空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系知识点一空间两条直线的位置关系1异面直线定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。特点：既不相交，也不平行。理解：“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。 “不同在任”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。 不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线.2空间两条直线的位置关系相交在同一平面内，有且只有一个公共点；平行一一在同一平面内，没有公共点；异面一一不同在任何个平面内，没有公共点.例1、正方体 ABCD A1B1C1D1中，M、N分别为棱 C1D1、C1C的中点，有以下四个结 论： 直线AM与CC1是相交直线； 直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线； 直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为.（注：把你认为正确的结论的序号都填上）答案：例2、异面直线是指. 空间中两条不相交的直线；分别位于两个不同平面内的两条直线；平面内的一条直线与平面外的一条直线；不同在任何一个平面内的两条直线. 变式1、一个正方体中共有 对异面直线.知识点二平行直线1公理4 :平行于冋一条直线的两条直线互相平行|I R- 付号衣小：a/ bb II c.'a I c2.等角定理：如果一个角的两边和另- 相等例3、如图在长方体 ABCD-A1B1C1D1个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 中，已知E、F分别为上一一7CAB、BC的中点，求证：EF / A1C1.1田1I1iC厶*十詁AE詁变式1、如图E、F、G、H是平面四边形 ABCD四边中点，四边形 EFGH的形状是平行四 边形吗？为什么？如果将 ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形 ABCD ,那么四边形EFGH的形状还是平行四边形吗?例4、如图在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，已知Ei、E分别为 AiDi、AD 的中点，求证：/ CiEiBi = Z CEB .知识点三异面直线i、异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面 作为衬托，以加强直观性，如下图（I），若画成如下图（2）的情形，就分不开了，千万不能画成（2）的图形。<1> 画平面衬托时，通常画成下图中的情形。异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.判定两条直线为异面直线的常用方法有： 定义法：不同在任一平面内的两条直线. 定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面直线. 推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线. 反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已 被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结 论，即命题的结论成立，3、异面直线所成的角a与b是异面直线，经过空间任意一点0,作直线a'/ a, b b，直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a, b所成的角如下图所示.异面直线所成角的范围是0° < < 90°为了求异面直线a, b所成的角，可以在空间中任取一点 O,为了简便，点O常常取这 里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点或异面直线连线中点，也可以是异面直线中某一条上的一个特殊点将这个角放入某个三角形中计算这个角的大小，若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小(3) 我们规定：两条平行直线所成的角为 0。角，两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角(或直角)，因此在空间中的两条直线所成的角的范围为(0° ，90° ;特别地，若两异面直线所成角为90 °，则称两异面直线互相垂直；(4) 求异面直线所成角的一般步骤是： 构造 恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角. 证明 证明中所作出的角就是所求异面直线所成的角， 计算 通过解三角形(常用余弦定理)等知识，求中所构造的角的大小， 结论 假如所构造的角的大小为，若0° < < 90。，则 即为所求异面直线所成角的大小；若90° <<180 °，贝U 180° 即为所求。例5、已知平面I，直线a ,a l P,直线b例6、如图所示，正方体M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问:求证：直线a和b是异面直线.(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解：(1)不是异面直线.理由如下:为平行四边形,假设CC1D1，这与BC是正方体的棱相矛盾，.假 A1C1 / AC,得到 MN / AC,. A , M , N , C 在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线.理由如下：D1B与CC1在同一个平面 D1CC1内，贝U B 平面 CC1D1 , C 平面 CC1D1 , BC?平面例7、如图2. 1. 218,已知不共面的三条直线a, b, c相交于点P, A a, B a, C b,D c,求证：AD和BC是异面直线.证法一：（反证法）：假设AD和BC共面，所确定的平面为a,那么点 P、A、B、C、 D都在平面a内，直线a、b、c都在平面a内，与已知条件 a、b、c不共面相矛盾. AD与BC是异面直线.证法二：（直接用判定定理）： an c= P, a和c确定一个平面，设为B,巳知 C 平面B, B平面B, AD 平面B, B AD , AD和BC是异面直线.变式1、如图2. 1. 2 19, a, b是异面直线， A、B a, C、D b, E、F分别为线段答案:AC和BD的中点，判断直线 EF和a的位置关系，并证明你的结论.例8、正方体ACi中，E, F分别是A1B1, B1CI的中点，求异面直线 DB1与EF所成角的大 小。变式1、空间四边形 ABCD中，E、F分别是对角线 求直线EF与直线AD所成的角。BD、AC 的中点，若 BC = AD = 2EF,例9、直三棱柱""-中,若-则异面直线与4 1所成的角等于A. 30°B. 45 °C. 60 °D. 90°解：C变式1、已知空间四边形 ABCD各边长相等，求异面直线AB和CD所成 的角的大小.解：异面直线 AB CD成90°角.巩固练习：一、判断题1. 若三条直线两两平行，则这三条直线必共面 ( )2. 互不平行的两条直线是异面直线 ( )二、单选题1. 关于异面直线，有下列 3 个命题： 分别在两个不同平面内的两直线是异面直线 平面内的一直线与平面外的一直线是异面直线 都不在某一平面内的两条直线是异面直线其中真命题的个数是A 0B 1C2D 32. 直线a、b是两条异面直线，A、B与C、D分别为直线a、b上不同的点，则直线 AC与 BD 的关系是A 可能相交B 可能平行C.异面 D 相交或异面3. 两条异面直线指的是A 在空间不相交的两条直线B 分别位于两个不同平面内的两条直线C. 一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D .不同在任何一个平面内的两条直线4. 下列命题中，真命题的是A .两两相交的三条直线共面B .两两相交且不共点的四条直线共面C不共面的四点中可以有三点共线D 边长相等的四边形一定是菱形5. 空间两条互相平行的直线，指的是A 在空间没有公共点的两条直线B 分别在两个平行平面内的两条直线C .位于同一平面内且没有公共点的两条直线D .分别与第三条直线成等角的两条直线6. 平面M、N相交于EF，分别在平面 M、N内作/ EAC= / FBD，贝U AC和BD的关系是A .异面 B .平行 C.相交D .不确定7. 直线a和b是异面直线，直线 c/ a,那么b与cA .异面B .不异面C.相交D .异面或相交8. 如果一条直线和两条异面直线都相交,那么它们可确定A. 4个平面 B. 3个平面 C. 2个平面 D. 1个平面9. 若m和n是异面直线，n和I也是异面直线，则A .当 mQ l= $时，m 与 I 异面B . m A l= $C .当m与I共面时，m /ID. m与I相交、异面、平行都可能10. 若P是两条异面直线I、m外的任意一点，则()A .过点P有且仅有一条直线与I、m都平行B 过点 P 有且仅有一条直线与I 、 m 都垂直11过正方体 ABCD A1B1C1D1 相等,这样的直线 I 可以作 (C .过点P有且仅有一条直线与I、m都相交D .过点P有且仅有一条直线与I、m都异面 的顶点A作直线I，使I与棱AB , AD , AA1所成的角都)A. 1 条B. 2 条 C. 3条 D. 4 条1. “直线a、b异面”的否定说法是“ ”.2. 不平行的两条直线的位置关系是 .3. “直线a、b相交”的否定说法是“ ”.4. 过已知直线外一点，可以作 条直线与已知直线垂直.5. 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 .6. 已知直线a和b是异面直线，直线 c和a平行而不和b相交，则c和b的位置关系是7. 直线a、b确定一个平面，则 a、b的位置关系是 .8. “直线a、b异面”还可以说成“直线a、b既不，又不”.9. 空间有三条直线 a、b、c,如果b丄a, c丄a,那么直线b、c的位置关系是 10. 和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条直线的位置关系是.11. 已知直线a、b、c满足a/ b, b与c是异面直线，则a与c的位置关系是 12. 正方体ABCD A1B1C1D1中，与侧面对角线 AD1成异面直线的棱共有 条，它们分别是.13. 正方体 ABCD A1B1C1D1中，与棱 AB成异面直线的棱共有 条，它们分别是14. 正方体的12条棱中，互为异面直线的有 对.答案一、判断题1. X 2. X二、单选题1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10.B11.D三、填空题1. a、b共面 2.相交或异面3. a、b不相交或a、b无公共点4. 无数 5.平行或相交或异面6.异面 7.相交或平行8.相交，平行9.平行或相交或异面10.相交或平行或异面11.相交或异面12. 6; BC , B1C1 , BB1 , CC1 , DC , A1B1 13. 4; A1D1 , B1C1 , CC1 , DD114. 24空间两条直线的位置关系1.已知直线；a, b都在平面外，则下列推断错误的是（)A.ab,ba/B.a b, ba/C.a ，ba /bD.a, ba/ b【答案】C2. 已知直线I /平面a , Pa，那么过点P且平行于I的直线（）A. 只有一条，不在平面 a内B. 只有一条，在平面 a内C. 有两条，不一定都在平面 a内D. 有无数条，不一定都在平面a内【答案】B3. 下列命题正确的是（）A. 若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C4. 下列四个条件中，能确定一个平面的是（A. 一条直线和一个点B.C.空间任意三点D.【答案】D5. 在平整的地面上任意放一根笔直的钢管（ ）A.平行B.相交C.异面D.垂直【答案】D6. 平行于同一平面的两条直线的位置关系（A.平行 B .相交 C .异面 D）空间两条直线两条平行直线,则在地面上必存在直线与钢管所在的直线）平行、相交或异面【答案】D7. 下列命题中，错误的是（）A. 三角形的两条边平行一个平面，则第三边也平行于这个平面.B. 平面 a/平面卩，a a,过卩内的一点B有惟一的一条直线 b,使b/ a.C. a/p, y "A，a、卩、丫、$ 的交线为 a、b、c、d,则 a / b / c/ d.D. 条直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行.【答案】D8. 直线m不平行于平面，且mA.内所有直线与m异面 BC. 内存在唯一的直线与 m平行，则下列结论成立的是（）. 内不存在与m平行的直线D . 内的直线与m都相交【答案】B9. 正三棱锥P-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为 45°，则点A到侧面PBC勺距离是（）A. . 5B.2 2 C.2 D. 口5【答案】D10.在棱长为1的正方体ABCABCD中，M和N分别是 AiBi和BB的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）.3A.2 B10 C . 5 D . 511.已知直线l,m，平面，且1若 /,则1m ；若1 m ,若，则1 /m ；若 1 / m ,其中真命题的个数为()A. 1B2C.【答案】B12.设m、n是两条不同的直线,若m n,n，则 m；1若m,n，贝U m/n ；题的是（)A.和B.和C【答案】D则则若a【答案】B3/，给出下列四个命题:是两个不重合的平面，给定下列四个命题:若m.和，则.和13.如图，在正四棱柱 ABCDA B1C1 Di 中，E,论中不成立的是（）CiCA. EF与BB1垂直/ 则 m/nF分别是ABi , BCi的中点,B. EF与BD垂直 C . EF与CD异面 DA1C1异面【答案】D14.异面直线a、b, a丄b, c与a成30°角，则c与b成角的范围是（）.其中真命则以下结EF与6 ' 33 ' 3C.D.【答案】A15. 在正方体AiBQD ABCC中，AC与BD所成的角的大小（A.B.-64C. D.-32【答案】D16.已知空间直角坐标系中,O为原点,A（0，0，3），B（0，4，0），C（5，0，0）则经过O A、B C四点的球的体积为（）A 5。B. 1253 21000 23D.254【答案】B17.设m,n是两条不同直线是两个不同的平面，给出下列四个命题若 m ,n ,则m/nm,n ,m n,则若n,m /n,则m/,且 m/若m, m,则其中正确的命题是（）A.B.C.D.【答案】D18.已知直线l和平面 ，,()A.若 1 /,，则lB.若l /,/，则 1 /C.若 1 /,1，则/D.若l丄，1，则【答案】D19.在下列条件下，可判断平面与平面平彳亍的是（)A. a、B都垂直于丨面YB. a内不共线的三个点到3 的勺距离相等C. l,m是a内两条直线且l /3 ,mD. l,m是异面直线,且1 /a ,m/a ,l /f> ,m /3【答案】D20.设m, n是空间两条不同直线，是空间两个不同平面，当m,n时,卜列命题正确的是A.若 m P n，则 PB若mn，则C.若m，则 m nD若n，则m【答案】C21.已知直线I、m,平面、，则下列命题中:.若/,l,则 l /.若，1,则 l /.若1/,m,则 l/m.若，l , ml,则m，其中真命题有（)A. 0个B.1个C . 2个D . 3个【答案】B22.如图1所示，在正方形 ABCDK E、F分别是BC CD的中点，G是EF的中点，现在沿 AE AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使 B、C D三点重合，重合后的点记为 H,如 图2所示，那么，在四面体 AEFF中必有（）.!)團】A. AHLA EFH所在平面 B . AGT EFH所在平面C. HFLA AEF所在平面 D . HGLA AEF所在平面【答案】A23. 如图，平行四边形 ABCD中, AB丄BD沿BD将 ABD折起，使面 ABDL面BCD连接AC,则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为（A. 1 B . 2 C . 3 D . 4【答案】C24. 棱长为1的正方体 ABCD-ABCD中，点M,N分别在线段 AB,BCi上,且AM=BN給出以下结论：AA1丄MN异面直线 AB,BG所成的角为60°1 四面体B1-D1CA的体积为一3 AQ丄AB1,AQ丄BC,其中正确的结论的个数为（）A. 4 B3C. 2D. 1【答案】A25. 已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是（）A.平行B .垂直 C .斜交D .不能确定【答案】B26. 已知两个不重合的平面,，给定以下条件： 内不共线的三点到的距离相等；l,m是 内的两条直线，且丨/ ,m/l,m是两条异面直线，且l/ ,l/,m/ ,m/其中可以/（）A.B.【答案】D27.如图所示，在空间四边形C.D.ABCDKAB= BC CD= DAE、F、G分别为CD DA和 AC的中点.求证：平面 BEFL平面BGD【答案】 AB= BC, CD= ADG是 AC的中点， BGLAC DGL ACBEF二平面 BDGL平面BEF AC±平面BGD又EF/ AC EF丄平面BGD又EF?平面28. 已知三条不重合的直线 m, n,丨,两个不重合的平面，有下列命题:若l / , m/ /,且 / /,则l/m 若丨 ，m ,且I / /m ,贝U /若 m ,n , m/ , n/,则 / 若，1 m, n ,n m,则n其中真命题的个数是（）A. 4 B . 3 C . 2 D . 1【答案】C29. 若M N分别是 ABC边AB AC的中点，MN与过直线BC的平面B的位置关系是（）A.MN/BB.MN与B相交或 MN BC. MN /B 或 MN BD. MN或 MN与 B 相交或 MN B【答案】C30. 空间三条直线互相平行，由每两条平行线确定一个平面，则可确定平面的个数为（【答案】B33.在厶 ABC 中,/ C =90°到面ABC的距离为,2 ,则A. B间的距离为A.-2B.C.A. 3B. 1 或 2C. 1 或 3D. 2 或 3【答案】C31. 已知两个不同的平面a,和两条不重合的直线 m,n,则下列四种说法正确的为 （）A、若 mil n,na,贝V ma B、若 m± n,m 丄a,贝V n aC、若m a, n ,a/ ，贝U m,n为异面直线 D、若a丄 ,m丄a, n丄 ,则m丄n【答案】D32. 直径为2 . 3的球的内接正方体的棱长为（）A.2 B. 2C. 3 D. 5,/ B =30° ,AC=1,M为AB中点，将厶ACM沿CM折起，使（ ）【答案】A【答案】由 已知得AB=2,AM=MB=MC=1,BC= . 3 ,由 AMC为等边三角形，取CM中点，贝U AD丄CM,AD交BC于E, 则 AD=,DE= 3 ,CE= 3 .2632 2 2折起后，由 BC =AC +AB ,知 / BAC=90 ,'.：32222又 cos / ECA= , AE =CA +CE - 2CA?CEcosS ECA=,332 2 2于是 AC =AE +CE . / AEC=90 .2 2 2/ AD =AE +ED , AE丄平面 BCM,即 AE是三棱锥 A-BCM的高,AE= 设点M到面ABC的距离为h, T Sa BCM= ,由 Va- BCM=Vm-ABC,4可得 13 x 6=1 x、" 2 x 1 x h, h=.故选 A.34332234.设m,n是异面直线，则(1) 一定存在平面a,使 m a,且n /a； (2) 一定存在平 面a,使m a,且n丄a; (3) 一定存在平面丫，使得 m,n到平面丫距离相等；(4) 一定 存在无数对平面a和B,使 m a, n B且a丄B。上述 4个命题中正确命题的序号是( )A.( 1)(2)( 3) B . (1)(2)(4)C . (1)(3)(4)D . (1) (4)【答案】C45.关于直线a,b, l以及平面,，下面命题中正确的是()A.若 a ，b,则 a/b.B.若 a ,b a,则 b .C.若 a ,a/，则.D.若 a ,b ，且丨 a,l /b,，贝U l .【答案】C