初二下期末几何压轴题及解析

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1、初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是_；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，EGD是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出EGD的度数难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45。）解 （1）EB=FD。（2）EB=FD。证：AFB为等边三角形,AF=AB，FAB=60ADE为等边三角形，AD=AE，EAD=6

2、0,FAB+BAD=EAD+BAD即FAD=BAE,FADBAE,EB=FD（3）解：ADE为等边三角形，AED=EDA=60FADBAE，AEB=ADF设AEB为x，则ADF也为x于是有BED为（60-x），EDF为（60+x）EGD=180-BED-EDF=180-（60-x）-（60+x）=602、已知：如图，在ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF（1）求证：ABEFCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形简单题证明：（1）如图1图1在ABE和FCE中，1=2， 3=4，BE=CE，ABEFCE（2）ABEFCE，AB=FCABFC，四边

3、形ABFC是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形，AD=BCAF=AD，AF=BC四边形ABFC是矩形3、已知：ABC是一张等腰直角三角形纸板，B=90，AB=BC=1（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在ABC的边上小林设计出了一种剪法，如图1所示请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来图4图3图2图1（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为，则=_；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），图2得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和记为，则=_；在余下的4个三角形

4、中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和记为；按照同样的方法继续操作下去，第次裁剪得到_个新的正方形，它们的面积的和=_（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。）本题相当于中考12题的简单题解：（1）如图2； -1分（2）， -6分4、已知：如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在轴的正半轴上运动，顶点D在轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP（1）当OA=OD时，点D的坐标为_，POA=_；（2）当OAOD时，求证：OP平

5、分DOA；（3）设点P到y轴的距离为，则在点A，D运动的过程中，的取值范围是_（第二问：如果点P到OP“所平分的角”的两边的距离相等，即可。）（第二问的题外题：当OAOD时，求证：OP平分DOA；）解：（1）()，； 图3证明：（2）过点P作PM轴于点M，PN轴于点N（如图3）四边形ABCD是正方形， PD=PA，DPA=90 PM轴于点M，PN轴于点N，PMO=PNO=PND=90NOM=90，四边形NOMP中，NPM=90DPA=NPM1=DPANPA，2=NPMNPA，1=2 在DPN和APM中， PND =PMA，1=2，PD=PA，DPNAPM PN=PM OP平分DOA （3） -

6、5、已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3）将OCA沿直线CA翻折，得到DCA，且DA交CB于点E（1）求证：EC=EA；（2）求点E的坐标；（3）连接DB，请直接写出四边形DCAB的周长和面积（第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE的长）（第三问的证明：过D做DMAC于M，过B做BNCA于N，则由相似可得，DM=BN=梯形的高（能求出具体数），CM=AN（具体数）还看得DB=MN（具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。）证明：（1）如图1OCA沿直线CA翻折得到DCA，OCADCA 1=2四边形OABC是矩形，OACB1=32=3EC

7、=EA 解：（2）设CE= AE=点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3），OA=4，OC=3四边形OABC是矩形，CB=OA=4，AB=OC=3，B=90在RtEBA中，解得 点E的坐标为() （3）， 6、已知：ABC的两条高BD，CE交于点F，点M，N分别是AF，BC的中点，连接ED，MN（1）在图1中证明MN垂直平分ED；（2）若EBD=DCE=45（如图2），判断以M，E，N，D为顶点的四边形的形状，并证明你的结论图2第一问，连接EM，EN，DM，DN，利用三角形斜边中线等于斜边一半得，ME=MD，NE=ND，所以点M、N都在线段ED的垂直平分线上。（有ADFBDC，得AF=BC，

8、（还得MDA=NDB，证直角时用），进而得菱形，再证一直角得正方形，）（1）证明：连接EM，EN，DM，DN（如图2）BD，CE是ABC的高，BDAC，CEABBDA=BDC=CEB=CEA=90 在RtAEF中，M是AF的中点，EM=AF同理，DM=AF，EN=BC，DN=BCEM=DM， EN=DN 点M，N在ED的垂直平分线上MN垂直平分ED 图3 （2）判断：四边形MEND是正方形 证明：连接EM，EN，DM，DN（如图3）EBD=DCE=45，而BDA=CDF=90，BAD=ABD=45，DFC=DCF=45AD=BD，DF=DC在ADF和BDC中， AD=BD， ADF=BDC，（

9、Rt） DF=DC，ADFBDC AF=BC，1=2由（1）知DM=AF=AM，DN=BC=BN，DM=DN，1=3，2=43=4由（1）知EM=DM，EN=DN，DM=DN=EM=EN四边形MEND是菱形 3+MDF=ADF=90，4+MDF=NDM=90四边形MEND是正方形 7、（6分）如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH。（1）求证：APBBPH；（2）求证：APHCPH；（3）当AP1时，求PH的长。第一问，设EPB=EBP=m，则BPH=90

10、-m，PBC=90-m，所以BPH=PBC，又因为APB=PBC，所以，APB=BPH。第二问的题外题：将此题与北京141之东城22和平谷24 放在一起，旋转翻折共同学习；此题中用旋转把ABP绕点B顺时针旋转90不能到达目的，于是延BP翻折，翻折后的剩余部分BQH与BCH也可全等，即可到达目的，还有意外收获：证得PBH=45。第三问，代数方法的勾股定理。（1）证明：PEBE，EPBEBP，又EPHEBC90，EPHEPBEBCEBP。即BPHPBC。又四边形ABCD为正方形，ADBC，APBPBC。APBBPH。（2分）（2）证明：过B作BQPH，垂足为Q，由（1）知，APBBPH，又ABQP

11、90，BPBP，ABPQBP，APQP，BABQ。又ABBC，BCBQ。又CBQH90，BHBH，BCHBQH，CHQH，APHCPH。（4分）（3）由（2）知，APPQ1，PD3。设QHHC，则DH。在RtPDH中，即，解得，PH3.4（6分）8、（6分）如图，在ABC中，ACAB，D点在AC上，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC60，联结GD，判断AGD的形状并证明。（也可问ADG的度数。）判断：AGD是直角三角形。证明：如图联结BD，取BD的中点H，联结HF、HE，F是AD的中点，13。同理，HE/CD，HE，2EFC。ABCD，HF

12、HE，12，3EFC。EFC60，3EFCAFG60，AGF是等边三角形。AFFGAFFD，GFFD，FGDFDG30，AGD90，即AGD是（特殊）直角三角形。（GE=BG-BE，GH是直角三角形的斜边，这样证全等。）10、阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是ABC的中线， 点M为BC边上任意一点（不与点D重合），过点M作一直线，使其等分ABC的面积他的做法是：如图1，连结AM，过点D作DN/AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线D图1MBANC 请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图2，在四边形ABCD中，AE平分ABCD的面积，M为CD边上一点，过M作一直线MN，使其

13、等分四边形ABCD的面积（要求：在图2中画出直线MN，并保留作图痕迹）；图3图2（2）如图3，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图3中画出直线AE，并保留作图痕迹）（第二问，把ABC的面积接到DC的延长线上。）11、 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AFDE （1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线AC与BD交于点O BD、AC分别与AE、BF交于点G，点H求证：OGOH；连接OP，若AP4，OP，求AB的长 ABCDOPEF图2GHABCDEFP图1【第二问，证AOGBHO，第二问，

14、（在OB上截取BQ=AP，则APOBQO，得OP=OQ，AP=BQ，也可得OPG=OQP，又EPB=90，最终得OPQ是等腰直角三角形，可得PQ=2，从而求得PB=6，在RtAPB中由勾股定理得的值。2倍根号13.）】12、已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=，BC=，DC=，且，点M是AB边的中点（1）求证：CMDM；（2）求点M到CD边的距离（用含，的式子表示）（我认为答案的思路不是最好。本题还有这样的思路：过M做BC的平行线，交DC于Q，则可证MQ=DQ=CQ，MD平分ADC，MC平分BCD，及DMC=90，；M到CD的距离也就是RtDMC斜边的高MN，MN的平方=DN

15、乘以NC=AD乘以BC=ab，） 证明：（1）延长DM，CB交于点E（如图3）梯形ABCD中，ADBC，ADM=BEM图3点M是AB边的中点，AM=BM在ADM与BEM中，ADM=BEM， AMD=BME， AM=BM，ADMBEM AD=BE=，DM=EMCE=CB+BE=CD=，CE=CD CMDM 图4解：（2）分别作MNDC，DFBC，垂足分别为点N，F（如图4）CE=CD，DM=EM， CM平分ECD ABC= 90，即MBBC， MN=MB ADBC，ABC=90，A=90DFB=90，四边形ABFD为矩形BF= AD=，AB= DF FC= BCBF = RtDFC中，DFC=9

16、0， = DF= MN=MB=AB=DF= 即点M到CD边的距离为 13、已知：如图1，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）在点D运动的过程中，若ODE的面积为S，求S与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形OABC，CB分别交CB，OA于点D，M，OA分别交CB，OA于点N，E探究四边形DMEN各边之间的数量关系，并对你的结论加以证明； （3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为

17、_图2图1 本题难度对于初二学生相当于25题。【好好学习第一问的解题方法，第二问由两组平行可得平行四边形，OED=O1ED（对称性质），得菱形。第三问，E在OA上时，DE的长度不变，为2倍根号5，（延x轴平移DME使D与C重合，设DM=EM=x，代数法用勾股定理可求得ME的值。】解：（1）矩形OABC中，点A，C的坐标分别为，图6 点B的坐标为若直线经过点C，则； 若直线经过点A，则；若直线经过点B，则当点E在线段OA上时，即时，（如图6） 点E在直线上，图7当时，点E的坐标为 当点E在线段BA上时，即时，（如图7） 点D，E在直线上，当时，；当时，点D的坐标为，点E的坐标为 综上可得：图8（

18、2）DM=ME=EN=ND证明：如图8四边形OABC和四边形OABC是矩形，CBOA， CBOA，即DNME，DMNE四边形DMEN是平行四边形，且NDE=DEM矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形OABC，DEM=DENNDE=DENND=NE四边形DMEN是菱形DM=ME=EN=ND -（3）答：问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为 2. 5 14、探究问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AEBC，BFAC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF若DE=DF，则的值为_ 拓展问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点

19、，点M在三角形ABC的内部，且MAC=MBC，过点M分别作MEBC，MFAC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF求证：DE=DF推广问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CBCA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论（第三问，取BM和AM的中点，构造全等三角形，）122某区的模拟题与此高度相似，图9问题1 的值为 1 -问题2 证明：如图9CB=CA，CAB=CBAMAC=MBC，CABMAC=CBAMBC， 即MAB=MBAMA=MBMEBC，MFAC，垂足分别为点E，F，AFM=BEM=90 在AFM与BEM中， AFM=BEM， MAF =M

20、BE， MA=MB，AFMBEM AF=BE点D是AB边的中点，BD = AD在BDE与ADF中， BD = AD， DBE =DAF， BE = AF，BDEADF DE=DF 问题3 解：DE=DF证明：分别取AM，BM的中点G，H，连接DG，FG，DH，EH（如图10）点D，G，H分别是AB，AM，BM的中点，DGBM，DHAM，且DG=BM，DH=AM四边形DHMG是平行四边形DHM =DGM，MEBC，MFAC，垂足分别为点E，F，图10AFM=BEM=90 FG=AM= AG，EH=BM= BH FG= DH，DG= EH， - GAF =GFA，HBE =HEBFGM =2FAM

21、，EHM =2EBMFAM=EBM，FGM =EHMDGM+FGM =DHM+EHM，即DGF=DHE在EHD与DGF中，EH = DG，EHD =DGF，HD = GF，EHDDGF DE=DF 16、 如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DEAG于点E，BFAG于点F。（1）求证：DEBFEF；（2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）；（3）若AB=2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论。第一问，证全等即可得AE=BF，AF=DE。第三问，各三角形相似

22、，两直角边的比是1:2，所以可得AE=BF=EF=2FG。 解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，BFAG，DEAGDA=AB，BAF+DAE=DAE+ADE=90BAF=ADE，ABFDAEBF=AE，AF=DE；DE-BF=AF-AE=EF（2）如图，DE+BF=EF（3）EF=2FG过程：AB=2a，点G为BC边中点，BG=a由勾股定理可求又ABBC，BFAC，由等积法可求由勾股定理可求，,，EF=2FG。17、如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BEAB），连接EG并延长交DC于点M，作MNAB，垂足为点N，MN交BD于点P，设正方形ABCD的边长为1。（1）证明

23、：四边形MPBG是平行四边形；（2）设BE=x，四边形MNBG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果按题设作出的四边形MPBG是菱形，求BE的长。 （图中的三角形多是等腰直角三角形，）证明：（1）ABCD、BEFG是正方形CBA=FEB=90，ABD=BEG=45，DBME。MNAB，CBAB，MNCB。四边形MPBG是平行四边形；（2）正方形BEFG，BG=BE=x。CMG=BEG=45，CG=CM=BN=1x。y=（GB+MN）BN=（1+x）（1x）= x，（0x1）；（3）由四边形BGMP是菱形，则有BG=MG，即x=（1x）。解得x=2， BE=2。

24、18、将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕， CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、 无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”请完成下列问题：（1）如图，正方形网格中的ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图中画出折痕；（2）如图，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜ABC，使其顶点A在格点上，且ABC折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 解：（1） 2分 （说明：只需画出折

25、痕）（2）（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可）（3）三角形的一边长与该边上的高相等 19、考考你的推理与论证（本题6分）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连结（1）求证：是的中点；（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论难度一般解（1）证明：AFBC，AFE=DCE.E是AD的中点，AE=DEAEF=DEC，AEFDECAF=DC.AF=BD，BD=CD.，D是BC的中点（2）四边形AFBD是矩形，AB=AC，是的中点,ADBC，即ADB=90AF=BD，AFBC，四边形AFBD是矩形20、拓广与探索

26、（本题7分）如图（1），RtABC中，ACB=90，中线BE、CD相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点.（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）如果把RtABC变为任意ABC，如图（2），通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立？（不用证明）；（3）在图（2）中，试想：如果拖动点A，通过你的观察和探究，在什么条件下？四边形DFGE是矩形，并给出证明；（4）在第（3）问中，试想：如果拖动点A，是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形（不用证明）（图1） （图2）（第三问，AB=AC时。第四问，AB=AC，且底边上的高是BC的3/2倍时是正方形。保持这种高与边的

27、比，但是，ABAC时是菱形。）21、如图，点A（0，4），点B(3,0)，点P为线段AB上的一个动点，作轴于点M，作轴于点N，连接MN，当点P运动到什么位置时，MN的值最小？最小值是多少？求出此时PN的长.（MN=OP，所以OPAB时，MN也就是OP最小，OP=12/5.）初三相似形22、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=4， ，于点E，F是CD的中点，连接EF（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）点G是BC边上的一个动点，当点G在什么位置时，四边形DEGF是矩形？并求出这个矩形的周长；（3）在BC边上能否找到另外一点，使四边形DEF的周长与（2）中矩形DEGF的周长

28、相等？请简述你的理由.（第二问，点G为BC中点时，也是AE的延长线与BC的交点。第三问，能找到。以EF为一边在EF的下方做G1EFGFE，G1在BC上，但是不与G重合，）23、 (9分)在梯形中，且，。对角线和相交于点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点上，使三角板绕点旋转。（1）如图9-1，当三角板旋转到点落在边上时，线段与的位置关系是 ，数量关系是 ；（2）继续旋转三角板，旋转角为，请你在图9-2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；【】（3）如图9-3，当三角板的一边与梯形对角线重合时，与相交于点P，若，求的长。 图9-1 图9-2 图9

29、-3（第三问，证明两次相似，推导比例关系。）多看看 解：（1）垂直，相等；2分（2）画图如图（答案不唯一）（1）中结论仍成立。证明如下：过A作于M，则四边形ABCM为矩形。AM=BC=2，MC=AB=1。，。DC=BC。， ，。又，线段和相等并且互相垂直。（3），。同理可求得。，。由（2）知，。又，。初三相似形 24、(9分)将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，。动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动。当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设点P的运动时间为（秒）。（1）用含的代数式表示；（2）当时，如图10-1，将沿翻折，点恰好落在边上

30、的点处，求点的坐标；（3）连结，将沿翻折，得到，如图10-2。问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由。解：（1），。（2）当时，过点作，交于，如图1，3分则，。（3）能与平行。若，如图2，则，即，而，。不能与垂直。若，延长交于，如图3，则。7分又，。而， t不存在。 25、锐角ABC中，AB=AC，点D在AC边上，DEAB于E，延长ED交BC的延长线于点F.(1) 当A=40时，求F的度数；(2) 设F为x度,FDC为y度,试确定y与x之间的函数关系式.第二问，B+x=90，x+y=B，所以y=90-2x。解（1） AB=AC， . . A=40， . DEAB ，

31、. （2） ， 在BEF中， ， . . . 26、如图1，正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC（1）试猜想AE与GC有怎样的数量关系；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，求证：AEGC（友情提示：旋转后的几何图形与原图形全等）延长相交可证得垂直，解：（1）猜想：AE=GC（2）答：AE=CG成立. 证明： 四边形ABCD与DEFG都是正方形， AD=DC，DE=DG，ADC= =EDG=90. 1+3=2+3=90.

32、 1=2 .， ADECDG .， AE=CG .（3）延长AE，GC相交于H，由（2）可知5=4.又 5+6=90，4+7=180-DCE=90， 6=7. 又 6+AEB=90， AEB=CEH. . CEH+7=90. EHC=90.， AEGC . 27、如图所示，在直角梯形ABCD中，AD/BC，A90，AB12，BC21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。（1）当为何值时，四边形的面积是梯形的面积的一半

33、；（2）四边形能为平行四边形吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由（3）四边形能为等腰梯形吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由（第一问，t=37/6，第二问，t=5，第三问，不能，QPC大于90，不能等于DCP，；本题扩展：如果延DA、CB方向移动，则可以出现等腰梯形。）28、（12分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点（1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；（2）判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形？（3）当等腰梯形ABCD的高h与底边BC满足怎样的数量关系时？四边形MENF是正方形（直接

34、写出结论，不需要证明）ADCBEGF两对；菱形；一半。39、E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EFBC，EGCD，垂足分别是F、G.求证：.简单题：连接CE，则CE=FG，再证全等即可。证明：连接CE四边形ABCD为正方形ABBC，ABDCBD45，C90EFBC，EGCD，四边形GEFC为矩形GFEC在ABE和CBE中ABECBE，AECEAECF 30、在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BECD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AFAE交CD于点F.（1）若AE=5，求EF； （2）求证：CD=2BE+DE. （第一问，EBD+ABC+BCE=

35、90，又ABC=45，所以，EBD+BCE=45，又ACF+BCE=45，所以，EBD=ACF，可得EBAFCA，得AE=AF，EF=根号2AE，；第二问，过A做AHCE于H，则EBDHAD，BE=AH ,又已证BE=CF，可证AH=FH，则结论得证。）解：（1） BECD,BAC=90ABE+BDE=90 ACF+CDA=90BDE=CDA ABE=ACF AFAE BAE+BAF=90CAF+BAF=90 BAE=CAFAB=AC ABEACF AE=AF=5 EF= (2) 作AHCD于H AE=AF EAF=90 AH=HE=HFAHD=BED=90 BDE=ADH BD=AD BDE

36、ADH DE=DH BE=AHABEACF CF=BE=AH=HF CH=2BE CD=DH+CH CD=DE+2BE 31、矩形ABCD中，AB=DC=6，AD=BC=，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上运动，设点P运动的时间是t秒，以AP为边作等边APQ（使APQ和矩形ABCD在射线AB的同侧）.(1)当t为何值时，Q点在线段DC上？当t为何值时，C点在线段PQ上？(2)设AB的中点为N，PQ与线段BD相交于点M，是否存在BMN为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.(3)设APQ与矩形ABCD重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式. （备用图1） 第一

37、问：，Q在DC上时，等边QAP的高是，；，C点在线段PQ上时，P在AB的延长线上，CBP是含60角的Rt，可求得BP，t=AB+BP。第二问：分四种情况讨论，有一定难度。解：（1） 当Q点在线段DC上时 AD=, ADQ=90, DAQ=30 DQ=x,则AQ=2x x=2 AP=4 t=4当 t=4秒时，Q点在线段DC上. 当C点在线段PQ上时，点P在AB的延长线上，由题意得BP=2 AP=6+2=8 t=8当 t=8秒时，点C在线段PQ上.（2）BMN为等腰三角形，有以下三种情况： 当MN=BN时，NMB=NBM=30 ANM=60 此时，Q点在BD上，P点与N重合 AP=AN=3 t=3 当BM=BN时，作MIAB于I BM=BN=3 BI= MI= IP= BP=MP= AP=6- t=6- 当 BM=NM时，BP=MP=NP BP=1 AP=5 t=5 综上所述，当t=3或6-或5时，BMN为等腰三角形 （3）当0t4时，s= 当4t6时，s= 当6t8时， 即 当t8时，