人教版初中数学数与式版块基础知识点及例题分析

一、 数与式板块1有理数正数：像0.05,3这样大于0的数叫正数。负数：像-3，-0.45这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数。0既不是正数也不是负数正整数、0、负正数统称为整数；正分数、负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。数轴：在数学中可用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a| 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数大小的比较（1） 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2） 两个负数，绝对值大的反而小。倒数：乘积是1的两个数互为倒数有理数乘方的运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正数次幂都是零。科学记数法：把一个大于10的数表示成a的形式（其中a大于或者等于1且小于10，n是正整数），这样的记数的方法叫科学记法。（必考）考点1：实数的相关概念例1在数0,2，-3，-1.2 中属于负整数的是（ ） A 0 B 2 C -3 D-1.2解析：0既不是正数也不是负数 2属于正整数 -3是负整数 故选C -1.2是负数但不是负整数，故错误。考点2：绝对值（和相反数选考其中之一，选择或填空）典例2（2013.云南）-6的绝对值是（ ） A-6 B 6 C6 D-分析：根据绝对值的性质，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a.根据绝对值的性质|-6|=6考点3：相反数（每年必考，选择题）典例3（晋江中考）化简-（-2）=解析：负数的相反数是正数，故-（-2）=2例4 (2012昆明)5的相反数是 解： 正数的相反数是负数，绝对值要相等，所以5的相反数是-5，故选B例5(2014 昆明)的相反数是（ ） A. B. C. 2 D. 解析：根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解解：的相反数是故选B考点4正负数的应用例5（济宁中考）一运动员某次跳水的最高点离跳台2m，记作+2m，则水面离跳台10m可以记作 （ ） -10m -12m +10m +12m解析：最高点到跳台的方向和水面到跳台的方向是相反的，已知最高点到跳台的距离为2m，记作+2m，所以反方向距离记作负数，即水面离跳台10m,记作-10m.例6（2011 昆明）昆明小学1月份某天的气温为5，最低气温为1，则昆明这天的气温差为（）A、4B、6C、4D、6解析：温差为最高气温减去最低气温，所以温差等于5-（-1）=6度。考点5：科学记数法。（每年必考，填空题）类型1，要表示的数大于1，且无单位换算例7（2014.昆明）据报道，2014年4月昆明库塘蓄水量为58500万立方米，将58500万立方米用科学计数法表示为 （ ）万立方米。分析：科学记数法的表示形式为a的形式，其中1|a|<10,n为整数。确定n的值时。要看把原数变为a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数。解;将58500用科学记数法表示为5.85（每年必考）类型2，要表示的数小于1，但无单位换算例8 某种细胞的直径是0.00000095m,将0.00000095用科学计数法 表示为（ ）A BC D解析：数据0.00000095，第一个非零数字前面有7个0，所以该数据运用科学记数法可表示为(原数绝对值小于1时，n是负数).类型3，具有单位换算的科学记数法。例9（2014 河南）据统计2013年河南省旅游业总收入达到约3875.5亿元，若将3875.5亿元用科学法表示为，则n等于 （ ）A、10 B、11 C、12 D、13解析：3875.5亿元=387550000000=故选B点拨：像这种带单位用科学记数法表示的题目，要先将单位化为统一再用科学记数的计算法则来求。2、整式的加减单项式：都是数或者字母的积。多项式;几个多项式的和叫做多项式。整式：单项式与多项式统称为整式同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。合并同类项：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的的和，且字母连同它的指数不变。考点1：整式的识别例1单项式中2a的系数是 （ ）A 2 B 2a C1 D a解析：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式2a中，2是数字因数，所以单项式2a的系数是2，故选A典例2（济宁中考）如果整式-x+2是关于x的三次三项式，那么n等于（ ） A 3 B 4 C5 D 6因为整式-x+2是关于x的三次三项式 ，所以该多项式的最高次数为3，即n-2=3，解得n=5，故选C。考点2：同类项的概念的应用典例3（凉山州中考）如果单项式-与是同类项，那么a,b的值分别是多少？（ ） A a=2 b=3 Ba=1 b=2 Ca=1 b=3 Da=2 b=2解析：同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所以由题意得x和y的指数应该相同，即a+1=2,3=b,所以a=1,b=3,选C选项。考点3：合并同类项例4合并同类项：6解析：合并同类项包括两点：一找同类项；二合并同类项。合并时将同类项放在一个括号中，连同各项前面的符号，各项间用加号连接。解：6=（6-7）+（5+3）+（3-4）=考点4：整式的计算例5（2014 宁波）化简：解：=例6（2015 咸宁）化简解=-整式的计算只需按照计算法则依次计算并合并同类项，最后得到最简整式，即可。3一元一次方程一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。等式的性质性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或者式子，结果仍相等性质2：等式两边同时乘或者除同一个不为0的数，结果仍相等。解一元一次方程的一般步骤为：去分母，去括号，移向，合并同类项，系数化为1.考点1，解一元一次方程例1，解方程解：去分母得去括号得移向得合并同类项得-6.5系数化为1得例2（2015 济南）若代数式与的值相等，则x的值是A 1 B C D 2解：由题意得= 去分母得去括号得移向得系数化为1得 故选B考点2，一元一次方程的应用类型1，配套问题（在现实生活中存在“产品配套”问题，这类问题的基本等量关系是加工或生产的总量成正比。例3某车间有工人28人，已知每个工人一天能生产螺栓12个或者螺母18个，每个螺栓要和两个螺母配套，问怎样分配生产螺栓和螺母的人数才能使每天生产螺栓和螺母正好配套？解：设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为（28-x）人，根据题意得 解得x=12 所以28-x=28-12=16(人) 答：生产螺栓的工人为12人，生产螺母的工人为16人。类型2打折销售问题常见数量关系注意事项利润=售价-进价 打几折是按照原价的百分之几十出售利润率=（售价-进价）进价100分清利润与利润率例4 （哈尔滨中考）某种衬衫每件标价150元，如果每件以8折出售，那么这种衬衫每件的实际售价应为（ ）元。解析：设衬衫每件实际售价为x元，根据题意得x=15080=120 所以答案为120元。类型3行程问题行程问题中常见的关系式为路程=速度时间，在行程中一般有三种情况（1） 相遇问题：相等关系为速度和相遇时间=距离（2） 追及问题：相等关系式为（快行速度-慢行速度）追及时间=距离（3） 航行问题：相等关系为顺水速度=静水速度+水流速度。例5从甲地到乙地的路有一段平路和一段上坡路，如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡路每小时10km,下坡路每小时18km,那么从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟，从甲地到乙地的路程是多少？解：设平路所用时间为x小时，29分钟=小时，25分钟=小时，根据题意得解得则从甲地到乙地的行程是（km）答：从甲地到乙地的路程为6.5km.4,、实数算数平方根：一般地，如果一个正数的平方等于,即2=，那么这个正数叫做的算术平方根。的算术平方根记为，读作“根号”， 叫做被开方数。0的算术平方根是0.平方根：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或者二次方根。即如果2=，那么叫做的平方根，记作，读作正负根号。开平方：求一个数的平方根的运算，叫开平方。性质：正数有两个平方根，他们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。立方根：一般地如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或者三次方根。性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.有理数：任何有限小数或者无限循环小数都是有理数，如3.21,4.33333无理数;无限不循环的小数叫无理数，实数：有理数和无理数的统称。考点1，算术平方根典例1（南通中考）9的算术平方根是（ ） A 3 B-3 C81 D-81解析：根据算术平方根的定义，得9的算术平方根是=3，所以答案选A.考点2，平方根与立方根典例2，-27的立方根与的平方根之和是 A 0 B-6 C0或者-6 D6解析：因为（-3）3=-27，所以=-3又因为=9，且（3）2=9所以的平方根是3。所以，它们的和是0或者-6,故选C考点3，实数与数轴的对应关系典例3，实数，在数轴上的位置如图所示则的化简结果是 。 0 解析：从数轴上看>0，<0，且|<|， 所以=|+=-+=-考点4，估算无理数典例4（2012.昆明）定出一个大于2小于4的无理数 考点：无理数及平方根 解析因为2=，4=，所以2=4（=5,6,7,8,10,11,12,13,14,15）估算无理数就要看无理数介于的两个数是哪两个数的平方根或者算术平方根，然后只要被开方数介于两者之间且是开不尽的即可。5.二元一次方程组二元一次方程组：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共由两个方程。 二元一次方程组 解的情况（1） 当时，方程组有唯一一组解；（2） 当时，方程组有无数组解；（3） 当时方程组无解。解二元一次方程组的方法：代入法和消元法。代入法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另外一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。加减法：当二元一次方程组中同一未知数的系数相反或者相等时，把这两个方程的两边分别相加或者相减，就能消去这个未知数，得到一元一次方程。列一元一次方程组解实际问题时会抓住“不变量”和“等值量”列方程。实际问题与二元一次方程组：（1） 弄清楚题意和题目中的数量关系，用字母x,y表示题目中的两个未知数（2） 找出能够表示应用题全部题意的两个相等关系（3） 根据两个相等关系，列出代数式，从而列出方程并组成方程组（4） 解这个二元一次方程组，求出未知数的值（5） 检查所得结果的正确性及合理性（6） 写出答案。 考点1，二元一次方程组的解法 典例1（成都中考）解方程组：=1 2=5 解方法一（代入法）：由得 把代入得即， ，解得把代入，得所以方程组的解为 方法二（加减法）：+，得，解得把代入，得，解得所以方程组的解为 考点2，二元一次方程组的应用例2（2014 昆明）某校运动会需购买A、B两种奖品.若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元.（1） 求A、B两种奖品单价各是多少元？（2） 学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍.设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值.解析：（1）设A、B两种奖品单价分别为元、元，由两个方程构成方程组，求出其解即可（2）找出W与m之间的函数关系式（一次函数），由不等式组确定自变量m的取值范围，并由一次函数性质确定最少费用W的值.解：（1）设A、B两种奖品单价分别为元、元，由题意，得 ，解得：.答：A、B两种奖品单价分别为10元、15元（2） 由题意，得 由，解得：.由一次函数可知，随增大而减小当时，W最小，最小为（元）答：当购买A种奖品75件，B种奖品25件时，费用W最小，最小为1125元（此题中的第一问就是二元一次方程的实际应用）例3（2016 昆明）（列方程（组）及不等式解应用题）春节期间，某商场计划购进甲，乙两种商品，己知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进平商品3件和乙商品2件共霈230元（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定平商品以毎件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品的数董不少于乙种商品数置的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润（此题中的第一问就是二元一次方程的实际应用）6、不等式与不等式组不等式：用符号“”或“”表示大小关系的式子叫不等式。不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式。一元一次不等式的解法：1、去分母2、去括号3、移项4、合并同类项5、系数化为1（在步骤1到步骤5中，如果乘的因数或除数是负数，则不等号的方向要改变）一元一次不等式组：把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。解一元一次不等式组的步骤：（1） 分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2） 将各不等式的解集在数轴上表示出来；（3） 在数轴上找出各个不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。考点1不等式的定义和性质例1（2015 南充）若，下列不等式不一定成立的是（ ） A B C D解析：由不等式的性质1（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。）和不等式的性质2（不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变）。可知A,B,C都是正确的，但D项不一定成立，如m=0,n=-1,则不成立，所以选D.例2（2012 广州）已知，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是A B C D解析：由不等式的性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。可得B正确，而A选项变了不等号的方向，C,D无法断定是否正确，因为c的正负无法判定，它也有可能是0，所以选B.考点2，一元一次不等式的解法例3，（2016 金华）不等式3x+1<-2的解集是（ ）解：移向，3x<-2-1 合并同类项得，3x<-3 系数化为1，得x<-1例4，解不等式，解：去分母，得3（ 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 所以原不等式的解集为点拨：在解一元一次不等式时要按照不等的性质来变换不等号的方向。考点3不等式组的解法例5（2016 北京）解不等式组 2x+5>3(x-1) 4x>解： 2x+5>3(x-1) 4x> 解得x<8解得x>1 所以不等式组的解集为1<x<8考点4，一元一次不等式及不等式组的应用例6，（福州中考）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣三分（1） 小明考了68分，那么小明答对多少道题？（2） 小亮获得二等奖（70-90分），请你算算小亮答对了几道题？解：（1）设小明答对了x道题依题意得5x-3(20-x)=68 解得x=16(2)设小亮答对了y道题，依题意得 5y-3(20-y)70 5y-3(20-y)70因此解得不等式组的解集为 16<x<18因为y是正整数所以y等于17，或者18答：小亮答对了17道或者18道题。例7（2011 昆明）A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元（1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？解：（1）从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，根据题意得：y=300x+200（42x）+150（50x）+250（x2），即y=200x+15400，所以y与x的函数关系式为：y=200x+15400又，解得：2x42，且x为整数，所以自变量x的取值范围为：2x42，且x为整数（2）此次调运的总费用不超过16000元，200x+1540016000解得：x3，x可以取：2或3，方案一：从A市运往C县的农用车为2辆，从B市运往C县的农用车为40辆，从A市运往D县的农用车为48辆，从B市运往D县的农用车为0辆，方案二：从A市运往C县的农用车为3辆，从B市运往C县的农用车为39辆，从A市运往D县的农用车为47辆，从B市运往D县的农用车为1辆，y=200x+154000是一次函数，且k=2000，y随x的增大而增大，当x=2时，y最小，即方案一费用最小，此时，y=2002+15400=15800，所以最小费用为：15800元例8（2013昆明）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？解析：（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可；（2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90y）件，根据购买总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可解：（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，由题意得，+10=解得：x=4，经检验得：x=4是原方程的根，答：打折前每本笔记本的售价为4元（2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90y）件，由题意得，36040.9y+60.9（90y）365，解得：67y70， x为正整数， x可取68，69，70，故有三种购买方案：方案一：购买笔记本68本，购买笔袋22个；方案二：购买笔记本69本，购买笔袋21个；方案三：购买笔记本70本，购买笔袋20个； （第二问中用到了一元一次方程组的应用）7数据的收集整理与描述全面调查：考查全体对象的调查抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况的调查。总体：要考查的全体对象称为总体个体：组成总体的每一个考察对象称为个体样本：被抽取的那些个体组成一个样本样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。考点：总体、个体、样本、样本容量的相关概念典例1，（2013昆明）为了了解2013年昆明市九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩下列说法正确的是（）A .2013年昆明市九年级学生是总体B. 每一名九年级学生是个体C. 1000名九年级学生是总体的一个样本D. 样本容量是1000分析：根据总体、个体、样本、样本容量的概念结合选项选出正确答案即可解答：解：A、2013年昆明市九年级学生的数学成绩是总体，原说法错误，故本选项错误；B、每一名九年级学生的数学成绩是个体，原说法错误，故本选项错误；C、1000名九年级学生的数学成绩是总体的一个样本，原说法错误故本选项错误；D、样本容量是1000，该说法正确，故本选项正确故选D本题考查了总体、个体、样本、样本容量的知识，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象(该题中考查的对象是九年级学生的数学成绩，A、B、C三个选项就是把考查对象搞错了)总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位8整式的乘法与因式分解同底数幂的乘法：（即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。）幂的乘方（即幂的乘方，底数不变，指数相乘）积的乘方（即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。）同底数幂的除法（，m,n都，是正整数并且m>n）（即任何不等于0的数的0次幂都等于1）平方差公式（即两个数的差的积，等于这两个数的平方差）完全平方公式（两个数的和（差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因式分解的方法：（1）提公因式法（2）公式法（3）形如型式子的因式分解整式的乘法：（1） 单项式与单项式相乘的法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式（2） 单项式与多项式相乘的法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。（3） 多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。考点1：同底数幂的乘法典例1（晋中中考）计算：等于 A 2 B C 2 D 解析：（同底数幂相乘，底数不变指数相加）故选C考点2：幂的乘方典例2（广州中考）计算的结果是（ ） A B C D 解析：（即幂的乘方，底数不变，指数相乘）故选B考点3：平方差公式典例3，计算：10298； 解析：平方差公式（即两个数的差的积，等于这两个数的平方差）此题中要用拼凑法构造平方差公式解：原式=（100+2）（100-2）=10000-4=9996考点4：平方差公式；多项式乘以多项式典例4，解析：原式=-4考点5：因式分解中的提公因式典例5分解因式：解析原式=（两式中的公因式为）考点6：因式分解中的公式法典例6分解因式：=解原式=3 =3考点7：多项式乘以多项式典例7计算解析：原式= = =9分式分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子，叫做分式，分式中，A叫做分子，B叫分母。分式的基本性质：分式的分子分母同乘（或者除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。分式的运算乘法法则：分式乘分式，用分子的乘积作为积的分子，分母的积作为分母。除法法则：分式除以分式，把除式的分子分母颠倒位置后与被除式相乘。加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。增根：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根。检验分式方程解的方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是分式方程的解。考点1：分式有意义的条件 例1（2014 昆明）要使分式有意义，则的取值范围是 .解析，根据分式有意义的条件（即分母不能等于0）可以求出的取值范围解：由分式有意义的条件得： 故填例2（2016 上海）函数的定义域是（ ） 解，函数的定义域要使函数有意义，即使分式有存在的意义，所以分母不能等于0，即x-20，所以x2考点2：分式的性质例3（2015 丽水）分式可变形为 （ ）A B C D 解析：由分式的基本性质：分式的分子分母同乘（或者除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。此题可以理解为分子分母同时乘以-1，故选D考点3：分式加减 例4（天津中考）计算的结果为 A 1 B C D 解析： 故选A (该题只要掌握了分式加减的法则就能轻松做出)。考点4：分式的加减，增根的定义(使最简公分母为0的根)例5（鸡西中考）分式方程有增根，则m的为（ ） A 0和3 B 1 C 1和-2 D 3解析： 方程两边同时乘以最简公分母整理得 因为方程有增根，所以方程的解使最简公分母为0，所以或者将的值代入中得或者故选A考点5：分式的应用列分式方程解决实际问题时列方程前，应先弄清问题中已知数与未知数，以及他们之间的数量关系，用含未知数的式子表示相关量，然后再用题中的主要相等关系列出方程，求出解后，必须进行检验，既要检验是否是分式方程的解，又要检验是否符合题意。例6，（2016 昆明）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，20分件后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达己知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A BC D解析：此题在理清题意之后要注意题目中时间单位的换算，此题列关系式的根本是两者二者的时间差的关系。骑车的学生花的时间为，而乘汽车的学生花的时间为，二者之间的时间差为，所以选C选项。例7（2013昆明）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？解析：设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可；解：设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，由题意得，+10=解得：x=4，经检验得：x=4是原方程的根，答：打折前每本笔记本的售价为4元10、二次根式二次根式：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0.（必考）二次根式的性质： （1） 0 （2） （3） 二次根式的乘法法则： 。即两个二次根式相乘，把被开方数相乘指数不变。二次根式的除法法则：。即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式概念的意义：判断一个根式是否是二次根式，一定要满足被开方数大于或者等于零，根指数是2，当被开方数是字母时，要根据字母的取值进行讨论。考点1：二次根式有意义的条件例1（2012 昆明）函数的自变量的取值范围是 .解：要使函数有意义，则二次根式中的被开方数要大于等于0，即x-20,x2例2（苏州中考）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A B C D 解析：若式子在实数范围内有意义则一定要满足被开方数大于或者等于零，即，解得 故选C考点2：二次根式的性质的考查典例2已知，则解析：根据二次根式的性质 可知，二次根式是一个非负数，几个非负数相加等于0 ，则每个数都为0.即，因为且 所以： 所以 解得 11、数据的分析平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商叫做这组数据的平均数。加权平均数：若n个数的权分别是，则叫做这n个数的加权平均数。中位数：将一组数据按照由小到大（或者由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。数据的波动程度：设n个数据，各个数据与他们的平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即用来衡量这组数据波动的大小，并把这组数据的方差，记作。方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小。考点1：中位数例1，在开展“爱心捐助雅安灾区”的活动中，某团支部8名团员捐款的数额分别为（单位：元）：6,5,3,5,6,10,5,5这组数据的中位数是（ ） A 3 元 B 5元 C 6元 D 10元解析：将这组数据按从小到大的顺序排列如下：3,5,5,5,5,6,6,10，这组数据的中位数则中位数是元例2 (2014 昆明)我省五个级旅游景区门票如下表所示（单位：元）景区名称石林玉龙雪山丽江古城大理三塔文化旅游区西双版纳热带植物园票价（元）1751058012180关于这五个旅游景区门票票价，下列说法错误的是 平均数是 中位数是. 众数是. 极差是. 解：这五个旅游景区门票票价的平均数是： 说法A是错误的，故选A 验证：B将这五个门票价从小到大排列为：80，80，105，121，175，五个数中105居中，故这五个数的中位数是105.C在这五个数中80出现两次，其它都只一只，故五数中的众数是80。D极差是样本中最大数与最小数的差，所以五数的极差是.考点2：样本方差典例2（昆明中考）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：，则射击成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）.解析：样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差，样本方差是衡量一个样本波动大小的量，样本方差越大，样本数据的波动就越大对甲、乙射击测试来说，射击成绩的方差越小，射击成绩越稳定故填乙11、一元二次方程一元二次方程的定义:等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。解一元二次方程的方法：1、直接开平方法2、配方法3、公式法4因式分解法（必考）公式法：方程的实数根可以写成，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。一元二次方程根的个数与根的判别式的关系一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即= 当=>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ， 。 当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。 当=<0时，一元二次方程没有实数根。根与系数的关系：当=>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ， 。则有： 每年必考考点1：根的判别式例1（2013昆明）一元二次方程2x25x+1=0的根的情况是（） A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定解析：一元二次方程根的情况与判别式的关系即： 当=>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ， 。 当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。 当=<0时，一元二次方程没有实数根。所以=（5）2421=258=170，所以方程有有两个不相等的实数根故选A例2（2016 昆明）一元二次方程的根的情况是A有两个不相等的实数根 B无实数根C有两个相等的实数根 D无法确定解，由根的判别式=42414=0可知一元二次方程有两个相等的实数根。故选C。考点2：根与系数的关系例3（2011 昆明）若x1，x2是一元二次方程2x27x+4=0的两根，则x1+x2与x1x2的值分别是（） A、，2 B、，2 C、，2 D、，2解析：由根与系数的关系可知，所以将2x27x+4=0中的a,b,c代入以后，可选C.例4（2014 昆明）已知、是一元二次方程的两个根，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 4解析：根据一元二次方程两根之积与系数关系分析解答解：由题可知：，故选C考点3：解一元二次方程类型1：直接开方法例5（丽水中考）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x+6=4,则另外一个一元一次方程为 （ ）A x-6=-4 B x-6=4C x+6=4 D x+6=-4解析：此题是考查了解一元二次方程中的直接开方法，直接开方得x+6=4，则另一个为x+6=-4故选D类型2：配方法例6（兰州 中考）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）A B C D 解析：此题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的依据是，移向得配方得即，故选D.类型3：公式法例7(温州 中考)方程的解是（ ）解析，用公式法求解方程的根因为：a=1 b=-2 c=-1 所以=所以 ， 所以 ， 类型4：因式分解法例8（滨州中考）一元二次方程的解为（ ）解析：此题要用因式分解法来解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程的一般步骤为： 将方程右边化为0 将方程左边分解为两个一元一次式的乘积 令每一个一次式分别为0，得到一元一次方程 解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解解：因为： 所以 所以， 所以；考点4：一元二次方程的应用例9某年小明将1000元压岁钱以一年定期存入银行，一年后取500元购买学习用品，剩下的500元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，到其后共取出660元，求年利率。解：设存款年利率为x第一年：本金为1000元，本息和为1000（1+x）元。第二年：本金为1000（1+x）-500元，本息和为1000（1+x）-500（1+x）=660所以由题意得1000（1+x）-500（1+x）=660整理得解得10% （不合题意，舍去）答：存款年利率为10%。