an的公差为d，由题意，得解得则Sn2n×1，2(n1)，数列是等差数列(2)由(1)知数列是以2为首项，为公差的等差数列Tn2n×n2n.10设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由【解】(1)a312，a1122d，S12>0，S13<0，即<d<3.(2)S12>0，S13<0，a6>0.又由(1)知d<0，数列前6项为正，从第7项起为负，数列前6项和最大能力提升1设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m_.【解析】由Sm12，Sm0，Sm13，得amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差数列的公差为dam1am321，由得解得【答案】52(2016·如东高二检测)设等差数列an的前n项和为Sn，首项a11，且对任意正整数n都有，则Sn_. 【导学号：91730034】【解析】由等差数列的通项公式可得，a2n1(2n1)d，an1(n1)d.，对任意n都成立，对任意n都成立，当n1时，有3，解得d2，Snn×1×2n2.【答案】n23若数列an是等差数列，首项a1>0，a2 003a2 004>0，a2 003·a2 004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n_.【解析】由条件可知数列单调递减，故知a2 003>0，a2 004<0，故S4 0062 003(a2 003a2 004)>0，S4 0074 007×a2 004<0，故使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4 006.【答案】4 0064(2016·无锡高二检测)在等差数列an中，a1023，a2522，求数列|an|的前n项和【解】由已知得得ana1(n1)d3n53.当n17，nN*时，an>0；当n18，nN*时，an<0.当n17，nN*时，|a1|a2|an|a1a2anna1dn2n；当n18，nN*时|a1|a2|an|a1a2a17a18a19an2(a1a2a17)(a1a2an)n2n884.当n17，nN*时，|an|的前n项和为n2n，当n18，nN*时，|an|的前n项和为n2n884.