2015高考数学（理）一轮复习配套文档：第7章 第7节　空间向量在立体几何中的应用

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1、第七节空间向量在立体几何中的应用【考纲下载】1理解直线的方向向量与平面的法向量2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题了解向量方法在研究立体几何问题中的应用1两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量2空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，

2、l2的方向向量分别为n1，n2.l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面、的法向量分别为n，m.nmnmnmnm03两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)4直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.5求二面角的大小(1)如图，AB、CD是二面角 l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两

3、个半平面，的法向量，则二面角的大小n1，n2或n1，n26点到平面的距离的向量求法如图所示，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则点B到平面的距离d.1在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标2两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？提示：两向量的夹角范围是0，；两异面直线所成角的范围是；直线与平面所成角的范围是；二面角的范围是0，注意以上各角取值范围的区别1若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()Al

4、BlCl Dl与斜交解析：选Ba(1,0,2)，n(2,0，4)n2a，即an.l.2若平面、的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则()A BC、相交但不垂直 D以上均不正确解析：选Cn1n22(3)(3)15(4)0，n1与n2不垂直，与相交但不垂直3已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为()A. B.C D.解析：选C设平面ABC的一个法向量n(x，y，z)，则即yz0.令z2，则y2，x1.即n(1，2,2)故其单位法向量n0.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_解析：以

5、A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)，平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.故所成的锐二面角的余弦值为.答案：5正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，则(2a,0,0)，(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可求得n(

6、0,1,1)，则cos，n，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：30 答题模板(六)空间向量在立体几何中的应用典例(2013山东高考) (12分)如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值快速规范审题第(1)问1审结论，明解题方向观察所求结论：证明ABGH可证明EFGH.2审条件，挖解题信息观察条件：D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点EFABDCEF平面PCDEFGH.3建联系，

7、找解题突破口EFGH，EFABGHAB.第(2)问1审结论，明解题方向观察所求结论：求二面角D GHE的余弦值转化为求平面DGH和平面EGH法向量的夹角的余弦值2审条件，挖解题信息观察条件：BP，BA，BQ两两互相垂直求平面DGH的法向量n和平面EGH的法向量m.3建联系，找解题突破口求cosm，n求二面角DGHE的余弦值,准确规范答题(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB.所以EFDC. 1分又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD. 2分又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH. 3分又EFAB，所以ABGH.

8、4分(2)在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90.又PB平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设BABQBP2， 则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0，1,0)，P(0,0,2)所以(1,2，1)，(0,2，1)，(1，1，2)，(0，1，2) 6分 设平面EFQ的一个法向量为m(x1，y1，z1)，由得取y11，得m(0,1,2) 8分设平面PDC的一个法向量为n(x2，y2，z2)，由得取z21，得n(0,2,1)， 10分所以cosm，n.

9、 11分 因为二面角DGHE为钝角，所以二面角DGHE的余弦值为. 12分答题模板速成利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤：第一步审清题意利用条件分析问题，建立恰当的空间直角坐标系 第二步确定相关点的坐标结合建系过程与图形，准确地写出相关点的坐标 第三步确立平面的法向量利用点的坐标求出相关直线的方向向量和平面的法向量，若已知某直线垂直某平面，可直接取直线的一个方向向量为该平面的法向量 第四步转化为向量运算将空间位置关系转化为向量关系，空间角转化为向量的夹角问题去论证，求解 第五步问题还原结合条件与图形，作出结论(注意角的范围) 第六步反思回顾回顾检查建系过程、坐标是否有错及是否忽视了所求角的范围而写错结论