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1、习题11-8 1. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式): (1); 解 因为f(x)=1-x2为偶函数, 所以bn=0(n=1, 2, ), 而 , (n=1, 2, ),由于f(x)在(-, +)内连续, 所以 , x(-, +). (2); 解 , (n=1, 2, ), (n=1, 2, ). 而在(-, +)上f(x)的间断点为x=2k, , k=0, 1, 2, , 故 (x2k, , k=0, 1, 2, ). (3). 解 , (n=1, 2, ), (n=1, 2, ), 而在(-, +)上, f(x)的间断点为 x=3(2k+1), k=0,
2、 1, 2, , 故 , (x3(2k+1), k=0, 1, 2, ). 2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数: (1); 解 正弦级数: 对f(x)进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a0=0(n=0, 1, 2, ), (n=1, 2, )故 , x0, l. 余弦级数: 对f(x)进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为 , (n=1, 2, ) bn=0(n=1, 2, ), 故 , x0, l. (2)f(x)=x2(0x2). 解 正弦级数: 对f(x)进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a0=0(n=0, 1, 2, ), , 故 , x0, 2). 余弦级数: 对f(x)进行偶延
3、拓, 则函数的傅氏系数为 (n=1, 2, ), bn=0(n=1, 2, ),故 , x0, 2. 总习题十一 1. 填空: (1)对级数, 是它收敛的_条件, 不是它收敛的_条件; 解 必要; 充分. (2)部分和数列sn有界是正项级数收敛的_条件; 解 充分必要. (3)若级数绝对收敛, 则级数必定_; 若级数条件收敛, 则级数必定_. 解 收敛; 发散. 2. 判定下列级数的收敛性: (1); 解 因为 , 而调和级数发散, 故由比较审敛法知, 级数发散. (2); 解 因为 , 故由比值审敛法知, 级数发散. (3) ; 解 因为 , 所以由根值审敛法, 级数收敛; 由比较审敛法,
4、级数收敛. (4); 解 因为 , 而调和级数发散, 故由比较审敛法知, 原级数发散. 提示: (5)(a0, s0). 解 因为 , 故由根值审敛法知, 当a1时级数发散. 当a=1时, 原级数成为, 这是p=s的p-级数, 当s1时级数收敛, 当s1时级数发散. 3. 设正项级数和都收敛, 证明级数与收敛. 证明 因为和都收敛, 所以, . 又因为, , 所以级数和级数都收敛, 从而级数 也是收敛的. 4. 设级数收敛, 且, 问级数是否也收敛？试说明理由. 解 级数不一定收敛. 当和均为正项级数时, 级数收敛, 否则未必. 例如级数收敛, 但级数发散, 并且有 . 5. 讨论下列级数的绝
5、对收敛性与条件收敛性: (1); 解 是p级数. 故当p1时级数是收敛的, 当p1时级数发散. 因此当p1时级数绝对收敛. 当01时绝对收敛, 当0p1时条件收敛, 当p0时发散. (2); 解 因为, 而级数收敛, 故由比较审敛法知级数收敛, 从而原级数绝对收敛. (3) ; 解 因为, 而级数发散, 故由比较审敛法知级数发散, 即原级数不是绝对收敛的. 另一方面, 级数是交错级数, 且满足莱布尼茨定理的条件, 所以该级数收敛, 从而原级数条件收敛. (4). 解 令. 因为 , 故由比值审敛法知级数收敛, 从而原级数绝对收敛. 6. 求下列级限: (1); 解 显然是级数的前n项部分和.
6、因为, 所以由根值审敛法, 级数收敛, 从而部分和数列sn收敛. 因此. (2). 解 . 显然是级数的前n项部分和. 设, 则. 因为, 所以, 从而 . 7. 求下列幂级数的收敛域: (1); 解 , 所以收敛半径为. 因为当时, 幂级数成为, 是发散的; 当时, 幂级数成为, 是收敛的, 所以幂级数的收敛域为. (2); 解 , 因为, 由根值审敛法, 当e|x|1, 时幂级数发散. 当时, 幂级数成为; 当时, 幂级数成为. 因为 , 所以 , 因此级数和均发散, 从而收敛域为. (3); 解un=n(x+1)n . 因为 , 根据比值审敛法, 当|x+1|1, 即-2x1时, 幂级数
7、发散. 又当x=0时, 幂级数成为, 是发散的; 当x=-2时, 幂级数成为, 也是发散的, 所以幂级数的收敛域为(-2, 0). (4). 解 . 因为 , 根据比值审敛法, 当, 即时, 幂级数收敛; 当时, 幂级数发散. 又当时, 幂级数成为, 是发散的, 所以收敛域为. 8. 求下列幂级数的和函数: (1); 解 设幂级数的和函数为S(x), 则 , 即 . (2); 解 设幂级数的和函数为S(x), 则 . 因为当x=1时, 幂级数收敛, 所以有 S(x)=arctan x (-1x1). (3); 解 设幂级数的和函数为S(x), 则 , 即 . (4). 解 易知幂级数的收敛域为
8、-1, 1. 设幂级数的和函数为S(x), 则当x0时 , x-1, 0)(0, 1, 又显然S(0)=0, 因此 . 9. 求下列数项级数的和: (1); 解 . 因为, 两边求导得, 再求导得, 因此 , 从而 . (2). 解 . 提示: , . 10. 将下列函数展开成x的幂级数: (1); 解 , 因为 , |x|1, 故 (-1x1). (2). 解 (-2x2). 11. 设f(x)是周期为2p的函数, 它在-p, p)上的表达式为 . 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 , ,即 (n=1, 2, ), (n=1, 2, ). 因此 (-x0.0004, 故两边积分得 , 即 .
9、 由于开始时车间中的空气含0.12%的CO2, 即当t=0时, x=0.0012, 代入上式得C=0. 0008. 因此. 由上式得. 由于要求30min后车间中CO2的含量不超过0.06%, 即当t=30时, x0.0006, 将t=30, x=0. 0006代入上式得a=180ln 4250. 因为, 所以x是a的减函数, 考试当a250时可保证x0.0006. 因此每分钟输入新鲜空气的量不得小于250m3. 7. 设可导函数j(x)满足 , 求j(x). 解 在等式两边对x求导得 j(x)cos x-j(x)sin x+2j(x)sin x=1, 即 j(x)+tan xj(x)=sec
10、 x. 这是一个一阶线性方程, 其通解为 =cos x(tan x+C)=sin x+Ccos x. 在已知等式中, 令x=0得j(0)=1, 代入通解得C=1. 故j(x)=sin x+cos x . 8. 设函数u=f(r), 在r0内满足拉普拉斯(Laplace)方程 , 其中f(r)二阶可导, 且f(1)=f (1)=1. 试将拉普拉斯方程化为以r为自变量的常微分方程, 并求f(r). 解 因为, 所以 , . 同理可得 , . 于是 . 因此拉普拉斯方程化为 , 即. 令, 则以上方程进一步变成 , 即, 其通解为 , 即. 由于f (1)=1, 即r=1时, 所以C1=1, . 在
11、方程的两边积分得 . 又由于f(1)=1, 即r=1时u=1, 所以C2=2, 从而, 即. 9. 设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个解, 令 , 证明: (1)W(x)满足方程W +p(x)W=0; 证明 因为y1(x)、y2(x)都是方程y+p(x)y+q(x)y=0的解, 所以 y1+p(x)y1+q(x)y1=0, y2+p(x)y2+q(x)y2=0,从而 W +p(x)W=(y1y2+ y1y2- y1y2- y1y2)+p(x)( y1y2- y1y2) =y1y2+p(x)y2- y2y1+p(x)y1 =y1-q(x)y2- y2-q(x)y1 =0, 即W(x)满足方程W +p(x)W=0. (2). 证明 已知W(x)满足方程 W +p(x)W=0, 分离变量得 . 将上式两边在x0, x上积分, 得 , 即 .
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