2022-2023学年高中数学 第三章 三角函数 3.2 任意角的三角函数 3.2.1 任意角三角函数的定义（二）学案 湘教版必修2

2022-2023学年高中数学 第三章 三角函数 3.2 任意角的三角函数 3.2.1 任意角三角函数的定义（二）学案 湘教版必修2学习目标1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题知识链接什么叫做单位圆？答以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米)预习导引1三角函数的定义域正弦函数ysinx的定义域是R；余弦函数ycosx的定义域是R；正切函数ytanx的定义域是x|xR，且xk，kZ2三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角的终边交于P点过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线记作：sinMP，cosOM，tanAT.要点一利用三角函数线比较大小例1分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小解如图，sinMP，cosOM，tanAT，sinMP，cosOM，tanAT.显然|MP|>|MP|，符号皆正，sin>sin；|OM|<|OM|，符号皆负，cos>cos；|AT|>|AT|，符号皆负，tan<tan.规律方法利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：角的位置要“对号入座”；比较三角函数线的长度；确定有向线段的正负跟踪演练1sin，cos，tan从小到大的顺序是_答案cos<sin<tan解析分别在单位圆中作出它们的三角函数线，由图可知：cos<0，tan>0，sin>0.|MP|<|AT|，sin<tan.故cos<sin<tan.要点二利用三角函数线解不等式例2利用单位圆中的三角函数线，分别确定角的取值范围(1)sin；(2)cos<.解(1)图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即.(2)图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即.规律方法用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即02间满足条件的角的范围，然后再加上2k(kZ)；(2)注意区间是开区间还是闭区间跟踪演练2已知点P(sincos，tan)在第一象限，若0,2)，求的取值范围解点P在第一象限内，结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0<2.可知<<或<<.要点三利用三角函数线求函数的定义域例3求函数f(x)ln的定义域解由题意，自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，.规律方法求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分跟踪演练3求函数f(x)lg(34sin2x)的定义域解34sin2x>0，sin2x<，<sinx<.如图所示x (kZ)，即x (kZ)1角(0<<2)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么的值为()A.B.C.D.或答案D2.如图对单位圆中角的三角函数线描述正确的是()A正弦线PM，正切线ATB正弦线MP，正切线ATC正弦线MP，正切线ATD正弦线PM，正切线AT答案C3在0,2上，满足sinx的x的取值范围为()A.B.C.D.答案B4利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：(1)sin_sin；(2)cos_cos；(3)tan_tan.答案(1)>(2)>(3)<1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴平行，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴平行，向右为正，向左为负三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便2三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒3三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使三角函数的定义域、函数值符号的变化规律容易理解.一、基础达标1有三个命题：和的正弦线长度相等；和的正切线相同；和的余弦线长度相等其中正确说法的个数为()A1B2C3D0答案C解析和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等故都正确，故选C.2利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是()Asin1>sin1.2>sin1.5Bsin1>sin1.5>sin1.2Csin1.5>sin1.2>sin1Dsin1.2>sin1>sin1.5答案C解析1,1.2,1.5均在内，正弦线在内随的增大而逐渐增大，sin1.5>sin1.2>sin1.3函数ytan的定义域为()A.B.C.D.答案C解析xk，kZ，xk，kZ.4设asin(1)，bcos(1)，ctan(1)，则有()Aa<b<cBb<a<cCc<a<bDa<c<b答案C解析作1的正弦线，余弦线，正切线可知：bOM>0，aMP<0，cAT<0，且MP>AT.c<a<b.5若0<<2，且sin<，cos>，则角的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析取值范围为图中阴影部分，即.6集合A0,2，B|sin<cos，则AB_.答案7利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：(1)sinx>且cosx>；(2)tanx1.解(1)由图(1)知：当sinx>且cosx>时，角x满足的集合：.(2)由图(2)知：当tanx1时，角x满足的集合为：.即.二、能力提升8如果<<，那么下列不等式成立的是()Acos<sin<tanBtan<sin<cosCsin<cos<tanDcos<tan<sin答案A解析如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM<MP<AT，即cos<sin<tan.9不等式tan>0的解集是_答案解析不等式的解集如图所示(阴影部分)，.10把sin，sin，cos，tan由小到大排列为_答案cos<sin<sin<tan解析如图可知，sinM1P1>0，sinM2P2>0，tanAT>0，cosOM3<0.而0<M1P1<M2P2<AT，0<sin<sin<tan.而cos<0，cos<sin<sin<tan.11求函数ylogsinx(2cosx1)的定义域解由题意得，要使函数有意义，则须如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求所以所求函数的定义域为.12利用三角函数线，写出满足下列条件的角的集合：(1)sin；(2)cos.解(1)由图知：当sin时，角满足的集合为.(2)由图知：当cos时，角满足的集合为.三、探究与创新13当时，求证：sin<<tan.证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，的终边与单位圆交于P，的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MPsin，ATtan.因为SAOPOA·MPsin，S扇形AOPOA2，SAOTOA·ATtan，又SAOP<S扇形AOP<SAOT，所以sin<<tan，即sin<<tan.