精品高中数学苏教版必修5学案：2.2.3　等差数列的前n项和 Word版含解析

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1、苏教版数学精品资料2.2.3等差数列的前n项和1掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决一些简单问题(重点)2体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系(难点)3等差数列前n项和的最值的判断(易错点)基础初探教材整理1等差数列的前n项和公式阅读教材P42，完成下列问题1等差数列的前n项和公式已知条件首项a1和末项an首项a1和公差d选用公式SnSnna12.推导等差数列的前n项和的方法是倒序相加法1在等差数列an中，a11，a3030，则S30_.【解析】S30465.【答案】4652在等差数列an中，a11，a3a514，其前n项和Sn100，则n_.【解析】a11，a3a52a414，

2、a47，d2，Snn2100，n10.【答案】10教材整理2等差数列前n项和的性质阅读教材P48第8题第12题，完成下列问题等差数列前n项和常用性质(1)Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差数列(2)S奇表示奇数项之和，S偶表示偶数项之和，公差为d.当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，.当项数为奇数2n1时，S奇S偶an，.(3)前n项Sn是关于n的二次函数，不具有常数项当a10，d0时，Sn有最大值当a10时，Sn有最小值1若an是等差数列，且a1a4a745，a2a5a839，则a3a6a9_.【解析】设a3a6a9x，则45,39，x成等差数列，45x392，x33.【答案】332已知等

3、差数列an的前n项和为Snn210n，则当n_时，Sn最小【解析】Snn210n(n5)225，当n5时，Sn最小，为25.【答案】5质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型与等差数列Sn有关的基本量的计算在等差数列an中，(1)a1，an，Sn5，求n和d；(2)a14，S8172，求a8和d；(3)d2，an11，Sn35，求a1和n.【精彩点拨】(1)(2)利用Sn求解；(3)利用Snna1d求解【自主解答】(1)由题意，得Sn5，解得n15.又a15(151)d，d.(2)由已知，得S8172，解得

4、a839.又a84(81)d39，d5.(3)由得解方程组得或等差数列的基本计算方法与技巧1公式Sn中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式Snna1d中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列的通项公式ana1(n1)d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个可以求另外的两个量简称“知三求二”2在进行等差数列基本量的互求时，要注意求和公式和通项公式的恰当选取，注意方程思想及等差数列性质的应用再练一题1已知等差数列an中，(1)a1，d，Sm15，求m及am；(2)a11，an512，Sn1 022，求d；(3)S524，求a2a4.【解】(1)Smm15，整理

5、，得m27m600，解得m12或m5(舍去)，ama12(121)4.(2)由Sn1 022，得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.(3)法一设等差数列的首项为a1，公差为d，则S55a1d24，得5a110d24，即a12d，a2a4a1da13d2(a12d)2.法二由S524，得a1a5.a2a4a1a5.等差数列前n项和的最值在等差数列an中，公差为d，若a125，且S9S17，求数列an的前多少项和最大？【精彩点拨】【自主解答】法一由得解得d2.则Sn25n(2)n226n(n13)2169，数列an的前13项和最大法二同法一解得d2，an25(2)(n

6、1)2n27.令an0，即2n270，解得n13.5，即数列an的前13项均为正数，第13项以后均为负数，数列an的前13项和最大法三a125，S9S17，公差d0.又Snna1dn2n，设a，ba1，则Snan2bn(a0，d0时，前n项和有最大值可由an0，且an10，求得n的值；当a10，前n项和有最小值，可由an0，且an10，求得n的值2利用Sn：由Snn2n(d0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值3利用二次函数的图象的对称性再练一题2在等差数列an中，an2n14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值. 【导学号：91730031】【解】法一an2n14，a112，d2，a

7、1a2a6a70a8a9，当n6或n7时，Sn取到最小值易求S742，(Sn)min42.法二an2n14，a112，Snn213n2，当n6或n7时，Sn最小，且(Sn)min42.探究共研型等差数列前n项和的性质及应用探究1设an是等差数列，Sn是其前n项和，d是其公差，那么Sm，S2mSm，S3mS2m是否成等差数列？如果是，其公差是多少？【提示】由Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1mda2mdammdSmm2d.同理S3mS2ma2m1a2m2a3mS2mSmm2d.所以Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，并且公差为m2d.探究2设Sn，Tn分别为两个等差数列a

8、n和bn的前n项和，那么与有怎样的关系？请证明【提示】.证明：S2n1(2n1)(a1a2n1)2an(2n1)an；同理T2n1(2n1)bn；.即.(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m.(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值【精彩点拨】(1)利用Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列求解(2)利用求解【自主解答】(1)法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列，27030(S3m100)，S3m210.法二在等差数列中，成等差数列，即S3m3(S2mSm)3

9、(10030)210.(2).1对等差数列an的前n项和Sn，等差数列bn的前n项和Tn，是很重要的性质，解类似题目时注意运用2求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质以简化运算过程再练一题3(1)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则_.(2)在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为_【解析】(1)由S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，可得.(2)S奇a1a3a2n1，S偶a2a4a2n.又a1a2n1a2a2n，解得n10.【答案】(1)(2)10构建体系1在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11_.【解

10、析】S11，a1a11a4a816，S1188.【答案】882等差数列an中，S104S5，则_.【解析】S104S5，10a1d4(5a154d)，d2a1，.【答案】3数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值为_【解析】等差数列前n项和Sn的形式为Snan2bn，1.【答案】14在等差数列an中，已知a3a5，则S9S5的值是_. 【导学号：91730032】【解析】.【答案】5已知an是等差数列，其中a1030，a2050.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan20，求数列bn的前n项和Tn的最小值【解】(1)由a1030，a2050，得解得a112，d2，

11、所以an2n10.(2)由bnan20，得bn2n10，所以，当n5时，bn5时，bn0；当n5时，bn0.由此可知，数列bn的前4项或前5项的和最小易知T4T520，故数列bn的前n项和Tn的最小值为20.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于_【解析】S55a325，a35，a23，da3a22，a735213.【答案】132已知等差数列an中，aa2a3a89，且an0，则S10_.【解析】由aa2a3a89，得(a3a8)29，an0，a1a2a

12、3a4a5a60，a70.故当n5或6时，Sn最大【答案】5或66(2015安徽高考)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于_【解析】由a11，anan1(n2)，可知数列an是首项为1，公差为的等差数列，故S99a191827.【答案】277已知等差数列an的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，则项数n为_【解析】a1a2a3a425，an3an2an1an63，而a1ana2an1a3an2a4an3，4(a1an)88，a1an22.Sn11n286，n26.【答案】268已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k_.【解析】

13、anan2n10.由52k108，得7.5k0，S130，S130，即d0，S130.又由(1)知d0，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040成立的最大自然数n_.【解析】由条件可知数列单调递减，故知a2 0030，a2 0040，S4 0074 007a2 0040成立的最大自然数n是4 006.【答案】4 0064(2016无锡高二检测)在等差数列an中，a1023，a2522，求数列|an|的前n项和【解】由已知得得ana1(n1)d3n53.当n17，nN*时，an0；当n18，nN*时，an0.当n17，nN*时，|a1|a2|an|a1a2anna1dn2n；当n18，nN*时|a1|a2|an|a1a2a17a18a19an2(a1a2a17)(a1a2an)n2n884.当n17，nN*时，|an|的前n项和为n2n，当n18，nN*时，|an|的前n项和为n2n884.