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1、S有上界：.,MxSxM 有有S有下界：.,LxSxL 有有S有界：.|, 0MxSxM 有有S无上界：.,00MxSxM 使使S无下界：.,00LxSxL 使使S无界：.|, 000MxSxM 使使第1页/共19页:sup S, )1( xSx有有., )2(00axSxa 使使 ., 0 )2(00 xSx使使:inf S, )1( xSx有有., )2(00bxSxb 使使 ., 0 )2(00 xSx使使第2页/共19页 理解确界的概念及其唯一性，如何证明一个数是某个数集的确界？上下确界是最大、最小值吗？ 确界原理仅在实数域内成立，在有理数域不一定成立，能举例说明吗？确界原理刻画了实数
2、域的连续性。, 2| 2QxxxS ：反例反例, 2inf , 2sup SS成成立立。确确界界原原理理在在有有理理数数域域不不在在有有理理数数集集没没有有确确界界。即即S第3页/共19页三、函数及具有某些特性的函数 几个常用函数的图形及特性(有界性、单调性、奇偶性、周期性）： sgn(x), x, D(x), R(x)。第4页/共19页练习题二、P 9. 7 P 20. 7 P 22. 12, 13, 16.一、求下列数集的确界,并给出证明。0, 3| 12 xxxS、,11| 2 NnnxxSn）（、第5页/共19页0, 3| 12 xxxS、解. 3inf ,sup SS(1) S无上界
3、对任意的数M,13, 1max0 Mx取取,00SxMx 且且则则即S无上界！.sup S故故. 3inf 2 S）（的一个下界。的一个下界。是是即即SxSx3 . 3, 第6页/共19页,3 23 . 300之间的任何实数）之间的任何实数）和和为为（或取（或取取取axaxa .,00axSx 即即. 3inf S故故,300axx 且且则则第7页/共19页,11| 2 NnnxxSn）（、解. 0inf , 1sup SS,82, 0 ,62, 0 ,42, 0 ,22, 0 S, 1, xSx.,1, 100axSxa 则则取取. 1sup 1 S）（. 1sup S故第8页/共19页0.
4、inf (2) S, 0, xSx.,0, 000axSxa 则则取取解法二 因为maxS=1, minS=0, . 0inf , 1sup SS故故第9页/共19页P 9. 3.,2|2RxxyyS 解, 222 x显然，显然，, 2, ySy有有即S有上界2。若S有下界L, 则L2,LySy 有有即即,22Lx 即即则则取取,20Lx ,220Lx ,)2(22200LLxy 矛盾！故S无下界。第10页/共19页P 9. 4（3）. )1 , 0(|内的无理数内的无理数为为xxS 解. 1sup , 0inf SS. 0, xSx显然显然分分两两种种情情况况讨讨论论：,0 a则则若若, 1
5、)1( a;,axSx 有有则则若若, 10)2( a.), 0(00axax 内的任一无理数，有内的任一无理数，有为为取取. 0inf S. 1sup S同理：同理：第11页/共19页P 9. 7(1)解.supsup,sup,supBAzByAx 故故而而,2sup,00 ByBy使使,supsup000 BAyxz从而从而.supsup)supBABA （即即.supsup)supBABA （., 1ByAxyxzBAz 有）,2sup, 0 )200 AxAx使第12页/共19页P 20. 7(1)解),(sup)()(xgxgxf,)()(sup的一个上界为xfxg).(sup)(s
6、upxgxf，证明，证明若若)()(xgxf ).(sup)(supxgxf 第13页/共19页P 22. 12(1) 证明：解),(sup)( )()()()(inf(xgxfxgxfxgxf ),()(sup)()(inf(xfxgxgxf ,)()(sup)()(inf(的一个下界为即xfxgxgxf ),(inf)(sup)()(inf(xfxgxgxf从而. )(sup)(inf)()(inf(xgxfxgxf即. )(sup)(inf)()(inf(xgxfxgxf 第14页/共19页例2 （上节课已证） f,g为D上的有界函数，证明 （1）inf f(x)+inf g(x) in
7、f f(x)+g(x), （2）sup f(x)+sup g(x) sup f(x)+g(x). 证（2）),()(sup ),()(sup xgxgxfxf),()()(sup )(sup xgxfxgxf,)()()(sup )(sup 的一个上界是即xgxfxgxf).()(sup)(sup )(sup xgxfxgxf. )(sup)(inf)()(inf()(inf)(infxgxfxgxfxgxf 第15页/共19页P 22. 13(1) 证明：解),()(inf),()(infxgxgxfxf ),()()(inf)(infxgxfxgxf ,)()()(inf)(inf的的一一
8、个个下下界界是是即即xgxfxgxf ).()(inf()(inf)(infxgxfxgxf ).()(inf()(inf)(infxgxfxgxf 第16页/共19页P 22. 16解 (1),)(sup ,)(infMxfmxf ,)( ,)(,mxfMMxfmIxx 有有.)()(mMxfxfMm .| )()(|mMxfxf 即即,)(sup ,)(infMxfmxf .| )()(|sup 00mMxfxf 证明第17页/共19页.)()(00 mMxfxf故故).)()(00 mMMmxfxf（或或 (2),2)(2 )(,2)(2)(, 0000000 mxfmxfMxfMxfIxx或或或或使使.| )()(|00 mMxfxf即.| )()(|sup00mMxfxf 综上第18页/共19页感谢您的观看！第19页/共19页
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