高等数学下册试题题库及参考答案

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1、高 等 数 学 下 册 试 题 库一、选择题(每题 4分，共20分)已知是空间两点，向量的模是：(A )1 .A(1,0,2), B(1,2,1)ABA )5厂B)3C) 6D) 9解 ABXI-I , 2-0, 1-2=0 , 2, -1,| AB |=/。222-P1)2 - 5 .2 .设2=1, - 1,3, b=2, - 1,2，求 c=3a- 2b 是：(B )A ) - 1,1,5.B) - 1,- 1,5. C) 1, - 1,5. D ) - 1,- 1,6.布军(1) c=3a- 2b =31, - 1,3 - 22, - 1,2=3 - 4,- 3+2,9- 4= - 1

2、,- 1,5.3 .设2=1, - 1,3, b=2, 1, - 2)求用标准基 i, j, k 表示向量 c=a-b ; ( A )A ) - i-2 j+5k B) - i- j+3k C) - i- j+5kD) -2 i- j+5k解 c=-1, - 2,5=- i-2j +5k .4 .求两平面x +2 y)-3 =0和的夹角是：(C)2x y z 5 -0A ) -B) -C) -D)死243解由公式(6-21 )有m n Jn1_ _ n2 I ,11221看)1， 一，Jc o S 一 i . ； I 11 I J + + _7# +n1 n2 1222( 1)2 22 121

3、2 2)1殡总,varccos 所以，所求夹角2 3A) 2x+3y=5=0C) x+y+1=0解因为平面平行于5.求平行于z轴)且过点M 1 (1,0,1)和M 2 (2, 1,1)的平面方程.是：(D )B） x-y+1=0D）x - y 1= 0轴，所以可设这平面的方程为z因为平面过M 1、 两点，所以有 M 2便获得所求的平面解得AD,B -D ,以此代入所设方程并约去 D （D黄0）,方程6,微分方程xyy x *y I y 4 y F的阶数是（D ）。A3B4 C5 D . 27 .微分方程y，一x2 y#_x5 =1的通解中应含的独立常数的个数为 (A )A3B5 C4 D .

4、28 .以下函数中，哪个是微分方程dy -2xdx 6的解（B ）。A. y =2x B . y x=C . y = -2 x D . yx =-29 .微分方程y =3y 3的一个特解是（B）。A. y & 3 +1 B . y x （2+3 ） C , y 天（C 2 ） D . y C1 x 普）10 .函数y cosx是以下哪个微分方程的解（C）。A. y Jy -0 B .寸 2 y = 0 C , yn + y = 0 D , y y Cos x11 . y =Ciex+C 2e 是方程y -y = 0的（A）,此中Ci , C 2为随意常数。A.通解B .特解C .是方程全部的解

5、 D .上述都不对12 . y =y知足y |x具三2的特解是（B）。xA. y &x +1 B . y 2exC . y 2 e 2 D . y 3ex ,13 .微分方程y *+y=sin x的一个特解拥有形式（C ）。A. y =a sin xB. y 二 a cos xC. y =x 6 sin x + b cos x D . y = a cosx 一 b sin x14 .以下微分方程中，(A )是二阶常系数齐次线性微分方程。A. y 2 y 尸B. y - xy +3 y 2=0C. 5y* 4x 0=D.y 2 y 1 0 +15 .微分方程y y =0知是初始条件y 1尢1的特

6、解为(A)。A. ex B . ex -1 C , ex +1 D . 2 e16 .在以下函数中，能够是微分方程y ”+yq 的解的函数是(C )xA. y 1 B . y x C . y sin x D . y e17 .过点1,3 ）且切线余率为2x的曲线方程y:y（x ）应知足的关系是（C ）。A. y 2x B . y = 2x C , y 2x , y 1（ ）=3 D , y *= 2x , （ y 1 318 .以下微分方程中，可分别变量的是（B ）。A.?&=e B . dy = k x _a Yb _ y （ k , a , b 是常数） dx xdxC._sin y =x

7、 D . y /+xy = y 2 .ex dx19 .方程y =2 y = 0的通解是（。A. y -sin x B . y =4 e2 x C . y = C e2 x D . y = ex20.微分方程dx一 *dy = 0知是y |x J = 4的特解是（A ）x2y xA, x2 +y 2 =25 B , 3x 4 y C = C . x221 .微分方程 _.y =0的通解是y （=B ）。dx xA. 一 B . Cx C ._ +C D . x Cxx22 .微分方程y + y =0的解为（B）。A. ex B . ek C , ex +e 天 D .ex23.以下函数中，为微

8、分方程xdx + ydy=0的通解是（B ）A. x（ C B . x2 + y 2 = CC . Cx y= 0 D . Cx 2 4 y = 024 .微分方程2 ydy -dx =0的通解为（A）。A. y2 x C B . yx 一C C . y x C11fc.A. sin x cos y -CC. cos x sin y _C25 .微分方程cos ydy =sin xdx的通解是（D ）B . cos y - sin x = CD . cos x , sin y = C削= _26 . y =e x的通解为y =（ C ）A. e x B .e-x C .e-x+Cix + C

9、2 D , -e *+Ci x+c 227 .依据微分方程通解定义,y二sin x的通解是(A )A. =sin x +C1 x *C 2 B , -sin x +C1 C C 2C. sin x +C1 x + C 2 D , sin x +C1 +C 2一、单项选择题2 .设函数f x，y车点x。, yo效连续是函数在该点可偏导的(D )(A)充足而不用要条件；(B)必需而不充足条件；(C)必需并且充足条件；(D)既不用要也不充足条件3 .函数f x, y在点x。, yo处偏与数存在是函数在该点可微分的(B ).(A)充足而不用要条件；(B)必需而不充足条件；(C)必需并且充足条件；(D)

10、既不用要也不充足条件4 .对于二元函数z =f(x, y),以下结论正确的选项是(). CA.若 lim f ( x, y) = A ,则必有 lim f (x, y) -A 且有 lim f ( x, y) =A ;x x0B.若在(x0 , y0 )处z和三都存在,则在点(x0 , y0 )处& c x yz = f ( x, y)可微;C.若在(x0 , y0 )处名和 存在且连续，则在点(x0 , y0 x yz f (x, y)可微；D.2 z2 cx2 z 贝U.2 z-12 .6.向量a 3,1, 一2 , b 一(B)(D) 2(A)(C)5.已知三点M (1 (C )A (2

11、,1,1) , B (2,1,2)T 7,则 MA AB =(B)(D)(A) -1(C) 06.已知三点M_( 0(A) 一 2;1) , B (2, 1(B)2 2;T3),则 | MA AB | = ( B )(D)-2;3ln x8设 I 工 f dx f ( x, y)dy ,i0ln3eyA. i dy L f ( x, y)dxC. j dy i f( x, y)dx00改变积分序次,则I =. Bln33f |B. 0 dy e y f ( x, y)dx3 ln xD.dy f ( x, y)dxi 02 d &；广f (Pcos e, Psin日)卬P能够写成00A.C.2

12、1y _yI dy 广 f ( x, y)dx B. 0 0i idx f (x, y) dy D. UIT00f ( x, y)dxdx f (x, y) dy irlir0010是由曲面x2y2 -2z及z = 2所围成的空间地区，在柱面坐标系下将三(C)2 ;7 .设D为园域x.2_.p2f( F cos f JP sin 后，z) Pdz + y2 4 2ax ( a 0),化积分。F (x, y)d。为二次积分的正确方法D是. D22 a a2a2 a xA. dx f ( x, y)dy B. 2 dx 一 f (x, y) dy 0-a00a2acos-c. id srj9f(

13、p cos , psin 6) Pd P0-a* 2a cos D.漫 81 f ( P cos, sin 旧)d p2重积分二JJJ f ( x, y, z) dxdydz 表示为三次积分，I三Q2标d erJ0-2 dPJ.7 0f ( Pcos :,二 sin , z ) dz2B.dP | 2 f ( cos 9, s sin 6 , z ) P dz002就J0 ddpr f ( Pcossin，z)二 dz设L为x0 y面内直线段，其方程为 L : x=a, c - y马， 则 Jp x, y dx -L)(A a(C) 0(B) c(D) d12 .设L为x0 y而内直线段，其方

14、程为L : y = a, c x d ,则(p(x, y qyL(C )(A) a(B)(C) 0(D)13 .设有级数 工Un，则lim u n =0是级数收敛的 n1n(D )(A) 充足条件；(B)充足必需条件;(C)既不充足也不用要条件；(D) 必需条件；5014 .曷级数工nxn的收径半径R =n-1(D )(A) 3(B) 0(C) 2(D) 115 .曷级数 1 xn的收敛半径R二 n-1 n(A )(A) 1(B) 0(C) 2(D) 3oC16 .若曷级数工an xn的收敛半径为 n -0(A )(A)R(B)(C) R(D)R ,则 an xn奥的收敛半径为n 0R2没法求

15、得17 .若 Jim un=0, 则级数 e nu () D n 1A. 收敛且和为B.收敛但和不必定为C.发散D.可能收敛也可能发散18 .若Un为正项级数,则() n F8R若工Un收敛,则工Un2收敛Bn 寸n “1c2C. 右乙Unn 1 二则2 Un也收敛D.n1若2 Un发散,则ljm.Un*0n讦n则该级数在点x =_1处（D.敛散性不定19 .设曷级数cn x n在点x= 3处收敛 n JA.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散。媪sin nx20 .级数乏s （x = 0）,则该级数（ ）Bn工n!A.是发散级数C.是条件收敛级数:、填空题（每题B.D.4分,是绝对收敛级数 可能

16、收敛也可能发散共20分）1. ab = (公式)答案 I a I I b I cos( a，b)2. a=(ax, ay, az), b=(bx, by, zbz)贝Ua - b = (计算)答案 axbx +a yby+a zbz3. a b :g,-ijk答案axa yazbxbybz4. abc -ay azby bzCy Czax答案bxCx;5. 平面的点法式方程是答案 A( x -x 0 ) B( y y-Q ) C( z z o ) 0 一1 + )、一 一226. 设z arcsip x2 产产 ,其定义域为 y xsin x2 yi= (fx 0,1心# xy 0 _7. 设

17、 f x, y + xy，则 f x 0,10 xy - 08. f，x, y看点x, y处匕微分是f x x, y在该点连续的的条件,f -x, y k点4x, y）处连续是f x, y a该点可微分的的条件.（充足，必需 ）， zZ 二9 . z =f x，y,点(X, y7偏导数 工及 J存在是(f X)y在该点可微分的条件.(必需)工x x板二y10 .在横线上填上方程的名称y 一3)ln xdx _xdy =0方程的名称是 答案可分别变量微分方程；xy 2 +x dx +y 一 x a,b同向时有a十b = a十b; y区y=0方程的名称是 答案可分别变量微分方程；x dy二y ln

18、 y_方程的名称是 dxx答案齐次方程；xy *三y +x 2 sin x方程的名称是 答案一阶线性微分方程；y+y=2 y =0方程的名称是答案阶常系数齐次线性微分方程a,b应知足什么条件?(3)(4)a - b ,且a,b反向时有 a ba,b反向时有ab；11 .在空间直角坐标系 O; i , j ,k 下，求P(2, - 3,- 1) , M(a, b, c)对于(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标解:M (a, b, c)对于xOy平面的对称点坐标为(a, b, c),M (a, b, c)对于yOz平面的对称点坐标为(一a, b, c),M (a, b,

19、c)对于xOz平面的对称点坐标为(a, b, c),M (a,b, c)对于x轴平面的对称点坐标为(a, b, - c),M (a,b, c)对于y轴的对称点的坐标为(a, b, - c),M (a,b, c)对于z轴的对称点的坐标为(a, - b, c).近似考虑P (2, - 3, 1)即可.12 .要使以下各式建立，矢量(1) a +b 卜 |a -b J;(3) a db |词卜(5) a b | =|a I 七| |解：(1) a,b所在的直线垂直时有a *b二a 一b ；T,” fMu h* MF(5)a,b同向，且PIm时有a_bI13.以下情况中的矢量终点各组成什么图形？(1)

20、把空间中全部单位矢量归纳到共同的始点；(2)把平行于某一平面的全部单位矢量归纳到共同的始点;(3)把平行于某向来线的全部矢量归纳到共同的始点；(4)把平行于某向来线的全部单位矢量归纳到共同的始点解：(1)单位球面;(3)直线；(2)单位圆(4)相距为2的两点、填空题1 .设 f ( x, y) =sin x +( y - 1)ln( x- x y y ,则 fx(2,1) +y2 ),则 f x(0,1) =.2 .设 f(x, y )=cos x +(y =1 )n2 + y2 ),贝 U f x (0,1) =03 .二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是4 .三重积分的变量从直角坐

21、标变换为柱面坐标的公式是5 .柱面坐标下的体积元素_dv = Pd pd电z6 .设积分地区D: x2 +y2生a2 ,且JJdxdy =9冗,则a =3D7.设D由曲线P 三, 3 P一asin ,=a所围成,则Jfdxdy =D3版a248 .设积分地区D为1 x2/y2 4,02dxdy = 6D9 .设 f (x, y 和0 , 1上连续，假如 / 1 f x.xxx =3 ,011贝U f dx f f 仅 f) (y dy =9.00一10 .设L为连结(1, 0) 与(0, 1)两点的直线段，则 J(x + y)ds =。.L11 .设L为连结(1, 0)与(0, 1)两点的直线

22、段，贝 U x Jy d s- ) =. 0L=2 aqn收敛.下112 ,等比级数E aqn ( a *0)当吊1时，等比级数n 1-1113 .当P、_时，P -级数 En pJ .fflQ14 .当 时，级数(-1广A是绝对收敛的.15 .若(，)f x y3y216 .若 x, y) = xy 3+( xT)arccos y2 ,则 fy (1, y)=2x17 .设 u =z x y ,贝(du 二.18 .设 z = yln x,则qZ y .一 2X219 .积分2 dx 12 e2 dy的值等于 0 xZx y y In xdx . x In zdy xy dz4izIn y(

23、ln y - 1) yln xx21 4一(LI ),220 .设 D 为园域 x2 + y2 Wa2,若0( x y2 1dxdy =8需 贝U a = . 2D21.设 I 二f*2dxdydz,止匕中1c ： x% ny2Z2 _ a 2, Z. 0 ,、是非题 （每题4分，共20分)1 .初等函数的定义域是其自然定义域的真子集.（X ）2 . lim-sin-x 二1八)x3. limx -；x-2 2/三一.(Xx334.对于随意实数x，恒有sin x 1 /X . （ x ）41 .左右导数到处存在的函数 ，必定到处可导.（x ）以下题（1. X; 2. X; 3. V; 4. X

24、; 5, V）1 .随意微分方程都有通解。（X ）2 ,微分方程的通解中包括了它全部的解。（X ）3 .函数y二3sin x 4 cos x是微分方程y + y = 0的解。（，）4 .函数y =x 2 , ex是微分方程y2y+ y 0的解。（X ）125 .微分方程xy *_ln x 0邱通解是y-（ln x 十C （ C为随意吊数）。（，）2 以下是非题（1.x； 2. V; 3. V; 4.X； 5.x）1 .可分别变量微分方程不都是全微分方程。（）2 .若y1：x）： y2 （x都是y + P x y =Q9的特解，且y1 （x与y2 线性没关，则 通解可表为 y ）=y1（x_C

25、yjby2（x）L （）3 .函数y e 1x e 2 x是微分方程y 1 2 y 1 2 y 0的解。（）4 .曲线在点&, y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所知足的微分方程是y ：=x2 +C （C是随意常数）。（）5 .微分方程y r = e2 x寸，知足初始条件y |x卫=。的特解为e y=e2x+1。（）2 是非题（1 . X; 2. V;）1.只需给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。2,已知二阶线性齐次方程P x y）+y I y = 0的一个非零解y,即可四、计算证明题（每题 10分，共40分） ,01、判断积数收敛性三（T） n 24n彳 n!解:由比值法

26、，级数发散2 n（ 1）n2n -1n!22. ydx -xdy =xydy解：两边同除以x2 ,得:即 y 1y2 _cx 23 dy dx解:两边同除以获得ln y 2则dy udxBMy=dxdudxdudx1c 2即 x -、v c1 ln2y l|此外y =0也是方程的解。xy 1 ydx xdy = 0解：ydx xdy xydx = 0获得d x L-1x此外y=0也是方程的解。5 .求方程y 2y 2y r5 y 0= 的通解.解：所给方程的特点方程为所求通解为y = e x (C i cos 2x C 2 sin 2x) H窘用附M蹙嗓a您靠鼻叠冬事总需6 .求鸾解7 .求方

27、程y + 2y 3y =0的通解.解 所给方程的特点方程为r 2+2r - 3 = 0其根为ri 一一 3,2 = 1所以原方程的通解为y - Cie x C 2 ex8 .证明 lim x_y极限不存在x，yo, 0 x2y2x y 28）因为lim x=1, lim x-y= 0所以 极限不存在x2 22/xf2 2 + 1_2x y x y x yy 2 x x y x y9.证明lim迎一极限不存在-2,x, y0, 0 xy 49)设y2=kx , lim xy2= k 不等于定值，极限不存在 y 02 x2y4k21x ky10 .计算d Q此中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭

28、地区 D解画出地区D 可把D当作是X型地区1x2 1yx 于是注积分还能够写成xxdx ydy2x2xyd、- dx xydy 千1- 11D11 dy =2xy,并知足初始条件：x=0,y=1的特解解：包=2xdx两边积分有：ln|y|=x 2 +cyy=e x2 +ec =cex 2 此夕卜 y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1 时c=1 特解为y= e x2x 一 1y= 1ln | c(x 1)|12 . y 2 dx+(x+1)dy=0并求知足初始条件：x=0,y=1的特解解：y 2 dx=-(x+1)dy_ dy=- l dxy

29、2两边积分：-1 =-ln|x+1|+ln|c|此外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1 时 c=ey特解：y=1ln | c( x 1) |13 . (x 2 y) dx ( x =2y) dy - 0解：M=1)N=1.-yx则_N y x所以此方程是适合方程 凑微分,x 2 dx - 2 ydy ( ydx xdy) - 0得：x3+xy _y2 =C314 .(厂 3x 2 )dx - (4 y *x)dy = 0解： Ma_ =1 ，生= 1 .yx则丑一M .：y x所以此方程为适合方程。凑微分,ydx xdy - 3x2 dx - 4 ydy - 0得 X3 - xy 2

30、 y 2 - C15 .求 lim Jxy * 1(x, y) (0, 0) xy解 limVXyl -1 _ lim(历不 T)(/Xy1打J pit*(x,y) (0, 0)xy (x, y) (0, 0) xy(, xy 1 1)16 .求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数解 _z= 2x 例z /x 2 y Cz x 1 =21328 .=8c-c =xyx y -2一 lim 1 _ 1(x, y) (0，0) xy 1 1 2z x=黠 31227c _y y-217.设 zx3y23xy3xy1 求_23、旦、)2 z 和 * z cx243卷y q七;,_z 工2 2 _

31、3 _jfkVx 3x y 3y y一二 2x3 y _9xy2 _ x,：y18.考证函数z工证因为z lnIn #2 +y2知足方程逐z+&z = 022x y jF2=1 ln( x2y2)所以c c222z2z x yx2y2 -(x2 y2 )2所以19 .计算函数zx2y y2的全微分解因为.*=2xy1芯二x2疥2y xy所以 dz2xydx(x 22y)dy20 .函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值当(x y)(0 0)时z0而当(x y)(0 0)时z0所以z0是函数的极小值21 .函数z =7x2 y2在点(0 0)处有极大值当(x y)(0 0)时z0而当(x y

32、)(0 0)时z0所以z0是函数的极大值22 .已知三角形ABC的极点分别是A (123)、B (345)、C (247)求三角形ABC的面积 解 依据向量积的定义可知三角形 ABC的面积因为 AB (222) AC (124)所以T T i j kAB 纵C 2= 2 2 4i6j2k1 2 4于是SdBC J 141-6 j + 2kQ742-( 6)a 22、742223.设有点A(1 2 3)和B(2 1 4)求线段AB的垂直均分面的方程解 由题意知道 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹所设M(x y z)为求平面上的任一点则有|AM|BM|即(x 1)2 ( y 2)2 .(

33、z 3)2 _ ( x 2)2 (y 1)2 ( z 4) 2V- tF等式两边平方而后化简得2x6y2z70这就是所求平面上的点的坐标所知足的方程而不在此平面上的点的坐标都不知足这个方程 所以这个方程就是所求平面的方程24 .求过点(2 3 0)且以n(1 2 3)为法线向量的平面的方程解依据平面的点法式方程得所求平面的方程为(x2)2(y3)3z0即 x2y3z8025 .求经过x轴和点(4 3 1)的平面的方程解 平面经过x轴一方面表示它的法线向量垂直于 x轴 即A0另一方面表示它必经过原点 即D0所以可设这平面的方程为ByCz0又因为这平面经过点(4 3 1)所以有3BC0或C3B将其

34、代入所设方程并除以B (B0)便得所求的平面方程为y3z0求直线14寸m和L2 X -4jz的夹角26 .L : 141：2 2 1解 两直线的方向向量分别为S1 (1 4 1)和S2 (2 2 1)设两直线的夹角为则所以-4例1求哥级数的收敛半径与收敛域an 1 解 因为 Pm | 4 lim -n- =1 nan n 1n所以收敛半径为R 1一 1当x1时哥级数成为61)而，是收敛的n 1 na 1当x1时 哥级数成为 (-)是发放的 所以 收敛域为(1,1n 1 n例2求哥级数y 1xnn n!的收敛域1_an 1(n-因为im | _ lim 1)! . lim n!#8 an n 1

35、n(n3 + 1)n!所以收敛半径为R进而收敛域为(,)S n l, 例3求哥级数工n!x的收敛半径n 解因为所以收敛半径为R0即级数仅在 x0处收敛例5计算 f 2xydx噜x2例6考证 在整个xOy面内xy dxx ydy是某个函数的全微分并求出一个这样的函数22解 这里Pxy Qx y因为P、Q在整个xOy面内拥有一阶连续偏导数且有所以在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分取积分路线为从 O(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折线则所求函数为dy此中L为抛物线yx2上从0(0 0)到b(i 1)的一段弧 LQ解因为 卬-2_ _2x在整个xOy面内都建立 c cy x所以在整个xOy面内 积分2xydx x 2 dy与路径没关L议论 设L为一条无要点、分段圆滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问x xdyydx =0能否必定建立? +L x2 y2提示这里x2 Q x2 2在点(。 0)不连续22因为当x y 0时_Qy2 - x2_p；(x2y2 )2:所以假如(0 0)不在L所围成的地区内则结论建立而当(0 0)在L所围成的地区内时结论未必建立8A.若limn =0,则三un收敛 B.n n 17. log 2 3 log 3 2 =1.(，