山东大学离散数学期末试题答案

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1、 数学建模作业 姓名： 王士彬 学院： 计算机科学与技术 班级： 2014级计科2班 学号： 2014001300701.在区域x-2,2,y-2,3内绘制函数z=exp(-x2-y2)曲面图及等值线图。解：曲面图如下： x=-2:0.5:2; y=-2:0.5:3; X,Y=meshgrid(x,y); Z=exp(-X.2-Y.2); mesh(X,Y,Z) 等值线图如下： x=-2:0.5:2; y=-2:0.5:3; X,Y=meshgrid(x,y); Z=exp(-X.2-Y.2); mesh(X,Y,Z) surf(X,Y,Z) surf(X,Y,Z) contour(X,Y,Z

2、) 2. 已知一组观测数据，如表1所示. (1)试用差值方法绘制出x-2,4.9区间内的光滑曲线，并比较各种差值算法的优劣. (2)试用最小二乘多项式拟合的方法拟合表中的数据，选择一个能较好拟合数据点的多项式的阶次，给出相应多项式的系数和偏差平方和. (3)若表中数据满足正态分布函数.试用最小二乘非线性拟合的方法求出分布参数值，并利用锁求参数值绘制拟合曲线，观察拟合效果. 解：(1)分别用最领近插值，分段线性插值（缺省值），分段三次样条插值，保形分段三次插值方法绘制在x-2,4.9的光滑曲线，图形如下： 样条插值效果最好，其次线性插值，最近点插值效果最差，在这里效果好像不太明显。最近点插值优点

3、就是速度快，线性插值速度稍微慢一点，但效果好不少。所以线性插值是个不错的折中方法。样条插值，它的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了这个目的，它们不得不利用到周围若干范围内的点，不过计算显然要比前两种大许多。MATLAB文件如下： x0=-2:0.3:4.9; y0=0.10289 0.11741 0.13158 0.14483 0.15656 0.16622 0.17332 0.17750 0.17853 .0.17635 0.17109 0.16302 0.15255 0.1402 0.12655 0.11219 0.09768 0.08353 .0.07015 0.05876 0.04

4、687 0.03729 0.02914 0.02236; cx=-2:0.3:4.9; y1=interp1(cx,y0,cx,nearest); y2=interp1(cx,y0,cx,linear); y3=interp1(cx,y0,cx,spline); y4=interp1(cx,y0,cx,cubic); subplot(2,2,1),plot(cx,y0,o,cx,y1,-r),title(Nearest Interpolant); subplot(2,2,2),plot(cx,y0,o,cx,y1,-k),title(Linear Interpolant); subplot(2

5、,2,3),plot(cx,y0,o,cx,y1,-b),title(Spline Interpolant); subplot(2,2,4),plot(cx,y0,o,cx,y1,-k),title(Cubic Interpolant); subplot(2,2,1),plot(cx,y0,o,cx,y1,-r),title(Nearest Interpolant);(2) ,从图形可以看出曲线函数遵从幂函数的形式，设幂函数形式为：可化为即把非线性函数转化为线性函数，原线性函数形式为由此我们可以得出p(x)等价于lny;x等价于lnx;，我们可以先求出。求一个线性多项式使之在最小二乘准则下拟合

6、这些观测值，问题即化为求使E()=利用多元函数极值原理可知，若目标函数E()的极小值存在，一定有，用MATLAB工具我们可以求得最后的结果。 log(x0); log(y0); x0=log(x0); y0=log(y0); n=length(x0); a=sum(x0); b=sum(y0); c=sum(x0.*y0); d=sum(x0.2); a0=(d*b-c*a)*(n*d-a2); a1=(n*c-a*b)/(n*d-a2); a0,a1a0 = -2.5891e+05 - 1.7515e+06ia1 = 0.1045 - 0.3558i即系数a0为 -2.5891e+05 -

7、1.7515e+06i，a1为0.1045 - 0.3558i其相应多项式的系数和偏差平方和.我们可以求出E= -7.2019e+13 + 2.1767e+13i其MATLAB文件如下： Y=a1*x0+a0; e=Y-y0; E=sum(e.2)E = -7.2019e+13 + 2.1767e+13i即其相应多项式的系数和偏差平方和.为 -7.2019e+13 + 2.1767e+13i(3)？3.将某物体放置在空气中，在t=0时刻测得其温度u0=150度，10min后测得温度u1=87度，假设空气的温度为24度。试建立数学模型给出物体的温度u与时间t的关系，并计算20min后物体的温度。

8、 解：为了解决上述问题，我们首先需要了解有关热力学的一些基本规律：比如：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度与这物体的温度和其所在介质的温度的差值成正比例。这是已为实验证明了的牛顿冷却定律。设空气的温度为ua ,物体在时刻t的温度为，则温度的变化速度为。注意热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而初始温度大于空气温度，即（u0ua ），所以温差u-ua恒正；又因为物体的温度将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度恒负。因此，由牛顿冷却定律得到.(1)这里的K0是比例常数。此（1）方程就是冷却过程的数学模型。为了确定温度u

9、与时间t的关系，我们需要从上面（1）的方程中解出u。又因为ua是常数，并且u-ua0,所以我们可以将上述式子改写成 将此式积分可得到如下式子即u=ua+ce(-Kt)根据初始条件：t=0时，u=u0代入上式得c=u0-ua于是u=u0+(u0-ua)e(-Kt) 又根据条件，当t=10时，u=u1代入上式得u1=ua+(u0-ua)e(-10K)(u0-ua)/(u1-ua)根据题意我们可知u0=150，u1=87,ua=24,代入得到K=0.069从而u=24+126e(-0.069t)这就是物体冷却时温度u随着时间t的变化规律。用t=20代入得u=55.7度4.假设在某商场中，某种商品在t

10、时刻的价格为P(t)，若假定其变化率与商品的需求量D和供给量S之差成正比(比例系数为k),若其中均为正常数，若已知初始价格为Po,求任意时刻t时该商品的价格。解：一般情况下，某种商品的价格主要服从市场供求关系，由题意我们可知商品需求量D是价格P的单调递减函数，商品供给量S是价格P的单调递增函数，即-(1)其中均为常数，且b0,d0.当需求量与供给量相等时，由(1)可得供求平衡时的价格Pe=，并称Pe为均衡价格。 由题意得：其中比例系数k0，用来反应价格的调整进度。将(1)式代入方程可得其中常数=k(b+d)0，所以此方程的通解为P(t)=Pe+Ce(-t) 由于初始价格P(0)=P0代入上式，

11、得C=P0-Pe于是我们可以求出任意时刻价格P与时刻t之间的函数为：P(t)=Pe+(P0-Pe)(-t)， 并且我们可以得出，因为0知，时P(t)Pe，说明随着时间的不断推延，实际价格P(t)将逐渐趋近均衡价格Pe。 5.农场种植计划问题 某农场根据土地的肥沃程度，把耕地分为I II III三等，相应的耕地面积分别为100、300和200km2,计划种植水稻、大豆和玉米.要求三种作物的最低收获量分别为190、130和350吨(t).I、 II 、III等耕地种植三种作物的单产如表所示. 若三种作物的售价分别为水稻1.2元/kg,大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg.那么(1) 如何制订

12、种植计划，才能使总产量最大？(2) 如何制订种植计划，才能使总产值最大？ 解： (1):问题分析： 确定种植最佳土地分配，即每种等级耕地分别种植水稻、大豆、玉米的面积 模型建立： 1，决策变量：令x1,x2,x3分别为I II III三等耕地上种植的水稻面积，令x4,x5,x6分别为I II III三等耕地上种植的大豆面积，令x7,x8,x9分别为I II III三等耕地上种植的玉米面积。且令为xi（1=ic=11 9.5 9 8 6.8 6 14 12 10; A=-11 -9.5 -9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8 -6.8 -6 0 0 00 0 0 0 0 0 -14 -1

13、2 -10; b=-190;-130;-350; Aeq=1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1; beq=100;300;200; vlb=0;0;0;0;0;0;0;0;0; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.x = 17.2727 0.0000 0.0000 82.7273 300.0000 165.0000 0.0000 0.0000 35.0000fval = 4.2318e+03 即，模型的最优解为(17.2727

14、0.0 0.0 82.7273 300.0 165.0 0.0 0.0 35.0)T,目标函数最优值为4.231103 即：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9值分别为17.2727 0.0 0.0 82.7273 300.0 165.0 0.0 0.0 35.0，此时才能使总产量最大。(2) 问题分析： 根据题(1),当要求得产值最大时,目标函数只需变成 Max =1.2(11x1+9.5x2+9x3)+1.5(8x4+6.8x5+6x6)+0.8(14x7+12x8+10x9) =13.2x1+11.4x2+10.8x3+12x4+10.2x5+9x6+11.2x7+9.6

15、x8+8x9MATLAB求解，部分文件如下： c=13.2 11.4 10.8 12 10.2 9 11.2 9.6 8; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.x = 17.2727 0.0000 0.0000 0.0000 19.1176 0.0000 82.7273 280.8824 200.0000fval = 5.6460e+03 即，模型的最优解(17.2727 0.0 0.0 0.0 19.1176 0.0 82.7273280.8824 200.0)T目标函数最优值5.646103 即：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9值分别为17.2727 0.0 0.0 0.0 19.1176 0.0 82.7273 280.8824 200.0，此时才能使总产值最大。