2019年高中数学 模块综合检测（含解析）湘教版选修2-1.doc

模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“xR,2x3>1”的否定是()AxR,2x31BxR,2x3>1CxR,2x31DxR,2x3>1答案：C2已知椭圆E：1的两个焦点分别为F1，F2，M是平面内任一点则“|MF1|MF2|4”是“点M在椭圆E上”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：由题意知，椭圆的长轴长2a4，根据椭圆的定义知，C选项正确答案：C3双曲线的渐近线为yx，且过点M(2，)，则双曲线的方程为()Ax21B.y21C.x21Dy21解析：依题意可设双曲线方程为y2(0)，将M(2，)代入双曲线方程，得1.故所求双曲线方程为y21.答案：D4已知命题p：若x>y，则x<y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中，真命题是()ABCD解析：由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故pq为假命题，pq为真命题，綈q为真命题，则p(綈q)为真命题，綈p为假命题，则(綈p)q为假命题，所以选C.答案：C5已知空间向量a(1，n,2)，b(2,1,2)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A.B.C.D.解析：由已知可得2ab(2,2n,4)(2,1,2)(4，2n1,2)又(2ab)b，82n140.2n5，n.|a| .答案：D6一动圆P与圆O：x2y21外切，而与圆C：x2y26x80内切，那么动圆的圆心P的轨迹是()A双曲线的一支B椭圆C抛物线D圆解析：圆C的方程即(x3)2y21，圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.圆P与圆O外切而与圆C内切，R>1，且|PO|R1，|PC|R1，又|OC|3，|PO|PC|2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上答案：A7以1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.1B.1C.1D.1解析：双曲线1化为1，其焦点为(0，4)，顶点为(0，2)所以对椭圆1而言，a216，c212.b24，因此方程为1.答案：D8下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()Ap：acbd，q：ab且cdBp：a1，b1，q：f(x)axb(a0且a1)的图象不过第二象限Cp：x1，q：x2xDp：a1，q：f(x)logax(a0且a1)在(0，)上为增函数解析：由于ab，cdacbd，而acbd却不一定推出ab，且cd.故A中p是q的必要不充分条件B中，当a1，b1时，函数f(x)axb不过第二象限，当f(x)axb不过第二象限时，有a1，b1.故B中p是q的充分不必要条件C中，因为x1时有x2x，但x2x时不一定有x1，故C中p是q的充分不必要条件D中p是q的充要条件答案：A9正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：建系如图，设正方体棱长为1，则(0,0,1)B1D平面ACD1，取(1，1，1)为平面ACD1的法向量设BB1与平面ACD1所成的角为，则sin ，cos .答案：D10已知抛物线y2ax与直线y1x有唯一公共点，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A1B2C3D4解析：将x1y代入抛物线方程，得y2aya0，依题意有a24a0，所以a4，抛物线方程为y24x.故焦点到准线距离为p2.答案：B11已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A.B.C.D2解析：法一：作出示意图，如图，离心率e，由正弦定理得e.故选A.法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.答案：A12.如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为()A.B.C.D.解析：设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D.，且为平面BDF的一个法向量由，可得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为_解析：不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意知2b，解得，即e.答案：14已知平面的一个法向量为a，与平面平行的一个非零向量为b，给出下列命题：ab；ab；ab；ab.其中正确的有_解析：正确；中由可得a或a，虽然有b，但a与b不一定平行，中由ab得不到.答案：15命题“xR,2x23ax90”为假命题，则实数a的取值范围是_解析：xR,2x23ax90为假命题，xR,2x23ax90为真命题9a24290，即a28.2a2.答案：2，2 16在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为_解析：建系如图，则M，N，A(1,0,0)，C(0,1,0)，.cos，.即直线AM与CN所成角的余弦值为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题意，设抛物线的方程为y22px(p>0)，点P在抛物线上，62p.p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点P在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.18(本小题满分12分)已知条件p：Ax|2axa21，条件q：Bx|x23(a1)x2(3a1)0，若条件綈q是条件綈p的充分条件，求实数a的取值范围解：当a>时，集合B可化为B2,3a1，由题意知p是q的充分条件，要满足上述条件，需有解得1a3.当a时，显然不满足题意当a<时，集合B可化为B3a1,2，要满足p是q的充分条件，需有解得a1.综上，实数a的取值范围是1,3119(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F. (0，a,0)0.，EFCD.(2)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则即即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.故DB与平面DEF所成角的正弦值为.20(本小题满分12分)已知抛物线：y24x的焦点为F，直线l过点M(4,0)(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值解：(1)由已知，直线l的方程为x4时不合题意设直线l的方程为yk(x4)，由已知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以，解得k，所以直线l的斜率为.(2)证明：设线段AB的中点坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为yy0(xx0)，联立方程消去x得y2y0yyx0(x04)0，所以y1y2，因为N为AB的中点，所以y0，即y0，所以x02，即线段AB中点的横坐标为定值2.21(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图.(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值解：(1)证明：在题图中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在题图中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC.又CDBE, 所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC.如图，以O为原点，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0,0)设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为，则得取n1(1,1,1)；得取n2(0,1,1)，从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.22(本小题满分12分)已知定点C(1,0)及椭圆x23y25，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点(1)若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；(2)在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入椭圆方程x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由线段AB中点的横坐标是，得，解得k，适合.所以直线AB的方程为xy10或xy10.(2)假设在x轴上存在点M(m,0)，使为常数当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知x1x2，x1x2.所以(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.将代入，整理得m2m2m22m.注意到是与k无关的常数，从而有6m140，m，此时.当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为，当m时，亦有.综上，在x轴上存在定点M，使为常数