同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)

习题11-8 1. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式): (1); 解 因为f(x)=1-x2为偶函数, 所以bn=0(n=1, 2, × × ×), 而 , (n=1, 2, × × ×),由于f(x)在(-¥, +¥)内连续, 所以 , xÎ(-¥, +¥). (2); 解 , (n=1, 2, × × ×), (n=1, 2, × × ×). 而在(-¥, +¥)上f(x)的间断点为x=2k, , k=0, ±1, ±2, × × ×, 故 (x¹2k, , k=0, ±1, ±2, × × ×). (3). 解 , (n=1, 2, × × × ), (n=1, 2, × × × ), 而在(-¥, +¥)上, f(x)的间断点为 x=3(2k+1), k=0, ±1, ±2, × × ×, 故 , (x¹3(2k+1), k=0, ±1, ±2, × × ×). 2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数: (1); 解 正弦级数: 对f(x)进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a0=0(n=0, 1, 2, × × ×), (n=1, 2, × × × )故 , xÎ0, l. 余弦级数: 对f(x)进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为 , (n=1, 2, × × × ) bn=0(n=1, 2, × × × ), 故 , xÎ0, l. (2)f(x)=x2(0£x£2). 解 正弦级数: 对f(x)进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a0=0(n=0, 1, 2, × × ×), , 故 , xÎ0, 2). 余弦级数: 对f(x)进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为 (n=1, 2, × × ×), bn=0(n=1, 2, × × ×),故 , xÎ0, 2. 总习题十一 1. 填空: (1)对级数, 是它收敛的_条件, 不是它收敛的_条件; 解 必要; 充分. (2)部分和数列sn有界是正项级数收敛的_条件; 解 充分必要. (3)若级数绝对收敛, 则级数必定_; 若级数条件收敛, 则级数必定_. 解 收敛; 发散. 2. 判定下列级数的收敛性: (1); 解 因为 , 而调和级数发散, 故由比较审敛法知, 级数发散. (2); 解 因为 , 故由比值审敛法知, 级数发散. (3) ; 解 因为 , 所以由根值审敛法, 级数收敛; 由比较审敛法, 级数收敛. (4); 解 因为 , 而调和级数发散, 故由比较审敛法知, 原级数发散. 提示: (5)(a>0, s>0). 解 因为 , 故由根值审敛法知, 当a<1时级数收敛, 当a>1时级数发散. 当a=1时, 原级数成为, 这是p=s的p-级数, 当s>1时级数收敛, 当s£1时级数发散. 3. 设正项级数和都收敛, 证明级数与收敛. 证明 因为和都收敛, 所以, . 又因为, , 所以级数和级数都收敛, 从而级数 也是收敛的. 4. 设级数收敛, 且, 问级数是否也收敛？试说明理由. 解 级数不一定收敛. 当和均为正项级数时, 级数收敛, 否则未必. 例如级数收敛, 但级数发散, 并且有 . 5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: (1); 解 是p级数. 故当p>1时级数是收敛的, 当p£1时级数发散. 因此当p>1时级数绝对收敛. 当0<p£1时, 级数是交错级数, 且满足莱布尼茨定理的条件, 因而收敛, 这时是条件收敛的. 当p£0时, 由于, 所以级数发散. 综上所述, 级数当p>1时绝对收敛, 当0<p£1时条件收敛, 当p£0时发散. (2); 解 因为, 而级数收敛, 故由比较审敛法知级数收敛, 从而原级数绝对收敛. (3) ; 解 因为, 而级数发散, 故由比较审敛法知级数发散, 即原级数不是绝对收敛的. 另一方面, 级数是交错级数, 且满足莱布尼茨定理的条件, 所以该级数收敛, 从而原级数条件收敛. (4). 解 令. 因为 , 故由比值审敛法知级数收敛, 从而原级数绝对收敛. 6. 求下列级限: (1); 解 显然是级数的前n项部分和. 因为, 所以由根值审敛法, 级数收敛, 从而部分和数列sn收敛. 因此. (2). 解 . 显然是级数的前n项部分和. 设, 则. 因为, 所以, 从而 . 7. 求下列幂级数的收敛域: (1); 解 , 所以收敛半径为. 因为当时, 幂级数成为, 是发散的; 当时, 幂级数成为, 是收敛的, 所以幂级数的收敛域为. (2); 解 , 因为, 由根值审敛法, 当e|x|<1, 即时, 幂级数收敛; 当e|x|>1, 时幂级数发散. 当时, 幂级数成为; 当时, 幂级数成为. 因为 , 所以 , 因此级数和均发散, 从而收敛域为. (3); 解un=n(x+1)n . 因为 , 根据比值审敛法, 当|x+1|<1, 即-2<x<0时, 幂级数收敛; 当|x+1|>1时, 幂级数发散. 又当x=0时, 幂级数成为, 是发散的; 当x=-2时, 幂级数成为, 也是发散的, 所以幂级数的收敛域为(-2, 0). (4). 解 . 因为 , 根据比值审敛法, 当, 即时, 幂级数收敛; 当时, 幂级数发散. 又当时, 幂级数成为, 是发散的, 所以收敛域为. 8. 求下列幂级数的和函数: (1); 解 设幂级数的和函数为S(x), 则 , 即 . (2); 解 设幂级数的和函数为S(x), 则 . 因为当x=±1时, 幂级数收敛, 所以有 S(x)=arctan x (-1£x£1). (3); 解 设幂级数的和函数为S(x), 则 , 即 . (4). 解 易知幂级数的收敛域为-1, 1. 设幂级数的和函数为S(x), 则当x¹0时 , xÎ-1, 0)È(0, 1, 又显然S(0)=0, 因此 . 9. 求下列数项级数的和: (1); 解 . 因为, 两边求导得, 再求导得, 因此 , 从而 . (2). 解 . 提示: , . 10. 将下列函数展开成x的幂级数: (1); 解 , 因为 , |x|£1, 故 (-1£x£1). (2). 解 (-2£x£2). 11. 设f(x)是周期为2p的函数, 它在-p, p)上的表达式为 . 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 , ,即 (n=1, 2, × × × ), (n=1, 2, × × × ). 因此 (-¥<x<+¥且x¹np, n=0, ±1, ±2, × × ×). 12. 将函数 分别展开成正弦级数和余弦级数. 解 若将函数进行奇延拓, 则傅里叶系数为 an=0(n=0, 1, 2, × × ×), . 因此, 函数展开成正弦级数为 , xÎ(0, h)È(h, p), 当x=h时, . 若将函数进行偶延拓, 则傅里叶系数为 , (n=1, 2, × × ×), bn=0(n=1, 2, × × ×), . 因此, 函数展开成余弦级数为 , xÎ0, h)È(h, p), 当x=h时, . 总习题十二 1. 填空: (1)xy¢¢¢+2x2y¢2+x3y=x4+1是_阶微分方程; 解 是3阶微分方程. (2)若M(x, y)dx+N(x, y)dy=0是全微分方程, 则函数M、N应满足_; 解 . (3)与积分方程等价的微分方程初值问题是_; 解 方程两边对x求导得y¢=f(x, y). 显然当x=x0时, y=0. 因此与积分方程等价的微分方程初值问题是 y¢=f(x, y), . (4)已知y=1、y=x、y=x2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解, 则该方程的通解为_. 解 容易证明非齐次线性微分方程的任意两个解的差是对应齐次线性微分方程的的解. 因此y1=x-1和y2=x2-1都是对应齐次线性微分方程的的解. 显然y1与y2是线性无关. 所以非齐次线性微分方程的通解为 y=C1(x-1)+C2(x2-1)+1. 2. 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程: (1)(x+C)2+y2=1(其中C为任意常数); 解 将等式变形 , 两边对x求导得 , 从而1-y2=y2y¢2, 即所求微分方程为y2(1+y¢2)=1. (2)y=C1ex+C2e2x(其中C1、C2为任意常数). 解 两边对x求导得 y¢=C1ex+2C2e2x=y+C2e2x , 即 y¢=y+C2e2x,× × ×(1)再求导得 y¢¢=y¢+2C2e2x. × × ×(2)(2)-(1)´2得 y¢¢-2y¢=y¢-2y, 即所求微分方程为y¢¢-3y¢+2y=0. 3. 求下列微分方程的通解: (1); 解 将方程变形为 , 即. 其通解为 , 即原方程的通解为. (2) xy¢ln x+y=ax(ln x+1); 解 将方程变形为 , 其通解为 ,即原方程的通解为. (3); 解 将方程变形为 , 其通解为 , 即原方程的通解为. (4); 解 将方程变形为 , 即, 其通解为 , 即原方程的通解为. (5); 解 因为 , , 所以原方程可写成 , 从而原方程的通解为 . (6) yy¢¢-y¢2-1=0; 解 令y¢=p, 则, 原方程化为 , 或 , 其通解为 . 于是 , 即(C=C12), 积分得 , 化简得原方程的通解. (7) y¢¢+2y¢+5y=sin2x; 解 齐次方程y¢¢+2y¢+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0, 其根为r1, 2=-1±2i . 因为f(x)=sin2x, l+wi=2i不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=Acos2x+Bsin2x, 代入原方程得 (A+2B)cos2x+(B-4A)sin2x=sin2x, 比较系数得, , . 因此原方程的通解为 . (8) y¢¢¢+y¢¢-2y¢=x(ex+4); 解 齐次方程y¢¢¢+y¢¢-2y¢=0的特征方程为r 3+r2-2r=0, 其根为r1=0, r2=1, r3=2. 齐次方程y¢¢¢+y¢¢-2y¢=0的通解为y=C1+C2ex+C3e-2x . 原方程中f(x)=f1(x)+f2(x), 其中f1(x)=xex, f2(x)=4x. 对于方程y¢¢¢+y¢¢-2y¢=xex, 因为l=1是特征方程的根, 故其特解可设为 y1*=x(Ax+B)ex, 代入y¢¢¢+y¢¢-2y¢=xex得 (6Ax+8A+3b)ex=xex, 比较系数得, , 故. 对于方程y¢¢¢+y¢¢-2y¢=4x, 因为l=0是特征方程的根, 故其特解可设为 y2*=x(Cx+D), 代入y¢¢¢+y¢¢-2y¢=4x得 -4Cx+2C-2D=4x, 比较系数得C=-1, D=-1, 故y2*=x(-x-1). 因此原方程的通解为 . (9) (y4-3x2)dy+xydx=0; 解 将原方程变形为 , 或, 其通解为 , 即原方程的通解为x2=y4+Cy6. (10). 解 令, 则y=u2-x2, , 故原方程化为 , 即. 这是齐次方程, 因此令, 则u=xz, , 则上述齐次方程化为 , 即, 分离变量得 , 积分得 , 即 2z3-3z2+1=Cx-3. 将代入上式得 2u3-3xu2+x3=C, 再代入, 得原方程的通解. 4. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1) y3dx+2(x2-xy2)dy=0, x=1时y=1; 解 原方程变形为 , 即 , 或 , 其通解为 , 即原方程的通解为 y2=x(2ln y+C). 由y|x=1=1, 得C=1. 故满足所给初始条件的特解为y2=x(2ln y+1). (2) y¢¢-ay¢2=0, x=0时y=0, y¢=-1; 解 令y¢=p, 则原方程化为 . 分离变量得 , 两边积分得 , 即.代入初始条件y¢(0)=-1得C1=1, 故 . 方程两边积分得 . 代入初始条件y(0)=0得C2=0. 因此满足所给初始条件的特解为. (3) 2y¢¢-sin2y=0, x=0时, y¢=1; 解 令y¢=p, 则原方程化为 . 分离变量得 2pdp=sin2ydy , 两边积分得 . 代入初始条件y¢(0)=1得, 因而 , 即 y¢=sin y . 分离变量得 , 两边积分得 . 代入初始条件得C2=0. 因此满足所给初始条件的特解为. (4) y¢¢+2y¢+y=cos x, x=0时y=0, . 解 齐次方程y¢¢+2y¢+y=0的特征方程为 r2+2r+1=0, 其根为r1, 2=-1. 齐次方程y¢¢+2y¢+y=0的通解为y=(C1+C2x)e-x. 因为f(x)=cos x, l+wi=i不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=Acos x+Bsin x, 代入原方程得 -2Asin x+2Bcos x=cos x, 比较系数得A=0, . 故. 从而原方程的通解为 . 将初始条件代入通解得 , 解之得C1=0, C2=1. 因此满足所给初始条件的特解为. 5. 已知某曲线经过点(1, 1), 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程. 解 设点(x, y)为曲线上任一点, 则曲线在该点的切线方程为 Y-y=y¢(X-x), 其在纵轴上的截距为y-xy¢, 因此由已知有 y-xy¢=x, 即. 这是一个一阶线性方程, 其通解为 , 即方程的通解为y=x(C-ln x). 由于曲线过点(1, 1), 所以C=1. 因此所求曲线的方程为y=x(1-ln x). 6. 已知某车间的容积为30´30´6m3, 其中的空气含0.12%的CO2(以容积计算). 现以含CO20.04%的新鲜空气输入, 问每分钟应输入多少, 才能在30min后使车间空气中CO2的含量不超过0.06%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出). 解 设每分钟应输入的空气为a m3, t时刻车间中CO2的浓度为x(t), 则车间中CO2的含量(以体积计算)在t时刻经过dt min的改变量为 30´30´6 dx=0.0004adt-axdt, 分离变量得 , 由于x>0.0004, 故两边积分得 , 即 . 由于开始时车间中的空气含0.12%的CO2, 即当t=0时, x=0.0012, 代入上式得C=0. 0008. 因此. 由上式得. 由于要求30min后车间中CO2的含量不超过0.06%, 即当t=30时, x£0.0006, 将t=30, x=0. 0006代入上式得a=180ln 4»250. 因为, 所以x是a的减函数, 考试当a³250时可保证x£0.0006. 因此每分钟输入新鲜空气的量不得小于250m3. 7. 设可导函数j(x)满足 , 求j(x). 解 在等式两边对x求导得 j¢(x)cos x-j(x)sin x+2j(x)sin x=1, 即 j¢(x)+tan xj(x)=sec x. 这是一个一阶线性方程, 其通解为 =cos x(tan x+C)=sin x+Ccos x. 在已知等式中, 令x=0得j(0)=1, 代入通解得C=1. 故j(x)=sin x+cos x . 8. 设函数u=f(r), 在r>0内满足拉普拉斯(Laplace)方程 , 其中f(r)二阶可导, 且f(1)=f ¢(1)=1. 试将拉普拉斯方程化为以r为自变量的常微分方程, 并求f(r). 解 因为, 所以 , . 同理可得 , . 于是 . 因此拉普拉斯方程化为 , 即. 令, 则以上方程进一步变成 , 即, 其通解为 , 即. 由于f ¢(1)=1, 即r=1时, 所以C1=1, . 在方程的两边积分得 . 又由于f(1)=1, 即r=1时u=1, 所以C2=2, 从而, 即. 9. 设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程y¢¢+p(x)y¢+q(x)y=0的两个解, 令 , 证明: (1)W(x)满足方程W ¢+p(x)W=0; 证明 因为y1(x)、y2(x)都是方程y¢¢+p(x)y¢+q(x)y=0的解, 所以 y1¢¢+p(x)y1¢+q(x)y1=0, y2¢¢+p(x)y2¢+q(x)y2=0,从而 W ¢+p(x)W=(y1¢y2¢+ y1y2¢¢- y1¢¢y2- y1¢y2¢)+p(x)( y1y2¢- y1¢y2) =y1y2¢¢+p(x)y2¢- y2y1¢¢+p(x)y1¢ =y1-q(x)y2- y2-q(x)y1 =0, 即W(x)满足方程W ¢+p(x)W=0. (2). 证明 已知W(x)满足方程 W ¢+p(x)W=0, 分离变量得 . 将上式两边在x0, x上积分, 得 , 即 .