重庆初中数学知识要点

-初中数学知识要点一、根本知识、数与代数、数与式：1、有理数顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。2、实数数：实数分有理数和无理数。在实数围，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数围的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。3、代数式数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：所含字母一样，并且一样字母的指数也一样的项，叫做同类项。把同类项合并成一项就叫做合并同类项。在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。4、整式与分式式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。幂的运算：，方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。分式的运算：分式方程：B、方程与不等式1、方程与方程组一元一次方程的步骤：二元一次方程：二元一次方程组：解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。1一元二次方程的二次函数的关系二次方程的解法函数有顶点-b/2a,4ac-b2/4a(1配方法：(2)分解因式法：提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。(3)公式法：这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根*1=-b+b2-4ac)/2a，*2=-b-b2-4ac)/2a3解一元二次方程的步骤：4韦达定理=-b/a，二根之积=c/a，也可以表示为*1+*2=-b/a,*1.*2=c/a。一元一次方程根的情况=b2-4ac，这里可以分为3种情况：I当>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II当=0时，一元二次方程有2个一样的实数根；III当<0时，一元二次方程没有实数根 2、不等式与不等式组式的解集：一元一次不等式组：3、函数：因变量，自变量。一次函数：Y=K*+BB为常数，K不等于0当B=0时，称Y是*的正比例函数。在一次函数中，当K0，BO，则经234象限；空间与图形、形的认识点，线，面点，线，面：图形是由点，线，面构成的。面与面相交得线，线与线相交得点。点动成线，线动成面，面动成体。展开与折叠：在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状一样，侧面的形状都是长方体。N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。视图：主视图，左视图，俯视图。2、角平行：垂直平分线：垂直平分线定理：性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质判定：1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形3、相交线与平行线三角形图形的全等：全等图形的形状和大小都一样。两个能够重合的图形叫全等图形。全等三角形：全等三角形的对应边/角相等。条件：SSS、AAS、ASA、SAS、HL。勾股定理：5、四边形B、图形与变换：1、图形的轴对称轴对称图形：2、图形的平移和旋转平移：在平面，将一个图形沿着*个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。旋转：在平面，将一个图形绕一个定点沿*个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿一样方向转动了一样的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。3、图形的相似比：A/B=C/D，则AD=BC，反之亦然。A/B=C/D，则A土B/B=C土D/D。A/B=C/D=。=M/N，则A+C+M/B+D+N=A/B。黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比根号5-1/2。相似三角形：条件：AAA、SSS、SAS。图形的放大与缩小：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，则这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。C、图形的坐标平面直角坐标系：定义与命题：对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。对事情进展判断的句子叫做命题分真命题与假命题。每个命题是由条件和结论两局部组成。要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。公理：反之亦然；SAS、ASA、SSS，由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。统计与概率1、统计科学记数法：一个大于10的数可以表示成A*10N的形式，其中1小于等于A小于10，N是正整数。扇形统计图：用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同局部，扇形的大小反映局部占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。扇形统计图中，每局部占总体的百分比等于该局部所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示出每个工程的具体数目；折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；扇形统计图：能清楚地表示出各局部在总体中所占的百分比。近似数字和有效数字：测量的结果都是近似的。利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数准确到哪一位。对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到准确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。平均数：对于N个数*1，*2*N，我们把*1+*2+*N/N叫做这个N个数的算术平均数，记为*上边一横中位数与众数：N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。优劣：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。调查：为了一定的目的而对考察对象进展的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。从总体中抽取局部个体进展调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一局部个体叫做总体的一个样本。抽样调查只考察总体中的一小局部个体，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。频数与频率：每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。2、概率能性：们必然事件和不可能事件都是确定的。为不确定事件。一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。概率：人们通常用1或100%来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。游戏对双方公平是指双方获胜的可能性一样。必然事件发生的概率为1，记作P必然事件=1；不可能事件发生的概率为0，记作P不可能事件=0；如果A为不确定事件，则0PA1。二、根本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、错角相等，两直线平行11、同旁角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，错角相等14、两直线平行，同旁角互补15、定理 三角形两边的和大于第三边16、推论 三角形两边的差小于第三边17、三角形角和定理 三角形三个角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离一样的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等等角对等边35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°则它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于*条直线对称的两个图形是全等形43、定理 2 如果两个图形关于*直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于*直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形48、定理 四边形的角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形角和定理 n边形的角的和等于n-2×180°51、推论 任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=a×b÷2 67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过*一点，并且被这一点平分，则这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=a+b÷2 S=L×h 83、(1)比例的根本性质：如果a:b=c:d,则ad=bc 如果 ad=bc ,则a:b=c:d 84、(2)合比性质：如果ab=cd,则(a±b)b=(c±d)d 85、(3)等比性质：如果ab=cd=mn(b+d+n0),则(a+c+m)(b+d+n)=ab 86、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例88、定理 如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边 89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似ASA92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似SAS94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似SSS95、定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106、和线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107、到角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111、推论1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115、推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等则它们所对应的其余各组量都相等116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118、推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形 120、定理 圆的接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的对角121、直线L和O相交 dr直线L和O相切 d=r直线L和O相离 dr 122、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127、圆的外切四边形的两组对边的和相等128、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等130、相交弦定理 圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131、推论 如果弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133、推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等134、如果两个圆相切，则切点一定在连心线上135、两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rdR+r(Rr)两圆切 d=R-r(Rr) 两圆含 dR-r(Rr) 136、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137、定理 把圆分成n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的接正n边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆，这两个圆是同心圆139、正n边形的每个角都等于n-2×180°n 140、定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141、正n边形的面积Sn=pnrn2 p表示正n边形的周长142、正三角形面积3a4 143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°n=360°化为n-2(k-2)=4 144、弧长计算公式：L=n兀R180 145、扇形面积公式：S扇形=n兀R2360=LR2 146、公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)三、常用数学公式公式分类 公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)一元二次方程的解 根与系数的关系 *1+*2=-b/a *1*2=c/a 判别式b2-4ac=0 b2-4ac>0 b2-4ac<0 四、根本方法1、配方法2、因式分解法3、换元法4、判别式法与韦达定理元二次方程a*2+b*+c=0a、b、c属于R，a0根的判别，=b2-4ac，5、待定系数法、构造法运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法8、面积法归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把和未知各量用面积公式联系起来，通过运算到达求证的结果。9、几何变换法数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。几何变换包括：1平移；2旋转；3对称。10、客观性题的解题方法选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的根底知识和根本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考察目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考察学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。 1直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进展推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。2验证法：由题设找出适宜的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法也称代入法。当遇到定量命题时，常用此法。3特殊元素法：用适宜的特殊元素如数或图形代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。4排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。5图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。6分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。以2021中考试卷为例：1以下各数中，最小的数是                           A1      B0       C1       D2方程4*13的解是                              A*1   B*1    C*2  D*23由4个一样的小立方块搭成的几何体如下列图，它的左视图是  主视方向第3题图                                         A    B     C     D 4假设分式的值为零，则*的值是                   A0        B1       C1     D25抛物线的对称轴是                    A直线*1 B直线*3            C直线*1 D直线*36反比例函数yk/*的图象经过点3，2，则k的值是 A6  B6   C2/3  D2/37如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，CD2，AC3，则sinB的值是 A 2/3  B3/2  C 3/4 D4/38O1和O2外切，它们的半径分别为2cm和5cm，则的长是   A2cm      B3cm     C5cm     D7cm(此题12分)直线与*轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限作等腰RtABC，BAC=90°，且点P(1，a)为坐标系中的一个动点(1)求三角形ABC的面积  (2)证明不管a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；  (3)要使得ABC和ABP的面积相等，数a的值此题作为后面的大题，有的同学由于心理原因看也不看就认为自己应该不会做而放弃了。其实不然，只要你认真审题，就会发现：直线的函数解析式，是很容易求出与Y轴的交点B坐标为(O，1)；与*轴的交点A坐标为由勾股定理可得AB=2，再加之RtABC是等腰三角形，所以AB=AC=2很容易就可以求出SABC=22跳步解答：即当题目有两问，假设两问是独立的，第一问又做不出来，可"跳步解答第二问；假设两问有关系，可把第一问作条件，用于第二步的推理，可写成由1知：-。如：如图，在O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连结AC  (1)求证：MAC是等腰三角形  (2)假设AC为O直径，求证：AC的平方=2AM·AB假设第1步证不出来，而第2是会做的，就可以采用跳步解答 (2)连结OM，    C为O直径，   ABC=Rt   由1知MAC是等腰三角形，    OA=OC，MOAC AOM=ABC=RtMAO=CAB，AOMABCAO/AB=AM/AC AO·AC=AM·AB，AC的平方=2AM·AB. z.