勾股定理培优

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1、第19讲勾股定理考点方法破译i会用勾股定理解决简单问题.2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形3勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程边形都是正边长分别是进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证经典考题赏析【例1】（达州）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、CD的3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A.13B.26C.47D.94【解法指导】观察勾股树，发现正方形A、B的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正

2、方形的面积，从而正方形E的面积等于正方形A、B、CD四个面积之和，故选C.【变式题组】1和2,则正方形的边长是.02.（浙江省温州）在直线I上的依次摆放着七个正方形（如图所示），己知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S，S2,S3，S,贝US+S2+S3+S4=.03.（浙江省丽江）如图，已知ABC中,ZABC=90,A吐BC三角形的顶点在相互平行的三条直线1、2、间的距离为A.217I1、I2、I3上，且I1、I2之间的距离为2,I2、3,则AC的长是（）B.25C.42D.7【例2】（青岛）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm高为6cm如果用一根

3、细cmcm如果从点线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10,2916n2.【变式题组】01.（恩施）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是（）B.25C.1055D.35151A第1BA6F：、MJ02.（荆州）如图所示的长方体是某种饮料|N的纸质包装盒，规格为5X6x10（单位:cm），在

4、上盖中开有一孔BEC便于插吸管，吸管长为13cm,小孔到图中边AB距离为1cm到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大约为cm（精确到个位，参考数据:迈=1.4,3=1.7:,5=2.2）03.（荆州）若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为m（铁丝粗细忽略不计）【例31（荆州）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处，折痕为NM则线段CN的长是（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cmCBC=4,CD=B【解法指导】对折问题即对称问题，设CN=x,

5、DN=NE=8-x.在RtCEN中，（8x）2=42+x2x=5.故选C【变式题组】01.在四边形ABC冲，/B=90,AB=4,BC=3,CD=13,AD=12.求S四边形abcdD02.如图，ABC中,AB=13，AD=6，AC=5，D为BC边的中点.求Saabc03.如图，ABC中，/ACB=90,AD平分/CAB33.求AC2【例4】（四川省初二数学联赛试题）如图，直线0B是一次函数y=2x的图象，点A的坐标为（0,2），在直线0B上找点C,使得ACO为等腰三角形，求点C坐标.【解法指导】求C点坐标需分类讨论.（1）若以0为顶点，0A为腰，则C在以0为圆心，0A半径的圆与y=2x的交点

6、处.yy=A0bx的长为若以A为顶点，A0为腰，则C在以A为圆心，A0的长为半径的圆与y二一2x的交点处.若以C为顶点，则C在0A的中垂线与y二一2x的交点处.【解】若以0为顶点，0A为腰，如图设C0D中,0C=0D+CD4=t2+（2t）25t2=4qt，t=则在Rt2,54*52,545-5，丁），G（W，）若以A为顶点，A0为腰，如图，设qt，2t），在ACE中AC=CE+AE22=t2+（2t2）2t=0（舍去），t=5C3(1若C为顶点，C在0A的中垂线上.C4（1，1）【变式题组】01若A(3,2),B为x轴上一点，O为坐标原点.若厶AOB是等腰三角形.求B点坐标.A(4,0),B

7、为y=2x上一点，若AOB为等腰三角形.A(0,4),B为y二2x02.如图，在平面直角坐标系中,求B点坐标.03.如图.在平面直角坐标系中，B点坐标.【例5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图,问题：在直线I上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线I的对称点A,连接AB交I于点P,则PA+PB=AB的值最小(不必证明).模型应用：如图1,正方形ABCD勺边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,贝UPB+PE的最小值是;如图2,ZA0445,P是/AOB内一点，P810,QRR,关于0.如图2,作

8、p关于oB的对点AP称点P2,连接P1P2,交0B于R,交0A于PRQ勺周长最小，且此时厶PRQ勺周长为PFRQ+QP=P1P2.连接OP,0P,：/1=/2,73=/4,Z2+Z3=45/PiOP=90,OP=O圧OP,在RtOPP2中，RP22=OX+OP2,RP2=10、2【变式题组】01.(荆门)一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4)求该函数的解析式;O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为CD,P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.ny02.(四川联赛试题)已知矩形ABCD勺A吐12,AD=3,E、F分别是ABDC上的点，则

9、折线AFEC长的最小值为.03.(陕西)如图，在锐角ABC中,AB=45,/BAG45,/BACANB平分线交BC于点D,MN分别是AD和AB上的动点，则BM+MN勺最小值是【例6】求x24+;8x216的最小值.【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开是完全平方式而无法化简，用代数方法求解困难，但被开特点x2+4=x2+22,(8-x)2+16=(8-x)2+42均为平方和Ax方数不方数的结构，由此联想到勾股定理，题目就是求以歹,8x242为斜边的两边之和的最小值,于是根据数形结合的思想转化为构造图形问题来解决【解】如图，作A吐8,AC1AB,BD1AB,AO2,BD=4.E是AB上一

10、动点.设AE=x.2则BE=8-x.二CE=x222,DE.8x42.所以求代数式最小值问题转化为在AB上求一点E,使CRDE值最小.根据线段公理，连接CD交AB于H,则CD为所求.作CF丄DB交DB延长线于F.在RtCDF中,CD=CF2DF2=10.二所求最小值为10.【变式题组】01.（恩施自治州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB丄BD,EDLBD,连接AGEC已知A吐5,DE=1,BD=8,设CD=x.用含x的代数式表示ACCE的长；请问点C满足什么条件时，ACCE的值最小？根据中的规律和结论，请构图求出代数式.x24+12x29的最小值02.（咸宁）问题背景:在厶AB

11、C中,ABBCAC三边的长分别为亦、尿、届，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC即厶ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.请你将厶ABC的面积直接填写在横线上;思维拓展：我们把上述求厶ABCS积的方法叫做构.图法.若ABC三边的长分别为.5a2.2a17a（a0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC并求出它的面积;探索创新:若ABC三边的长分别为,m216n2、.9m24n2、2.m2n2(m0,n0,且m工n）,试运用构

12、图法求出这三角形的面积【例7】.（天津）已知RtAABC中，/ACB=90,个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点线CECF分别与直线AB交于点MN.当扇形CEF绕点C在/ACB的内部旋转时，如图国1CA=CB有一C旋转，且直1,求证：mN=aM+bN；【思路点拨】考虑mN=aM+bN符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将ACMft直线CE对折，得DCM连接DN只需证DN=BN/MDM90就可以了.请你完成证明过程当扇形GEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN=AM是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【解法指导】观察求证的结论容易发现MN=aM+bN符合定

13、理的结构形式因此我们设法构造以MN为斜边的直角三角【解】（I）证明：将厶ABM沿直线CM对折，得DCM连DNACM2ADCMaZ1=/2,AC=CD/A=ZMDC+bN匀股形./AC=BU.CBCvZMC肚45,二/1+Z4=/2+Z3二/3=/4在DCN3BCN中,亠CBZ3=Z4CDN2ACBN/CD=ZB=45,BN=DNCN=CNZMD=90在RtDMN中,MN=DM+DN/.NM=AM+BN将ACM沿直线CM对折，得GCM连接GNGCIAACiyiZCG=ZCAM=135,Z1=Z2,AM=GMvZBC=90Z3=90(45Z1)=45+Z1=45+Z2ZCG=Z1+Z3+Z2=45

14、+Z2ZBCN=ZCGN在厶BCNmGCN中aN=CNZBC=ZCGNBCNAGCNZCG=ZB=45CB-CGGN=BNZMG=13545=90，在RtMGN中,MN=M(2+GNMN=AM+BN【变式题组】01.在RtABC中,ZC=90,D为AB边的中点，DEIDF求证：EF2aE+BF202.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称；如图1,请你在图中画出以格点为顶点，OAOB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB如图2,将厶ABC绕

15、顶点B按顺时针方向旋转60,得到DBE连接ADDCZDCB=30.求证：四边形ABCD1勾股四边形.03.（台州）如图1，RtABCRtEDF，ZACB=ZF=90，ZA=ZE=30.EDF绕着边AB的中点D旋转，DEDF分别交线段AC于点MK观察：如图2、图3,当ZCDF=0或60时，AM+CKMK填或“=”）.如图4,当ZCDF=30时，AM+CKMK（只填“”或“V”）.猜想：如图1,当0VZCDV60时，AM+CKMK证明你所得到的结论如果MK+CK=AM,请直接写出ZCDF的度数和也的值.AM演练巩固反馈提高01.如图，小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点，可得ABC则AC边上的

16、高为AAC03.（滨州）已知ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD为8,则边BC的长为（）A.21B.15C.6D.21或904.在同一平面内把边BO3,AO4,A吐5的三角形沿最长边AB翻折后得到ABC，则A.32B.-5C.3,5D.52105502.（哈尔滨）如图，长方形纸片ABCD中,A吐8cm把长方形纸片沿25直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F,若AF=cm,4则AD的长为（）CC的长等于（）B.13505.一个三角形三边长度之比为3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为（）A.3:4:5B.5:4:3C.20:15:12D.9:16:2506.（山西）如图

17、，在RtABC中，/AC*90,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则CE的长为（）A.B.7D.207.（湖州）如图，在正三角形ABC中，A吐1,DE、F分别是BCACAB上的点，DELAC,EFLABFDLBC,则DEF面积为.08.（安顺）如图是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，贝U这个风车的外围周长是.09.（安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m10.（滨州）某

18、楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米，/BAC=30/C=90，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为第11题图11.（湖州）如图，已知在RtABC中，/AC*90，AB=4,分别以ACBC为直径作半圆，面积分别记为S、S则S+S的值等于12.（呼和浩特）如图，四边形ABDC中,/AB120，AB丄ACBDLCDAB=4,CD*53，则该四边形的面积是.13.已知等腰三角形ABC的底边AB=20cm,P是腰AC上一点，且AP=12cm,BP*16cm,则腰长是.14.（沪州）如图，ABC中,A吐BC*2,ZABC=90,D是BC的中点，且它关于AC的对称点为D,则BD*

19、.15.如图，点A在反比例函数y-的图象上，OA4,AC丄x轴，0A的中垂线交x轴于B.求ABC的周长.16.有一人字形屋架（等腰三角形），其顶角为120,两腰长均为腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时廿角形？y17.（牡丹江）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m8m现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地8m长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长18.如图A（3，4），B（a，1），A吐5，CD分别为x轴、y轴上的两动点.求四边形ABCD周长的最小值.y、B(a,19.如图，在正ABC中,DCB4，D吐3，Dab5,求ZCDBOx20

20、.如图，在RtABC中,ZACB=90，AOBCD为三角形内一点，DC=2，D吐1，DA=3.求ZCDB培优升级？奥赛检测01.如图，在RtABC中，AB=AC，D、E在斜边BC上DAB45，将ADC绕点A顺时针旋转，使AC与且ZAB重合,得到AFB连接EF，则下列结论：厶AEDAEF；厶ABEAACDBE+DCBDEbE+dC=dE其中正确的是（）A.B.C.D.02.（四川联赛试题2。是厶ABC的中线，ACB6且ZADB45，ZC=30，则A吐（）03.（江西竞赛）若将三条高线长度分别为x、y、z的三角形记为（x,y,z），现在以下四个三角形（6，8，10），（8，15，17），（12，1

21、5,20），（20，21，29）中，直角三角形的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个04.（北京竞赛）如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD,BC折起、使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH若PE=8cm,PG=6cm,Ed10cm,则长方形纸片ABCD勺面积为（）cnf05.如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了ABCDEF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CDEF、GH06.（四川省初二数学联赛试题）如图，等边三角形ABC内有一点P,过点P向三边作垂线，垂足分别为SQR且Pd6,PR=S,PS=10,则厶ABC的面积等于（）A.190、

22、3B.1923C.1943D.196307.（四川省初二数学联赛试题）如图所示，在厶ABC中,/BAC=120,A吐AC=10.3cm,C第7题图第8题图08.如图，在ABC中,D是BC边上一点，A吐AD=2,AO4,且BDDG=2:3则BO.09.（黑龙江竞赛）小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm,宽为8cm的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长10.如图，ABC是等腰直角三角形，A吐ACD是BC的中点，E、F分别是AB,AC上的C点，且DEIDF,若BE=12，CF=

23、5.求.S11.如图，已知直线y=2X+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA0C为边在第象限内作长方形OABC求点A、C的坐标；将ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D,求直线CD的解析式（图）；在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得APC与ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由12.（浙江省义乌）如图1,已知/ABG90,ABE是等）角形，点yCyB点（点P与B不重合），连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60得到线段AQ连图图接QE并延长交射线BC于点F.如图2,当BABA时，/EBB。，猜想/QFC=;如图I，当点P为射线BC上任意一点时，猜想/QFC的度数，并加以证明;已知线段A吐23，设BP=x，点Q到射线BC的距离为图y，求y关于x的函数关系式.13.一条笔直的公路I穿过草原，公路边有一卫生站A,距公路30km的地方有一居民点B，AB之间的距60kmh.在草地上行离为60km天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点已知汽车在公路上行驶的最快速度是驶的最快速度是30km/h，问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短？最短时间是多少？14是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等？若存在，求出它的边长；若不存在，说明理由