湖北省公安县博雅中学高三数学求数列通项公式的方法

求数列通项公式的方法一、需要掌握的求数列通项公式的方法：观察归纳法，公式法，已知求数列的通项公式。需要掌握就是极其地熟练运用，随时都能完成。1. 观察归纳法：例1、根据下面各数列前几项的值，写出下列数列的一个通项公式。（1）1，3，6，10，15， （2）解析：（1）由，不难猜想：。（2）数列的每一项都可化为分式形式，因此应从分子和分母两部分研究。分子的特征比较明显，由此可知，则，猜想。说明：由数列的前几项的值猜想数列的一个通项公式采用是不完全归纳法，得到的结果可能是错误的，在解答题中应用数学归纳法进行证明。但在选择题和填空题这样的小题中是不错的方法。如：已知数列满足，则=（ ）A0BCD解：已知递推公式，令，依次得，不难猜想数列是周期为3的特殊数列，故，选B2. 公式法：例2、已知数列中，点在直线上，求数列的通项公式。解析：由题意得：，即。数列是一个首项，公差为7的等差数列。 小结：由题意通过适当的转化，数列符合等差数列、等比数列的定义，从而利用等差数列、等比数列的通项公式求解。3. 已知求数列的通项公式：例3、已知下面各数列的前项和，求的通项公式。 （1）； （2）解析：（1）当时，；当时，符合上式。（2）当时，；当时，不符合上式。小结：已知求是重要题型，是高考考查的重点知识。 已知求的步骤：确定首项；时，求出；验证是否满足的表达式；写出的表达式。应注意公式的变形应用，如：等。练习：1.若数列的前项和，则这个数列的通项公式是。2.已知数列的各项均为正数，且，则 。引申：1.设数列满足，求的通项公式。分析：的左边实则是数列的前n项和，因此亦可求解。2.设数列的前项积，则这个数列是 （ ） A. B. C. D. 分析：，则，两式相除既得，从而求出、，故。选C二、需要理解的求数列通项公式的方法：构造法。需要理解就是能熟练地运用知识解决问题，对其理论思想清楚。例4、已知数列中，且。，求的表达式。解析1：由得：，等式两边同时除以得：数列是以首项为，公差为2的等差数列。解析2：，由两边同时取倒数得：数列是以首项为，公差为2的等差数列。 小结：由题意通过适当的转化可变形为：均可转化为等差数列，再利用等差数列的通项公式求解。例5、在数列中，已知且，的二次方程有重根，求的表达式。解析：由的二次方程因式分解得：，故方程的两根为，的二次方程有重根，数列是一个首项为，公比为的等比数列。，则。小结：形如的递推数列都可以通过待定系数法构造等比数列求通项公式。方法是令，即，对照比较知：。呢？请同学们自己思考一下。引申：已知数列中，已知，求的表达式。解析：此题需要二次构造数列求解。方法是：由的两边同时除以得：。令，则，。再用待定系数法知，故数列是一个首项为，公比为的等比数列。，则，即， 。三、需要了解的求数列通项公式的方法：累加法、累乘法、方程法以及奇偶项法。需要了解就是知道这种方法，能运用其解题。1. 累加法例6、在数列中，求的表达式。解析：由题意可得：，则有：以上个式子累加得：小结：形如的递推数列都可以累加法求数列的通项公式。注意其中是一个关于的变量。2. 累乘法例7、，且，则 。解析：由因式分解得，。则有：，以上个式子累乘得：，又，小结：形如的递推数列都可以累乘法求数列的通项公式。注意其中是一个关于的变量。3. 方程法例8、已知，数列满足。求数列的通项公式。解析：由（隐含），则有：，由求根公式可得：或（应舍去）4. 奇偶项法例8、已知数列满足，且求数列的通项公式。解析：当时，故当时数列是一个以为首项，公比为3的等比数列。又，代人上式得：。同理，当时，由得故当时数列是一个以为首项，公差为1的等差数列。又，代人上式得：。综上知： 。小结：解决此类问题应用解决分段函数的思想，分段处理。具体方法为：当为奇数时，令，用关于的代数式表示该段，在从中解出代人即得在该段数列的通项；同理，当为偶数时，令，用关于的代数式表示该段，在从中解出代人即得在该段数列的通项。最后将两段合在一起就是该数列的通项公式。