基本不等式及应用

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1、 基本不等式及应用考纲要求考情分析1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题3了解证明不等式的基本方法综合法 通过对近三年高考试题的统计和分析可以发现，本节主要考查利用基本不等式求函数的最值若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中，如2011年上海卷；若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升，如2011年浙江卷对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题.知识梳理1基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a0，b0ab2.

2、常用的几个重要不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)ab()2(a，bR)(3)()2(a，bR)(4)2(a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值设x，y都是正数(1)如果积xy是定值P，那么当xy时和xy有最小值2.(2)如果和xy是定值S，那么当xy时积xy有最大值S2.问题探究：当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？提示：若最值取不到可考虑函数的单调性自主检测1已知两个正数a，b的等差中项

3、为4，则a，b的等比中项的最大值为()A2B4C8D16答案：B解析：4，故选B.2(2011年上海高考)若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2C. D.2解析：ab0，a与b同正或同负，B，C不正确对任意a，bR，a2b22ab，选项A不正确0，0，2当且仅当ba时取等号，D正确答案：D3若x2y4，则2x4y的最小值是()A4B8C2D4解析：2x4y2228，当且仅当2x22y，即x2y2时取等号，2x4y的最小值为8.答案：B4 当x1时，求函数f(x)x的最小值_解析：x1，x10，x(x1)1213.答案：35(2010年山东卷)已知x，y0，

4、且满足1，则xy的最大值为_解析：x0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号答案：36某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_.答案：20解析：每年购买次数为.总费用44x2160，当且仅当4x，即x20时等号成立，故x20.考点1利用基本不等式证明不等式1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”2证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都

5、成立同时也要注意应用基本不等式的变形形式例1 (1)已知a0，b0，ab1，求证：4.(2)证明：a4b4c4d44abcd.【分析】(1)利用ab1将要证不等式中的1代换，即可得证(2)利用a2b22ab两两结合即可求证但需两次利用不等式，注意等号成立的条件【证明】(1)a0，b0，ab1，2224(当且仅当ab时等号成立)4.原不等式成立(2)a4b4c4d42a2b22c2d22(a2b2c2d2)22abcd4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2b2且c2d2且abcd.课堂过手练习：已知a、b、c为正实数，且abc1，求证：(1)(1)(1)8.证明：a、b、c均为正实数，

6、且abc1，(1)(1)(1)8.当且仅当abc时取等号考点2利用基本不等式求最值1.创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法2基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等如： (a0，b0)例2 (1)设0x0，y0，

7、且xy1，求的最小值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1)0x0，y，当且仅当x2x即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值是.(2)显然a2，当a2时，a20，a(a2)2226，当且仅当a2，即a4时取等号，当a2时，a20，y0，且xy1，()(xy)77274，当且仅当，即2xy时等号成立，的最小值为74.课堂过手练习：求下列各题的最值(1)已知x0，y0，lgxlgy1，求z的最小值；(2)x0，求f(x)3x的最小值；(3)x0，y0，lgxlgy1，可得xy10.则2.zmin2.当且仅当2y5x，即x2，y5时等号成立(2)x0，f(

8、x)3x212，等号成立的条件是3x，即x2，f(x)的最小值是12.(3)x3，x30，f(x)x(x3)3(3x)3231，当且仅当3x，即x1时，等号成立故f(x)的最大值为1.考点3利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式；2拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值例3 (2010年四川高考)设abc0，则2a210ac25c2的最小值是()A2B4C2D5【分析】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件【解析】原式(a210ac25c2)aba(ab)a2aba(ab)(a5c)2aba(ab)0224，当且仅当，即a，b，c时

9、，等号成立【答案】B方法归纳：拆、拼、凑的典范：本题求多个和式的最小值，故可选用基本不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配凑，关键点在于使目标出现ab，a(ab)的形式课堂过手练习：(2011年浙江)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_解析：4x2y2xy14x24xyy23xy1(2xy)213xy2xy()2(2xy)21(2xy)2(2xy)2即2xy当且仅当2xy时取等号(2xy)最大值.考点4基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量

10、设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答例4 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【分析】(1)首先明确总费用y旧墙维修费建新墙费，其次，列出y与x的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件

11、，作出问题结论【解】(1)如图，设矩形的另一边长为a m.则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得a，所以y225x360(x2)(2)x2，225x210800.y225x36010440.当且仅当225x时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元方法归纳：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解课堂过手练习：有一座大桥既是交通拥挤地段，

12、又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：dkv2ll(k为正常数)，假定车身长都为4 m，当车速为60 km/h时，车距为2.66个车身长(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？解：(1)当v60 km/h时，d2.66l，k0.0006，d0.0024v22.(2)设每小时通过的车辆为Q，则Q，即Q.0.0024v20.24，Q.当且仅当0.0024v，即v50时，Q取最大值.答：当v50 km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多易错点忽视等号成立的条件 典例：已知

13、两正数x，y满足xy1，则z(x)(y)的最小值为_【错解】错解一：因为对a0，恒有a2，从而z(x)(y)4，所以z的最小值是4.错解二：z(xy)2222(1)，所以z的最小值是2(1)【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的【正确解答】z(x)(y)xyxyxy2，令txy，则0txy()2，由f(t)t在(0，上单调递减，故当t时， f(t)t有最小值，所以当xy时z有最小值.误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数y12x(x0)有最大值12而不是有最小值12.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错课堂纠错补练：若0x，则f(x)sinx的最小值为_解析：令sinxt,00，且aR)，当且仅当a1时“”成立(2)2(a0，b0，a，bR)，当且仅当ab时“”成立 (3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法一般地函数yax，当a0，b0时函数在，0)，(0, 上是减函数，在(，)，( ，)上是增函数；当a0，b0时，可作如下变形：y(ax)()来解决最值问题第 10 页 共 10 页