平面向量习题及答案共12页

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1、平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】典例精析题型一 向量的有关概念【例 1】 下列命题： 向量 ab 的长度与 ba 的长度相等；向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； 向量 ab 与向量cd 是共线向量，则 a、b、c、d 必在同一直线上 .其中真命题的序号是 .【解析】对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；显然错； ab 与 cd 是共线向量，则 a、b、c、d 可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故错 .故是真命题的只有.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否

2、定某个命题只要举出一个反例即可 .【变式训练 1】下列各式：|a|a?a ；(a?b) ?c a? (b?c) ； oaob ba ；在任意四边形 abcd 中，m 为 ad 的中点， n 为 bc 的中点，则 ab2；其中正确的个数为 ( ) a.1 b.2 c.3 d.4【解析】选 d.| a| a?a 正确；(a?b) ?c a? (b?c)； oa ob ba正确；如下图所示，mn=+ 且 mn=+ ，两式相加可得 2mn abdc ，即命题正确；因为 a，b 不共线，且 |a|b| 1，所以 ab，ab 为菱形的两条对角线，即得(ab)(ab).所以命题正确 .题型二 与向量线性运算

3、有关的问题【例 2】如图， abcd 是平行四边形， ac 、bd 交于点 o，点 m 在线段do上，且=，点 n 在线段 oc 上,且=,设=a, =b, 试用 a、b 表示， 1313 .【解析】在 ?abcd 中，ac ，bd 交于点 o， 111 所以 ()ab)， 22222()2(a b).11 又， ， 331 所以 adb 31115 b(a b)a， 3266111 3 4412 (ab)a b). 3323所以 21511 (ab) )a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向

4、量解决问题时，经常需要进行这样的变形 .所以? ( )?00，故填 0.题型三 向量共线问题【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线 .(1)若ab， 2a8b， 3(a b)，求证： a，b，d 三点共线；(2)试确定实数 k，使 ka b 和 akb 共线. 1【解析】 (1)证明：因为 ab， 2a8b， 3(ab)， 所以 bdbc cd 2a8b3(ab)5(a b) 5ab ， 所以 ab， bd 共线.又因为它们有公共点 b，所以 a，b，d 三点共线 .(2)因为 ka b 和 akb 共线，因为 a 与 b 是不共线的两个非零向量，【点拨】 (1)向量共线的充要条件中，

5、要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想 .(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练 3】已知 o 是正三角形 bac 内部一点， +2+3=0 ，则oac 的面积与 oab 的面积之比是（ 3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ） 【解析】如图，在三角形 abc 中， oa 2ob 3oc 0，整理可得oaoc 2(ob oc) 0. 1 令三角形 abc 中 ac 边的中点为 e，bc 边的中点为 f，则点 o 在点f 与点 e 连线

6、的处，即 oe2of. 32 由于 ab2ef ，oe ，所以 ab3oe ， 3 1soacoe?h2 .故选 b. 3s oabab?h4总结提高 1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合 )的情形，而向量平行则包括共线 (即重合 )的情形 . 2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来 . 3.当向量 a 与 b 共线同向时， |ab| |a|b| ；当向量 a 与 b 共线反向时， |ab| |a| |b| ；当向量 a 与 b 不共线时， |ab| |a|b|.典例精析题型一 平面向量基本定理

7、的应用【例 1】如图 ?abcd 中,m,n 分别是 dc ，bc 中点.已知 am=a,=b, 试用 a，b 表示， ad 与 ac【解析】易知 am ad dm 1 ， 21an abbn ab2ad ， 1?a,?2 即? ?1?b.?2?22 所以 ba)， 2ab). 332 所以 ab). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示 .此处方程思想的运用值得仔细领悟 .【变式训练 1】已知 d 为abc 的边 bc 上的中点， abc 所在平面内有一点 p，满足 0 等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于 d 为 bc 边上的中

8、点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知 pb pc 2pd ，因此结合 pabp cp 0 即得pa2pd ，因此易得 p，a，d 三点共线且 d 是 pa1，即选 c.题型二 向量的坐标运算【例 2】 已知 a(1，1)，b(x，1)，ua2b，v2ab.(1)若 u3v ，求 x；(2)若 uv，求 x.【解析】因为 a(1，1)，b(x ，1)，所以 u(1，1)2(x ，1)(1，1)(2x ，2)(2x1，3)， v2(1 ，1)(x ，1)(2x，1). (1)u 3v?(2x 1，3)3(2x，1)?(2x 1，3)(63x ，3)， 所以 2x163x ，解得 x1. ?2x

9、?1?(2?x),? 3?(2x 1)3(2x) 0?x 1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视 .|a141 b|2 的最大值为 .值为 284.题型三 平行(共线)向量的坐标运算【例 3】已知 abc 的角 a，b，c 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m (a，b)，n(sin b ，sin a) ，p(b2，a2).(1)若 mn，求证： abc 为等腰三角形；【解析】 (1)证明：因为 mn，所以 asin a bsin b.由正弦定理，得 a2b2，即 ab.所以 abc 为等腰三角形 .a(b 2)b(a2)0，所以 abab.

10、由余弦定理，得 4a2b2 ab (ab)23ab ，所以(ab)2 3ab 40.所以 ab4 或 ab1(舍去).113 所以 sabc absin c3. 222【点拨】设 m(x1 ，y1)，n(x2 ，y2) ，则mn?x1y2 x2y1 ；mn?x1x2 y1y2 0.【变式训练 3】已知 a，b，c 分别为 abc 的三个内角 a，b，c 的对边，向量 m(2cosc 1，2)，n(cos c，cos c1).若 mn，且 ab10，则 abc 周长的最小值为 ( )a.10 3c.10 23b.10 53 d.10 231【解析】由 m n 得 2cos2c 3cos c 20

11、，解得 cos c cos c 2(舍去)，所以 c2 a2b22abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题： 1。已知 abcd 为矩形， e 是 dc 的中点，且 ab=a ，adb，则 be （ ） （a） b+a （b） ba （c） ab （d） ab2222? ?2已知 b 是线段 ac 的中点，则下列各式正确的是（ ）（a） abbc （b） ac bc （c） ba bc （d） bc ac 2 2 ? ?3已知 abcdef 是正六边形，且 ab a，aeb，则 bc （ ） （a） ? 2(a?b) （b） (b?a) （c） ab （d） (a?b) 2

12、2 2 ?4设 a，b 为不共线向量， ab a+2b,bc 4ab,cd 5a3b, 则下列关系式中正确的是（ ）（a）adbc （b）ad2bc （c）ad bc ? ? ?（d）ad2bc ? 5将图形 f 按 a（h,k ）（其中 h0,k0 ）平移，就是将图形 f（ ）（a） 向 x 轴正方向平移 h 个单位，同时向 y 轴正方向平移 k 个单 位。 （b） 向 x 轴负方向平移 h 个单位，同时向 y 轴正方向平移 k 个单位。 （c） 向 x 轴负方向平移 h 个单位，同时向 y 轴负方向平移 k个单位。 （d） 向 x 轴正方向平移 h 个单位，同时向 y 轴负方向平移 k 个

13、单位。 6已知 a（,1)，b(?12 2 ? ? 3,2)，下列各式正确的是（ ） ? ? ? 7设 e1 与 e2 是不共线的非零向量，且 ke1 e2 与 e1ke2 共线，则 k 的值是（ ） （a） 1 （b） 1 （c） ?1（d） 任意不为零的实数 9已知 m （2，7）、n（10，2），点 p 是线段 mn 上的点，且 pn 2pm ，则 p 点的坐标为（ ）（a） （14，16）（b） （22，11）（c） （6，1） （d） （2，4）? ? ? ? ? 10已知 a（1，2），b（ 2，3），且 ka+b 与 akb 垂直，则 k（） （a） ?1?2 （b） 2?1 （

14、c） 2?3 （d） 3?2?11把函数 y?sin(x?3)?2 的图象经过按 a 平移得到 y?sinx 的图象，则 a（） （a） ? （b） ?3,2? （c） ?3,?2? （d） ?3,?2? 3,212abc 的两边长分别为 2、3，其夹角的余弦为 1 ，则其外接圆 的半径为（） （a）92（b） 94（c） 98（d） 29二、填空题：13已知 m、n 是abc 的边 bc 、ca 上的点，且 bm ? ?3 ?bc,cn ?3?ca, 设 ab ?a，ac b，则 mn ?14abc 中，sinb?sinacosc, 其中 a、b、c 是abc 的三内角，则abc 是三角形。

15、三、解答题：15abcd 是梯形， abcd ，且 ab=2cd,m 、n 分别是 dc 和 ab 的 中点，已知 ab?a，adb,试用 a、b 表示 mn 。16设两非零向量 a 和 b 不共线，如果 abab，cd 3（ab），? ? ?bc?2a?8b ，求证： a、b、d 三点共线。 ?18在 abc 中，已知 abc, 且 a=2c,a 、b、c 所对的边分别为a、b、c，又 a、b、c 成等差数列，且 b4，求 a、c 的长。平面向量测试题答案bddba acbda ac 1315.3 ?b?a ；14. 直角 34? a?b?;18.+ a?5,c?5 19.由 2cotb?c

16、ota?cotc得b2 =ac 2cosbcosa ?sinbsina coscsin(a?c)sin2ba2?c2?b2?2cosb?sincsinasincsinasincac ?a2?c2?2b2【篇三：平面向量练习题集答案】一. 向量的基本概念与基本运算1 向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量的大小即向量的模（长度）的模可以比较大小?零向量：长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， 0 与任意向量平行，所以在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有 “非零向量 ”这个条件 单位向量：模为 1 个单位长度的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的

17、向量，称为平行向相等向量：长度相等且方向相同的向量 2 向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 ?设 ab?a,bc?b ，则 a+b=ab?bc=ac? （1）0?a?a?0?a ；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有 “三角形法则 ”与 “平行四边形法则 ”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（ 2） 三角形法则的特点是 “首尾相接 ”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共

18、时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ab?bc?cd? ?pq?qr?ar ，但这时必须 “首尾相连 ”3 向量的减法：? 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a?记作?a 关于相反向量有：?（i）?(?a)=a ； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0 ； ?(iii) 若 a、b 是互为相反向量，则 a=?b,b=?a,a+b=0?向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，记作： a?b?a?(?b)?作图法： a?b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a、b 有共同起点）

19、 4 实数与向量的积：?（） ?a?a ；? ?当?0时， ?a?0 ，方向是任意的 ?5 两个向量共线定理： ?向量 b 与非零向量 a 共线?有且只有一个实数 ?，使得 b=?a6 平面向量的基本定理：? 如果 e1,e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有?一对实数 ?1,?2 使： a?1e1?2e2 ，其中不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意 : （1）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（2）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况 二. 平

20、面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底 a 可表示成 a?xi?yj ，记作 a=(x,y)(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量2 平面向量的坐标运算： (1) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2? ，则a?b?x1?x2,y1?y2? (2) 若a?x1,y1?,b?x2,y2? ，则ab?x2?x1,y2?y1? (3) 若 a=(x,y) ，则?a=(?x, ?y) (4) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2? ，则a/b?x1y2?x2y1?0 (5) 若a?x1,y1?,b?x2,y

21、2? ，则a?b?x1?x2?y1?y2 若 a?b ，则x1?x2?y1?y2?0 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质三平面向量的数量积1 两个向量的数量积：a?br，称为向量 b 在 a 方向上的投影 |a|4 向量的模与平方的关系： a?a?a2?|a|5 乘法公式成立：?a?b?a?b?a?b?a?a?b?a?2a?b?b?a2 2 2 2 2 2?b ； ?2a?b?b 2 2 26 平面向量数量积的运算律：交换律成立： a?b?b?a ? 分配律成立： ?a?b?c?a?c?b?c?c?a?b? 特别注意：（ 1）结合律不成立： a

22、?b?c?a?b?c ；（2）消去律不成立 a?b?a?c 不能得到b?c? （3）a?b=0 不能得到 a=0 或 b=0 对实数的结合律成立： ?a?b?a?b?a?b?r?7 两个向量的数量积的坐标运算： 8 向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b，作 oa=a, ob=b, 则aob=? （00?1800 ）叫做向量 a 与 b 的夹角 cos?=cos?a,b? a?ba?b?典例精析题型一 向量的有关概念 【例 1】 下列命题：向量 ab 的长度与的长度相等；向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； 向量与向量 cd

23、 是共线向量，则 a、b、c、d 必在同一直线上 .其中真命题的序号是 .【解析】对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；显然错； ab 与 cd 是共线向量，则 a、b、c、d 可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故错 .故是真命题的只有.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可 .【变式训练 1】下列各式： |a|a?a ；(a?b) ?c a? (b?c) ； oaob ；b.2 c.3 d.4【解析】选 d.| a| a?a 正确；(a?b) ?c a? (b?c)； oa ob ba正确；如下图所示，mn=+ 且 mn=+ ，两式相加可得 2mn abdc ，即命题正确；因为 a，b 不共线，且 |a|b| 1，所以 ab，ab 为菱形的两条对角线， 即得(ab)(ab). 所以命题正确 .题型二 与向量线性运算有关的问题 【例 2】如图， abcd 是平行四边形， ac 、bd 交于点 o，点 m 在线段 do 上，且 =，点 n 在线段 oc 上,且=,设=a, =b, 试用 a、b 表 示，.【解析】在 ?abcd 中，ac，bd 交于点 o， 111所以 ()ab)， 222131322()2(a b). 11又， ， 33111