2014届高考数学(理科)二轮复习专题讲义专题二三角函数的图像与性质

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 2014届高考数学（理科）二轮复习专题讲义：专题二 第1讲三角函数的图像与性质三角函数的概念、诱导公式及基本关系一、基础知识要记牢(1)三角函数的定义：若角的终边过点P(x，y)，则sin ，cos ，tan (其中r)(2)诱导公式：注意“奇变偶不变，符号看象限”(3)基本关系：sin2xcos2x1，tan x.二、经典例题领悟好例1(1)(2013·辽宁五校第二次联考)若，则 ()Asin cos Bcos sin C±(sin cos ) Dsin cos (2)(2013·江西师大附中模拟)已知角终边上一点P(，1)，则2sin 23tan ()A13 B13C2 D0解析(1) |sin cos |，又，sin cos >0，故原式sin cos .(2)由已知得|OP|2，由三角函数定义可知sin ，cos ，即2k(kZ)所以2sin 23tan 2sin3tan2sin3tan2×3×0.答案(1)A(2)D(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，否则机械地使用三角函数定义会出现错误.(2)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐.特别注意函数名称和符号的确定.三、预测押题不能少1(1)已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()1，则sin 的值是()A. B.C. D.解析：选C由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 1，解得tan 3，故sin .(2)已知A是单位圆上的点，且点A在第二象限，点B是此圆与x轴正半轴的交点，记AOB.若点A的纵坐标为，则sin _；tan 2_.解析：由点A的纵坐标为及点A在第二象限，得点A的横坐标为，所以sin ，cos ，tan .故tan 2.答案：三角函数的图像与解析式一、基础知识要记牢函数yAsin(x)的图像：(1)“五点法”作图：设zx，令z0，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得(2)图像变换：ysin xysin(x) ysin(x)yAsin(x)二、经典例题领悟好例2(1)(2013·四川高考)函数f(x)2sin(x)的部分图像如图所示，则，的值分别是()A2， B2，C4， D4，(2)(2013·新课标)函数ycos(2x)(<)的图像向右平移个单位后，与函数ysin的图像重合，则_.解析(1)T，T，(>0)，2.由图像知当x时，2×2k(kZ)，即2k(kZ)<<，.(2)ycos(2x)的图像向右平移个单位后得到ycos的图像，整理得ycos(2x)其图像与ysin的图像重合，2k，2k，即2k.又<，.答案(1)A(2)(1)在利用图像求三角函数yAsin(x)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、，然后根据图像过某一特殊点来求，若是利用零点值来求，则要注意是xk(kZ)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱(2)作三角函数图像左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由ysin x(>0)的图像得到ysin(x)的图像时，应将图像上所有点向左(>0)或向右(<0)平移个单位，而非|个单位三、预测押题不能少2(1)将函数ysin的图像向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图像的一个对称中心是()A. B.C. D.解析：选C将ysin的图像向左平移个单位，再向上平移2个单位得ysin2的图像，其对称中心的横坐标满足2xk，即x，kZ，取k1，得x.(2)函数f(x)Asin(x)的部分图像如图所示若函数yf(x)在区间m，n上的值域为，2，则nm的最小值是()A1 B2C3 D4解析：选C根据已知可得，f(x)2sinx，若f(x)在m，n上单调，则nm取最小值又当x2时，y2；当x1时，y，故(nm)min2(1)3.三角函数的性质一、基础知识要记牢(1)三角函数的单调区间：ysin x的单调递增区间是 (kZ)，单调递减区间是 (kZ)；ycos x的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytan x的递增区间是(k，k)(kZ)(2)yAsin(x)，当k时为奇函数；当yk时为偶函数；对称轴方程可由xk求得二、经典例题领悟好例3(2013·安徽高考)已知函数f(x)4cos x·sin(>0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)4cos x·sin2sin x·cos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且>0，从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值和单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为yAsin(x)，yAcos(x)(A，是常数，且A>0，0)的形式，再研究其各种性质有关常用结论与技巧：(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，且A>0，0)的单调区间时一定要注意的取值情况，若<0，则最好用诱导公式将其转化为>0后再去求解，否则极易出错(2)对yAsin(x)，yAcos(x)(A，是常数，且A>0，0)结合函数图像可观察出如下几点：函数图像的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点；相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；图像上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期三、预测押题不能少3已知函数f(x)sin xcos xcos2xa.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若f(x)在区间上的最大值与最小值的和为，求a的值解：(1)因为f(x)sin 2xasina，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故函数f(x)的单调递减区间是(kZ)(2)因为x，所以2x，sin1.因为函数f(x)在上的最大值与最小值的和为，所以a0.三角函数与不等式的交汇三角函数的考查形式灵活多变，主要考查三角函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性和有界性等，三角函数与平面向量、数列、函数的零点和不等式等知识的交汇命题成为近年高考的热点一、经典例题领悟好例1(2013·湖北省武汉市调研测试)已知x0，x0是函数f(x)cos2sin2x(>0)的两个相邻的零点(1)求f的值；(2)若对x，都有|f(x)m|1，求实数m的取值范围(1)f(x)f(x)Asin(x)的形式的值f的值(2)|f(x)m|1f(x)1mf(x)1mf(x)max1且mf(x)min1求f(x)的最值解(1)f(x)sin.由题意可知，f(x)的最小正周期T，.又>0，1，f(x)sin.fsinsin.(2)|f(x)m|1，即f(x)1mf(x)1.对x，都有|f(x)m|1，mf(x)max1且mf(x)min1.x0，2x，1sin，sin，即f(x)max，f(x)min，m1.故m的取值范围为.本题考查了三角函数与函数的零点、不等式的交汇，求解的难点是由|f(x)m|<1恒成立，转化为mf(x)max1且mf(x)min1成立，即求f(x)在x的最值二、预测押题不能少1已知函数 f(x)cos x·cos.(1)求f的值；(2)求使f(x)<成立的x的取值集合解：(1)fcos ·coscos·cos2.(2)f(x)cos x·coscos x·cos2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2xcos.f(x)<等价于cos<，即cos<0.于是2k<2x<2k，kZ.解得k<x<k，kZ.故使f(x)<成立的x的取值集合为.“动态”中的三角函数定义创新问题三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，2012年山东卷即考查动态中三角函数的定义一、经典例题领悟好例2(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析因为圆心由(0,1)平移到了(2,1)，所以在此过程中P点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P点作x轴的垂线，垂足为A，圆心为C，与x轴相切于点B，过C作PA的垂线，垂足为D，则PCD2，|PD|sincos 2，|CD|cossin 2，所以P点坐标为(2sin 2，1cos 2)，即的坐标为(2sin 2,1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)解决本题的关键有以下几点：(1)正确理解圆的滚动过程，确定圆心C的坐标；(2)正确作出辅助线，并求得BP与BC的长度；(3)正确应用向量的坐标运算求出的坐标二、预测押题不能少2在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是()A(7，)B(7，)C(4，2) D(4，2)解析：选A画出草图，可知点Q落在第三象限，则可排除B、D；代入A，cosQOP，所以QOP.代入C，cosQOP.1(2013·浙江高考)函数f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分别是()A，1B，2C2，1 D2，2解析：选A由f(x)sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin，得最小正周期为，振幅为1.2(2013·浙江高考)已知函数f(x)Acos(x)(A>0，>0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若f(x)是奇函数，则k(kZ)，且当时，f(x)为奇函数3(2013·福建质检)函数f(x)x2cos x的图像大致是()解析：选B因为f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除C、D；又f2cos>0，所以排除A.4三角形ABC是锐角三角形，若角终边上一点P的坐标为(sin Acos B，cos Asin C)，则的值是()A1 B1C3 D4解析：选B因为三角形ABC是锐角三角形，所以AB>90°，即A>90°B，则sin A>sin(90°B)cos B，sin Acos B>0，同理cos Asin C<0，所以点P在第四象限，1111.5(2013·济南模拟)若函数f(x)2sin(2<x<10)的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，则()·()A32 B16C16 D32解析：选D由f(x)0解得x4，即A(4,0)，过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，根据对称性可知，A是BC的中点，如图，所以2，所以()·2·2|22×4232.6(2013·济南模拟)如图是函数yAsin(x) 在区间上的图像为了得到这个函数的图像，只需将ysin x(xR)的图像上所有的点()A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：选A由题意知，A1；由，得2；由2×2k(kZ)，0<<，得，故ysin.只要把函数ysin x的图像向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，即可得ysin的图像7设，若tan2cos 2，则_.解析：tan2cos 2，2(cos2sin2)，整理得2(cos sin )(cos sin )因为，所以sin cos 0.因此(cos sin )2，即sin 2.由，得2，所以2，即.答案：8(2013·荆州市质检)函数ysin(x)(>0,0<<)的最小正周期为，且函数图像关于点对称，则函数的解析式为_解析：由题意知最小正周期T，2,2×k(kZ)，k(kZ)又0<<，ysin.答案：ysin9.已知函数f(x)Atan(x)，yf(x)的部分图像如图，则f_.解析：由图像可知，此正切函数的半周期等于，即周期为，所以2.由题意可知，图像过定点，所以0Atan2×，即k(kZ)，所以k(kZ)，又|<，所以.再由图像过定点(0,1)，可得A1.综上可知，f(x)tan.故有ftantan.答案：10(2013·安徽高考)设函数f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数yf(x)的图像可由ysin x的图像经过怎样的变化得到解：(1)因为f(x)sin xsin xcos xsin xcos xsin，所以当x2k，即x2k(kZ)时，f(x)取最小值.此时x的取值集合为.(2)先将ysin x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得ysin x的图像；再将ysin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，得yf(x)的图像11(2013·长春市调研)函数f(x)Asin(x) 的部分图像如图所示(1)求函数yf(x)的解析式；(2)当x时，求f(x)的取值范围解：(1)由图像得A1，所以T2，则1.将代入得1sin，而<<，所以.因此函数f(x)sin.(2)由于x，x，所以1sin，所以f(x)的取值范围是.12(2013·辽宁省五校模拟)已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(3，)(1)求sin 2tan 的值；(2)若函数f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数yf2f2(x)在区间上的值域解：(1)角的终边经过点P(3，)，sin ，cos ，tan .sin 2tan 2sin cos tan .(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，xR，ycos2cos2xsin 2x1cos 2x2sin1.0x，2x.sin1.22sin11.故函数yf2f2(x)在区间上的值域为2,115 / 15