《电子工程物理基础》课后习题解答教程

. . 电子工程物理基础习题参考答案第一章1-1一维运动的粒子处在下面状态将此项函数归一化；求粒子坐标的概率分布函数；在何处找到粒子的概率最大?解：（1）由归一化条件，知 得到 归一化常数 所以 归一化波函数为（2）粒子坐标的概率分布函数（3）令 得到 ，根据题意x=0处，=0，所以处粒子的概率最大。1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n。距势阱的左壁1/4宽度发现粒子概率是多少?n取何值时，在此围找到粒子的概率最大?当n时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U（x），那么距势阱的左壁1/4宽度发现粒子概率为（2）n=3时，在此围找到粒子的概率最大。（3）当n时，。这时概率分布均匀，接近于宏观情况。1-3一个势能为的线性谐振子处在下面状态，求归一化常数A；在何处发现振子的概率最大；势能平均值解：类似题1-1的方法 （1）归一化常数 由 得到 （2） 振子的概率密度 由 得到x=0时振子出现概率最大。 （3）势能平均值1-4设质量为m的粒子在以下势阱中运动，求粒子的能级。解: 注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足同样的波动方程，但根据题意，x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同）1-5电子在原子大小的围(10-10m )运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。解：电子总能量 作近似代换，设 ，于是所以电子的最小能量 ，此式与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。1-6氢原子处在基态，求：r的平均值；势能的平均值；最可几半径。解：（1）r的平均值（2）势能的平均值（3）最可几半径粒子在球壳r-r+dr围中出现的概率如下：由 得到r=a处电子出现的概率最大。1-7设一体系未受微扰作用时，只有两个能级E01与E02，受到微扰作用，微扰矩阵元 。a，b都是实数，用微扰公式求能级的二级修正值。解：根据非简并微扰公式，有1-8氢分子的振动频率是1.32×1014Hz，求在5000K时，以下两种情况下振动态上粒子占据数之比。n=0，n=1；n=1，n=2。氢分子的振动看作为谐振子，因此振子能量为 振动态上被粒子占据的概率服从M-B分布，则（1） n=0，n=1 时， （2） n=1，n=2时，1-9求在室温下(k0T=0.025ev)电子处在费米能级以上0.1ev和费米能级以下0.1ev的概率各是多少? 费米能级以上费米能级以下第二章 2-1.试说明格波和弹性波有何不同?提示：从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。2-2. 证明：在长波围，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一维连续介质弹性波传播速度相同，即：式中，E为弹性模量，为介质密度。提示：利用教材第二章中一维单原子晶格和双原子晶格的声学波的色散关系，得到长波近似下的表达式（2-35）和（2-46），并注意到。 2-3.设有一维原子链(如以下图所示)，第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为，第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为()。设两种原子的质量相等，最近邻间距为a，试求晶格振动的振动谱以与波矢q=0和q=/2a时的振动频率。解：根据题意，原子运动方程为设上两式的行波解为将式（2）代入式（1），并整理得方程（3）中的A、B有非零解，则方程组的系数行列式为零，得到所以 2-4. 一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区边界q=±处，声频支中所有轻原子m静止，光频支所有重原子M静止。提示：利用教材中第二章的式（2-46）和式（2-49）进行分析。2-5. 什么叫声子?它和光子有何异、同之处?略2-6. 一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5×1.67×10-27kg，另一种原子的质量M=4m，力常数=15N·m-1，求：(a) 光学波的最大频率和最小频率、(b) 声学波的最大频率(c) 相应的声子能量是多少eV?(d) 在300K可以激发多少个频率、的声子?(e) 如果用电磁波来激发长光学波振动，试问电磁波的波长要多少?解：（a），（b），（c），（d）,(e) 2-7. 设晶体中每个振子的零点振动能量12h，试用德拜模型求晶体的零点振动能。解：晶体的零点振动能E0是各振动模式零点能之和。2-8.设长度为L的一维简单晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示成。试由简谐近似求（1）色散关系；（2）模式密度；（3）晶格热容（列出积分表达式即可）解：（1）原子间的弹性恢复力系数为将上式代入本教材一维简单晶格的色散关系式（2-34）中，得到（2）对于一维简单晶格，有在波矢中的振动模式数为，其中2是考虑对称区域引入的。所以， 代入上式，有（3） 利用教材第二章中的式（2-81），得2-9. 有人说，既然晶格独立振动频率的数目是确定的(等于晶体的自由度数)。而h代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。这种说法是否正确?提示：不正确，因为平均声子数与与温度有关。2-10. 应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。解：（1）一维情况下在波矢中的振动模式数为，其中2是考虑对称区域引入的。由于德拜模型中设，所以相应的中振动模式数频谱密度德拜温度其中 满足，所以利用教材第二章中的式（2-81） ， 其中（2）二维情况下在波矢中的振动模式数为与一维求解思路相同，但必须注意二0000维时需计与两种弹性波（一个纵波和一个横波），则，其中 2-11. 1：T>>DT<<D介于、之间的温度。提示：根据第二章中描述图2-40的曲线的形成进行分析。第三章/1. 按照经典的观点，在室温下，金属中每个电子对比热的贡献为，按照量子论的观点，如取，则为，只为经00典值的1/60。试解释何以两者相差这么大。提示：两种情况下电子服从的统计分布不同，量子论观点认为只有能量高于费米能的那些电子对比热才有贡献。2. 限制在边长为L的正方形中的N个自由电子。电子能量(a) 求能量E到E+dE之间的状态数；(b) 求此二维系统在绝对零度的费米能量。解：此题与2-10题的求解思路类似。（a）二维系统中，波矢中的状态数对应圆环中包含的状态点，所以，式中系数2的引入是因为考虑每个状态可容纳自旋相反的两个电子。因为 ，所以由得到E到E+dE之间的状态数（b）T=0 K时，系统总电子数可以表示如下，其中，电子浓度3. 设有一金属样品，体积为，其电子可看作自由电子，试计算低于5ev的总的状态数。解：低于5ev的总的状态数为4. 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成若一个摩尔的钾有N=6×1023个电子，试求钾的费米温度和拜温度。解：低温下金属的热容量由电子热容和晶格热容构成，且电子热容正比于T，晶格热容正比于T3。所以有5. 一维周期场中电子波函数应当满足布洛赫定理，若晶格常数是a，电子的波函数为(a)(b)(c) (f是某个确定的函数)试求电子在这些状态的波矢解: (a) 所以 考虑到 则有 所以，仅考虑第一布里渊区，（b） 与（a）同样方法，得，仅考虑第一布里渊区，（c） 与（a）同样方法，得，仅考虑第一布里渊区，6.证明，当时，电子数目每增加一个，则费米能变化其中为费米能级的能态密度。解：由本教材第三章的式（3-21）知电子每增加一个，费米能级的变化为注意到， ，并由本教材第三章的式（3-14）可得到表达式，容易证得7.试证明布洛赫函数不是动量的本征函数提示：只要证明即可，其中为动量算符，为布洛赫函数8. 电子在周期场中的势能且a=4b,是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。解：V(x)是以a为周期的周期函数，所以9. 用近自由电子模型处理上题。求此晶体的第一个以与第二个禁带宽度。解：势能V（x）在（-2b，2b）区间是个偶函数，展开成傅立叶级数为，其中第一个禁带宽度10. 在一维周期场中运动的电子，每一个状态k都存在一个与之简并的状态-k，为什么只在附近才用简并微扰，而其它k值却不必用简并微扰处理呢?提示：由书中第3章式（3-81）（3-83）知，两个k之间必须满足（n为整数）才会对微扰有贡献。11. 能带宽窄由什么因素决定?它与晶体所包含的原胞总数N有无关系?提示：波函数之间的互作用越强，能带展宽越厉害，与N无关。12. 布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，是吗?提示：不一定。对于一维情况，布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，但二维以上则不然，可能存在第一布里渊区在某个k方向上的能量最大值大于第二布里渊区另一方向上的能量最小值。13. 已知一维晶体的电子能带可写成其中a是晶格常数，试求(a) 能带的宽度；(b) 电子在波矢k的状态时的速度；(c) 能带底部和顶部电子的有效质量。解：（a）首先求能量最大值和最小值由得到 n为偶数时，n为奇数时，所以能带宽度为（b）速度(c) 有效质量 导带底，代入上式得导带顶，代入上式得14. 用紧束缚方法处理面心立方晶体的S态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出能带为，并求能带底部电子的有效质量。解：任取一个格点为原点，最近邻格点有12个，它们的位置坐标分别为紧束缚方法得到的能量式为将12个最邻近格点的位置坐标代入上式，并整理得到面心立方s态原子能级相对应的能带。15. 紧束缚方法导出体心立方晶体S态电子的能带试画出沿方向()，和的曲线。解：求解方法类似13题。首先写出任意格点为原点其最近邻的8个格点的位置坐标，并代入紧束缚方法得到的能量式，即可得到此题给出的能量表示式。沿kx方向（ky=kz=0），有能量 ，其中，最大值为，最小值 。图略速度 。图略16.为何引入密度泛函理论处理能带问题，有何优点？略。请参考本书第3章3.3.3节的容。第四章1. 从能带论出发，简述半导体能带的基本特征，利用能带论分析讨论为什么金属和半导体电导率具有不同的温度依赖性。提示：半导体的能带结构决定了半导体中有两种载流子参与导电，且浓度与温度有关，温度对电导率的影响涉与到载流子浓度和散射两方面。金属只有电子对导电有贡献，且不受温度影响。温度主要影响晶格振动对电子的散射。2. 从能带底到能带顶，晶体中电子的有效质量将如何变化？为什么？略。参考本书3.4.2节的容。3. 为什么半导体满带中少量空状态可以用具有正电菏和一定质量的空穴来描述？金属中是否也会有空穴存在？略。4. 当E-EF 分别为kT、4kT、7kT，用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结果进行讨论。解：电子的费米分布 ，玻尔兹曼近似为（1）E-EF=kT时 ，（2）E-EF=4kT时 ，（3）E-EF=7kT时 ，当远大于1时，就可以用较为简单的玻尔兹曼分布近似代替费米狄拉克分布来计算电子或空穴对能态的占据概率，从此题看出E-EF=4kT时，两者差别已经很小。5. 设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近的能量Ec(k)和价带极大值附近的能量En(k)分别为，式中m为电子惯性质量，Å,试求出：（1）禁带宽度（2）导带底电子的有效质量；（3）价带顶电子的有效质量；（4）导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量。解： （1） 令 即得到导带底相应的令 即得到价带顶相应的 故禁带宽度 将代入，得到（2）导带底电子有效质量（3）价带顶空穴有效质量（4）动量变化为6. 什么是浅能级杂质？什么是深能级杂质？将它们掺入半导体材料中各自起什么作用？举例说明。略。7. 试证明半导体中当且电子浓度空穴浓度时，材料的电导率最小，并求的表达式。试问当n0和p0（除了n0= p0 =ni以外）为何值时，该晶体的电导率等于本征电导率？并分别求出n0和p0。已知解：（1）由 得 ，又，所以当，时，（2）当材料的电导率等于本征电导率时，有：即解得： 计算得：故，时，该晶体的电导率等于本征电导率。8. 何谓简并半导体？在简并半导体中杂质能带将发生怎样的变化，何故？略。9. 半导体Si、Ge和GaAs ，哪一种最适合制作高温器件，为什么？提示：从禁带宽度大小出发，分析进入本征激发的温度极限。10. 在杂质半导体中，对载流子的散射机构主要有哪两种？它们对温度的依赖特性有何不同，为什么？略。11. 为什么在高掺杂情况下，载流子的迁移率随温度的变化是比较小的，而且在低温区其温度系数为正，在高温区温度系数为负？提示：从电离杂质散射和晶格振动散射两方面分析温度对迁移率的影响。12. 硅原子作为杂质原子掺入砷化镓样品中，设杂质浓度为1010/cm3，其中5%硅原子取代砷，95%硅原子取代镓，若硅原子全部电离，本征激发可忽略不计，求样品的电导率。（n=8800 cm2/V·s, p=400 cm2/V·s，q=1.6×10-19库仑）解：硅原子取代镓起施主杂质作用，取代砷起受杂质作用。因此 杂质补偿，有 13. 早期锗硅等半导体材料常利用测其电阻率的方法来估计纯度，若测得室温下电阻率为10，试估计N型锗的纯度，并讨论其局限性。（300K较纯锗样品的电子迁移率，锗原子密度d=4.42´1022cm-3, 电子电荷量e=1.6´10-19A.s）。室温下，杂质全电离，有n=ND, 那么，纯度为局限性：对于高度补偿材料，误差很大。14. 平均自由时间、非平衡载流子的寿命与介电弛豫时间有何不同？略。15. 一块补偿硅材料，已知掺入受主杂质浓度NA=1´1015cm-3, 室温下测得其费米能级位置恰好与施主能级重合，并测得热平衡时电子浓度n0=5´1015cm-3 。已知室温下本征载流子浓度ni=1.5´1010cm-3,试问： （1）平衡时空穴浓度为多少？ （2）掺入材料中施主杂质浓度为多少？ （3）电离杂质中心浓度为多少？ （4）中性杂质散射中心浓度为多少？（1）热平衡时，显然 n0p0 ，故半导体杂质补偿后为n型。（2）电中性方程 （1）补偿后 （2）又 （3）将式（2）、（3）代入式（1），并注意到，那么，所以 （3）受主杂质电离中心： 施主杂质电离中心：（4）中性杂质散射中心：16. 一个半导体棒，光照前处于热平衡态，光照后处于稳定态的条件，分别由以下图给出的能带图来描述。设室温（300K）时的本征载流子浓度ni=1010cm-3,试根据已知的数据确定： （1）热平衡态的电子和空穴浓度n0和p0； （2）稳定态的空穴浓度p； （3）当棒被光照射时，“小注入”条件成立吗？试说明理由。 题图4-1 光照前后的能带图（1），（2）光照产生非平衡载流子，稳态时又 由上两式得，化简后，有，解得 所以 （3）因为 所以满足小注入条件。17. 假设n型半导体中的复合中心位于禁带的上半部，试根据4.2.3中间接复合的理论分析半导体由低温至高温时非平衡少数载流子寿命随温度的变化，解释以下图中的曲线。题图4-2 n型半导体中少子寿命随温度的变化曲线提示：参照本书p.147中对式（4-85）化简为（4-86）或（4-87）的方法进行分析，并考虑温度对费米能级EF位置的影响。18. 请根据GaAs的能带结构定性解释图4.5.3节中的图4-30给出的GaAs电子平均漂移速度与电场强度的关系。略。19. 光照一均匀掺杂的n型硅样品，t=0时光照开始并被样品均匀吸收，非平衡载流子的产生率为G，空穴的寿命为，忽略电场的作用。（1） 写出光照条件下非平衡载流子所满足的方程；（2） 光照达到稳定状态时的非平衡载流子浓度；（3） 如果产生率为1020cm-3s-1，寿命为5×10-19 s，求样品的附加电导率。（已知：n=1350 cm2/V·s, p=500 cm2/V·s）解：已知 连续性方程为 由于均匀掺杂且均匀吸收，则 忽略电场作用 （1）光照条件下非平衡载流子所满足的方程为（2）光照达到稳定状态时，（3）又则，附加电导率：20. 若稳定光照射在一块均匀掺杂的n型半导体中均匀产生非平衡载流子，产生率为Gop，如题图4-3所示。假设样品左侧存在表面复合，那么少数载流子如何分布呢？题图4-3 光均匀照射半导体样品解：光照半导体，并被整个半导体均匀吸收，产生非平衡载流子，由于左侧存在表面复合，因此体产生的载流子将向左侧扩散。此时，少数载流子空穴满足的扩散方程如下：远离边界处的非平衡载流子浓度满足得这样边界条件为解扩散方程，并考虑边界条件最后得到21. 设一无限大均匀p型半导体无外场作用。假设对一维晶体，非平衡少子电子只在x=0处以gn产生率产生，也即小注入，如题图4-4所示。显然少子电子将分别向正负x方向扩散，求解稳态时的非平衡少数载流子。（假设T=300K时p型半导体的掺杂浓度为,）题图4-4 x=0处少子电子注入下的p型半导体由已给条件知，电场=0，稳态时，在 处，gn=0，这时连续性方程变为，上式为一维稳态扩散方程，该方程的通解为 其中扩散长度，考虑到非平衡少子从x=0处向两边扩散的过程中会不断和多子空穴复合，所以x趋于正负无穷时，非平衡少子将衰减为零。显然在x>0处，B=0,在x<0处A=0则式中表示x=0处的非平衡载流子浓度，上式说明稳态非平衡载流子从x=0处向两侧呈指数衰减。假设T=300K时p型半导体的掺杂浓度为,.那么，少子的扩散长度为 所以，22. 如题图4-5所示，一个无限大的掺杂均匀的p型半导体样品，无外加电场。假设对于一维晶体，其中心附近长度为2a的围被一稳定光照射，产生的载流子分别向+x和-x方向扩散。假定光均匀的穿透样品，电子-空穴对的产生率为G。题图4-5 光照半导体样品局部区域（1） 根据少子的连续性方程，分别写出样品x<-a ,-a<x<a ,x>a三个区域中的少数载流子方程表达式（2） 分别求出三个区域中的载流子n(x)的表达式解：（1）取样品中心处为原点，根据非少子的连续性方程并结合题意可得到在稳态情况下样品三个区域中的少数载流子方程分别为（2） 式（1）的解为因少子分布关于原点对称，故B=0，所以（2）式和（3）的解为，x>>时，趋于零，则，x>>时，趋于零，则 考虑到对称性，有D=E由边界条件 和 可确定系数A和C，最后得到第五章1.请分析p型半导体与金属相接触时的接触特性，分别讨论半导体功函数大于或小于金属功函数的两种情况，并画出相应的能带图。略。2.在半导体器件制造中，常遇到低掺杂半导体引线问题，一般采用在低掺杂上外延一层相同导电类型重掺杂半导体，请以金属-n+半导体-n为例，分别画出平衡时、正向偏置和反向偏置下的能带图，并说明其欧姆接触特性。略。3.试比较p-n结和肖特基结的主要异同点。为什么金-半二极管（肖特基二极管）消除了载流子注入后的存储时间？略4.为什么隧道击穿时击穿电压具有负温度系数而雪崩击穿具有正温度系数？提示：对于隧道击穿，温度升高，将使禁带宽度变窄，相应的势垒厚度变薄，易于击穿，即温度升高，击穿电压变小。对于雪崩击穿，温度升高使晶格振动增强，势垒区的载流子因散射而损失部分能量，因此需在更高的反向电压下积聚能量形成雪崩击穿。5.在实际半导体二极管中，p-n结反向电流包括哪几个部分的贡献？提示：反向扩散电流和势垒区的产生电流。6.说明在小注入情形下pn结中注入基区的少子主要以扩散运动为主。略。7.施主浓度为1017cm-3的N型硅，室温下的功函数是多少？如果不考虑表面态的影响，试画出它与金（Au）接触的能带图，并标出势垒高度和接触电势差的数值。已知硅的电子亲和势,金的功函数为。解：室温下杂质全电离，有那么，功函数为显然 形成阻挡层。 能带图略。8.导出p-n结的正向电流与V/VD的函数关系，此处V为外加电压，并求300K时p-n结的正向电流为1A时的外加电压值（设p=200cm2/V.s，n=500cm2/V.s,n=p=1s,NA=1018cm-3,ND=1016cm-3）解：联立两式 可得到 p-n结的正向电流与V/VD的函数关系为由已知条件可求得， ， 又所以 ， 于是，A为p-n结的截面积。那么，当通过截面积为A的p-n结的电流为1安培时，外加电压9. 在室温下（k0T=0.026eV），当反向偏置电压等于0.13V时，流过p-n结二极管的电流为5µA。试计算当二极管正向偏置同样大小的电压时，流过二极管的电流为多少µA？解：10.为什么SiO2层下面的p型硅表面有自行变为n型的倾向。略。11.单晶硅中均匀地掺入两种杂质：掺硼1.5´1016cm-3, 掺磷5.0´1015cm-3。试计算：（1）室温下载流子浓度；（2）室温下费米能级位置；（3）室温下电导率；（4）600K下载流子浓度。（已知：室温下（T=300K）：ni=1.5´1010cm-3, k0T=0.026eV； NV=1.0´1019cm-3, NC=2.8´1019cm-3；mn=1000cm2/V×s ；mp=400cm2/V×s 600K时：ni=6´1015cm-3。）解 (a) 室温下，杂质全部电离，则NA=1.5´1016cm-3, ND=0.5´1016cm-3则 p0=NA-ND=1.0´1016cm-3(b)(c)(d) 600K时，本征激发不可忽略，由下式解出：12.证明p-n结反向饱和电流公式可写为式中，,和分别为n型和p型半导体电导率，为本征半导体电导率。提示：电流密度，分别将爱因斯坦关系式、（）以与电导率公式代入，并整理即可证明。13.已知电荷分布为：（1）；（2）；（3）（x在0d之间），分别求电场强度与电位V（x）,并作图。提示：利用泊松方程求解。14.试画出并分析np异质结和nn异质结的能带图。略。25 / 25