几种常见函数的导数学习教案

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1、会计学1几种常见函数几种常见函数(hnsh)的导数的导数第一页，共14页。3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x= x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一处的导数的方法之一. 4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线处的切线(qixin)的斜率的斜率.5.求切线求切线(qixin)方程的步骤方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(

2、x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即第1页/共13页第二页，共14页。二、新课二、新课几种常见几种常见(chn jin)函函数的导数数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数根据导数的定义可以得出一些常见函数(hnsh)的的导数公式导数公式.公式公式1: .公式公式2: . 请注意公式中的条件是请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握但根据我们所掌握的知识的知识,只能就只能就 的情况加以证明的情况加以证明.这个公式称为这个公式称为幂函数的导数公式幂函数的导数公式.事实上事实上n可以是任意实数可以是任意实数. 第2页/

3、共13页第三页，共14页。第3页/共13页第四页，共14页。公式公式3: .要证明这个公式要证明这个公式,必须用到一个常用极限必须用到一个常用极限同理可证同理可证,公式公式4: .第4页/共13页第五页，共14页。三、例题三、例题(lt)选选讲讲例例1:求过曲线求过曲线y=cosx上点上点P( )且与过这点的切线垂且与过这点的切线垂 直的直线方程直的直线方程.注注:满足条件的直线称为满足条件的直线称为(chn wi)曲线在曲线在P点的法线点的法线.第5页/共13页第六页，共14页。O A xM Py例例2:如图如图,质点质点P在半径在半径(bnjng)为为10cm的圆上逆时针的圆上逆时针做匀角

4、速做匀角速 运动运动,角速度角速度1rad/s,设设A为起始点为起始点,求时刻求时刻t时时,点点P在在 y轴上的射影点轴上的射影点M的速度的速度.解解:时刻时刻t时时,因为角速度因为角速度1rad/s, 所以所以 .故点故点M的运动的运动(yndng)方程为方程为:y=10sint.故时刻故时刻(shk)t时时,点点P在在 y轴上的射影点轴上的射影点M的速度为的速度为10costcm/s.第6页/共13页第七页，共14页。例例3:已知两条曲线已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条问是否存在这两条 曲线的一个公共点曲线的一个公共点,使在这一点处使在这一点处,两条曲线的切线两条曲

5、线的切线(qixin) 互相垂直互相垂直?并说明理由并说明理由.解解:设存在一个公共点设存在一个公共点P(x0,y0)满足满足(mnz)题题设条件设条件.由两条曲线由两条曲线(qxin)的切线在点的切线在点P互相垂直互相垂直,则则cosx0(-sinx0) =-1,得得sinx0cosx0=1,即即sin2x0=2.这不可能这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点所以不存在满足题设条件的一个点.练习练习1:曲线曲线y=sinx在点在点P( )处的切线的倾斜角为处的切线的倾斜角为 _.第7页/共13页第八页，共14页。例例4:已知曲线已知曲线 在点在点P(1,1)处的切线与直线处的切线与直线m平

6、行且平行且 距离等于距离等于 ,求直线求直线m的方程的方程.设直线设直线m的方程的方程(fngchng)为为3x+y+b=0,由平行线间由平行线间的距离公式得的距离公式得:故所求的直线故所求的直线(zhxin)m的方程为的方程为3x+y+6=0或或3x+y-14=0.第8页/共13页第九页，共14页。例例5:求双曲线求双曲线 与抛物线与抛物线 交点处切线的夹角交点处切线的夹角.第9页/共13页第十页，共14页。例例6:求过点求过点P(3,5)且与曲线且与曲线y=x2相切的直线相切的直线(zhxin)方程方程.说明说明:曲线上求在点曲线上求在点P处的切线与求过点处的切线与求过点P的切线有区别的切

7、线有区别. 在点在点P处的切线处的切线,点点P必为切点必为切点,求过点求过点P的切线的切线,点点P 未必是切点未必是切点.应注意应注意(zh y)概念的区别概念的区别,其求法也有所其求法也有所不同不同.解解:设所求切线设所求切线(qixin)的切点在的切点在A(x0,y0).因为因为A是曲线是曲线y=x2上的一点上的一点,所以所以,y0=x02 .又因为函数又因为函数y=x2的导数为的导数为 所以过点所以过点A(x0,y0)的的切线的斜率为切线的斜率为由于所求切线过由于所求切线过P(3,5)和和A(x0,y0)两点两点,故其斜率又故其斜率又应为应为 .联立联立,解得解得: :第10页/共13页

8、第十一页，共14页。故切点故切点(qidin)分别为分别为(1,1)或或(5,25).当切点为当切点为(1,1)时时,切线切线(qixin)的斜率为的斜率为k1=2x0=2;当切点为当切点为(5,25)时时,切线切线(qixin)的斜率为的斜率为k2=2x0=10;所以所求的切线有两条所以所求的切线有两条,方程分别为方程分别为:y-1=2(x-1)或或y-25=10(x-5),即即y=2x-1或或y=10 x-25.练习练习2:若直线若直线y=3x+1是曲线是曲线y=ax3的切线的切线,试求试求a的值的值. 解解:设直线设直线y=3x+1与曲线与曲线y=ax3相切于点相切于点P(x0,y0),

9、则有则有: y0=3x0+1,y0=ax03,3ax02=3.由由, ,得得3x0+1=ax03,由由得得ax02=1,代入上式可得代入上式可得:3x0+1=x0,x0=-1/2.所以所以a(-1/2)3=1,a=4.第11页/共13页第十二页，共14页。四、小结四、小结(xioji)与作业与作业1.要切实掌握四种常见函数的导数公式要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) (c为常为常 数数;(2) ;(3) ;(4)2.对于简单函数对于简单函数(hnsh)的求导的求导,关键是合理转化函数关键是合理转化函数(hnsh)关系式为关系式为 可以直接应用公式的基本函数可以直接应用公式的基本函数(hnsh)的模式的模式.3.能结合直线能结合直线(zhxin)的知识来解决一些与切线有关的知识来解决一些与切线有关的较为综的较为综 合性问题合性问题.第12页/共13页第十三页，共14页。NoImage内容(nirng)总结会计学。处的导数的方法之一.。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即。注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.。y轴上的射影点M的速度(sd).。2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为。可以直接应用公式的基本函数的模式.。3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综。合性问题.第十四页，共14页。