最全线性规划题型总结

,则目标函数z=x+y的最线性规划题型总结1.截距”型考题在线性约束条件下，求形如 z ax by(a,b R)的线性目标函数的最值问题，通常转化为求 直线在y轴上的截距 的取值.结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得 掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差1. (2017?天津)设变量x, y满足约束条件Ly<3大值为()A.着B. 1 C. D. 3答案：D苫+2y-230解：变量x, y满足约束条件 的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由1y可得A(0,3),目标函数z=x+y的最大值为：3.1=0(x-y)Q,贝U z=3x- 4y的最小值解：由z=3x- 4y,得yq,作出不等式对应的可行域(阴影部分)，平移直线y=x-_J,由平移可知当直线y=lx-A,经过点B （1, 1）时，直线y=1x-亍的截距最大，此时z取得最小值,将B的坐标代入z=3x- 4y=3 - 4= - 1,即目标函数z=3x- 4y的最小值为1.Go3.（2017?浙江）若x、y满足约束条件 3-3>。,则z=x+2y的取值范围是（）A. 0, 6 B. 0, 4 C. 6, +8)D. 4, +oo)D.解：x、y满足约束条件4尺+v-3>0,表小的可行域如图 k2y %（）目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由,心。解得C1）,x-2y=O目标函数的最小值为：4目标函数的范围是4, +oo）."y>K4. （2016剂南二模）已知 x, yCR,且满足，k+3y<4 ,贝U z=|x+2y|的最大值为（）-2A. 10 B. 8 C. 6 D. 3答案：C.解：作出不等式组+工+3y<白，对应的平面区域如图:工-2（阴影部分）由 z=|x+2y| ,平移直线y=-受+工2由图象可知当直线取得最大值,2此时z最大.即 A (2, 2),代入目标函数 z=|x+2y|得z=2 >2+2=6。5. （2016?胡南模拟）设变量x、y满足约束条件A.加 B. VI C. 3D. 9答案：D.解：约束条件对应的平面区域如图:令2x - y=t,变形得y=2x - t,根据t的几何意 义，由约束条件知t过A时在y轴的截距最大，得到交点A（4, 4）J Q所以t最小为 鼻1 一 过c时直线y=2xJlJ J-t在y轴截距最小，t最大，由x4y=lx+2y=l解得-2-3-4-5则z=32xy的最大值为（）C (1,0）,所以t的最大值为2X1-0=2,所以2 .距离”型考题在线性约束条件下，求形如 z= （x-a） 2+ （y-b） 2的线性目标函数的最值问题，通常转化为 求点（a, b）到阴影部分的某个点的距离的平方的取值.6. （2016?山东）若变量x, y满足，2工-3y<9 ,则x2+y2的最大值是（）A. 4 B. 9 C. 10 D. 12答案：C.解：由约束条件“ 2工- 3y9作出可行域如图,7. （2016?折江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点 P在直线l上的投影,HA (0, -3), C (0, 2), n|OA|>|OC|,联立，解得B (3, - 1).3-祐9叫QB|2二4 ( - L ) 2) 2=10, ux2+y2的最大值是10.z- 2<0k+t*Q中的点在直线x+y - 2=0k- 3H4）。上的投影构成的线段记为 AB ,则|AB|=（）A. 2/2B. 4 C, 3血 D. 6答案：C解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 区域内的点在直线 x+y - 2=0上的投影构成线段 RQ；即SAB,而 R Q =RQ ,由卜叱二0得产7,即Q.1, 1）,Lx+y=O y=l由尸2得产2 ,即R（2, - 2）,b+v=o| Il尸-2贝u1AB|=|QR|=一 一 z）2+（ +,）2=Jq+g=3,后, - y）。8. （2016?安徽模拟）如果实数x, y满足，纪+产- 4>0 ,则z=x2+y2-2x的最小值是（lx<3A. 3 B. -C. 4 D.-22答案：B.设 m= （x T ） 2+y2,则m的几何意义是区域内的点到点D (1, 0)的距解：由 Z=X2+y2 - 2x=（X- 1） 2+y2- 1 ,离的平方, 作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知D到AC的距离为最小值,此时d=,V2 h/2贝U m=d2= (-=) 2=2则3.斜军”型考题yb,b）在线性约束条件下，求形如z=Jb的线性目标函数的最值问题，通常转化为求过点(a,x a阴影部分的某个点的直线斜率 的取值.9. （2016?唐山一模）若 x,y满足不等式组ry- 2>0工-jd-y- 54。A. - B. 1 C. 22D. 3答案：C解：由题意作平面区域如下,二的几何意义是阴影内的点（x, y）与原点的连线的斜率，结合图象可知,过点A (1,2）时有最大值，此时=J L2-210. （2016?莱芜一模）已知x, y满足约束条件答案：C解：画出满足条件的平面区域，如图示:x+2y -y- 2<0，则zT的范围是（）尸2x+2y - 5=0，解得 A (1, 2),Kac=2H 3 =. 1+1 211. （2016?衡阳二模）已知变量则生土口的取值范围是（,解得 B (3, 1),而2=史！的几何意义表示过平面区域内的点与（-1, - 1）的直线的斜率,x+1显然直线AC斜率最大，直线 BC斜率最小,Kbc-UK BC=一3+1 2a 2 B 3 3c s 会D /以卜-2y解：作出满足工2所对应的区域（如图阴影）I s+y -变形目标函数可得=：”工+2x+2 xf2表示可行域内的点与 A （ - 2, - 1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点取最小值B （2, 0）时，目标函数当直线经过点C （0, 2）时，目标函数取最大值 16等.4.平面区域的面积”型考题12.设平面点集A= (x, y)|(y x)( y - 1 ) - 0,B= ( xy)l( x-i)2+(y-i)2<i,则An B所表示的平面图形的面积为A.3_ 兀 B4兀答案：D一一1 一，一解：不等式(y x)( y- 1) >0可化为x0,或0B表示圆(x-1)2+(y-1)2=1上以及圆内部的点所构成的集合,An 12B所表木的平面区域如图阴影部所本.由线 y 1 ,圆(x1)2+(y 1)2=1均关于直线y= x对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选D项.0,集合0.5.求约束条件中的参数”型考题规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用过定点的直线系”知识，使直线初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案13. (2016兴安盟一模)若数m的值为(A. - 2 B.答案：D宜-靠<2 ,且的最大值为2,则实D.2，即 A (1, )"1比时?黄足y+x=2解：W+当的最大值为2x, y满足不等式组作出不等式组对应的平面区域如图:工二2则由it=lL岂 尸2同时A也在直线y=mx上,14.（2016?绍兴一模）若存在实数 x, y满足2it - y - 2<口工-2y+2>0盅- 2>0m (k+1) _ y=0,则实数m的取值范围是A.(0,答案：D解：作出2 it- y - 2(。 i - 2y+2>0 x+y -所对应的区域（如图HABC即内部，不包括边界）直线m (x+1) - y=0 ,可化为y=m (x+1),过定点D (-1, 0),斜率为 m,存在实数x, y满足2 if - y - 2<0x - 2y+2>0 x+y- 2>0 Hi (x+1 ) - y=O则直线需与区域有公共点,Kpa="y-2=02k - y - 2=0，解得 A（4,Kpb=/=* 唳 m<36.求目标函数中的参数”型考题直线的斜率”、熏到直线规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成 的距离”等模型进行讨论与研究.(上-y>015.( 2015?山东)已知x,y满足约束条件工+y<2 ，若z=ax+y的最大值为4,则a=()v0A. 3 B. 2C. - 2 D. - 3答案：B解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).则 A (2, 0), B (1, 1),若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,目标函数为z=2x+y ,即y= - 2x+z ,平移直线y= - 2x+z,当直线经过 A (2, 0)时，截距最大，此时 z最大为4,满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时，目标函数为 z=3x+y ,即 y= - 3x+z,平移直线y= - 3x+z,当直线经过 A (2, 0)时，截距最大，此时 z最大为6,不满足条件，故a=216. (2016?扶沟县一模)设 x, y满足约束条件，Zx-F3l ,若目标函数 z=ax+by (a>0,b>0)的最小值为2,则ab的最大值为()A. 1 B.WC. D.|346答案：C>2解：满足约束条件/ 2H - y>l的可行域如下图所示:明标函数 z=ax+by (a> 0, b>0)故 ZA=2a+2b, zB=2a+3b,由目标函数z=ax+by (a>0, b>0)的最小值为 2,则 2a+2b=2,即 a+b=1贝"ab< =24故ab的最大值为工47.其它型考题17. （2016?四川）设 p：实数 x, y 满足（x- 1） 2+ （y- 1） 2Wq：实数x, y满足”贡A送一,则p是q的（） xA .必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解：（x- 1） 2+ （y- 1） 2磴表示以（1,1）为圆心，以 近为半径的圆内区域（包括边界）；1V>1 -工的可行域如图有阴影部分所示，y<l故p是q的必要不充分条件.18. 某高科技企业生产产品 A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A需要甲 材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品 B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg, 用3个工时，生产一件产品 A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业 现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品 A、产品B 的利润之和的最大值为216000 元.由题意,什。,五-二尤1 5肝3y=600不等式组表示的可行域如图：由题意可得,z=2100x+900y .解：（1）设甲、乙两种产品每件分别是 x件和y件，获利为z元.R60,解得： , A (60, 100)ty=100目标函数z=2100x+900y .经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100>60+900X00=216000元.答案为：216000.19. (2016?天津)某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A, B, C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产 1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：斤，:ABC肥料、甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥 料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x, y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x, y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润.解：(1) x, y满足的条件关系式为:R14 5yte 36。 3y+10y<300 戈。t蕈作出平面区域如图所示:(2)设利润为z万元，则z=2x+3y .咕直线y=-令(经过点B时,截距大，即z最大.解方程组4 / 5y=2DQ3其+10y=300得 B (20, 24).应 的最大值为 2 >20+3 >24=112.答：当生产甲种肥料 20吨，乙种肥料24吨时，利润最大，最大利润为112万元.