数列高考知识点归纳(非常全)

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1、数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数， 对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、 值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。数列的表示方法：列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法)；数列通项：an = f (n) .2、等差数列1 、定义 当nN,且n22时，总有 an* an = d,(d常)，d叫公差。2、通项公式 an =a1 +(n -l)d1)、从函数角度看 an =dn +(a1 -d)是n的一次函数，其图象是以点(1,a1)为端点，斜率

2、为d斜线上一些孤立点。2)、从变形角度看an =an+(n-1)(Y),即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。又an =a1 (n -1)d,am =a1 (m -1)d ,相减得 an -am =(n -m)d ,即 an =am +(n -m)d .若nm,则以 am为第一项，an是第n-m+1项，公差为d；若n 0时增d = 0时 常数列d 0,q 1 或 ai 0,0 q ci增；a1 1 或 a1A 0,0 q i 时减；q =1时常数列，q 0）o3、an等差.公差 d -anam. n -mSm =Sn = Sm 由=0.Sn=m,Sm=n= S = -(m+n).an等

3、比，公比q nJ . a am4、等差an共2n项，则Q偶Q奇=(ai+a3 +Illa2na)(q-1)Q偶一Q奇=nd,包=亘 Q奇an书等差an,共2n+1项，则八 八Q偶nQ奇 Q偶 an书(中工c-工;，Q奇n十1= ai(i-q2n) 1 +qQ 偶az+a4+llla2n厂q- q.Q 奇ai+%+Il|a2n5、an* u an -an_i = doai +anU Sn -n2一一 2 一u Sn = An + Bn u an = kn + b-S2n an 2n -1一 , 一一n 1an等比，公比 qu an =a1q -nai(1-q )ai -anqU Sn 1-q1-

4、qu Sn =an -1,(a 00,a #1).联系1、各项/、为0常数列，即是等差，又是等比。2、G，(nT)通项公式 an =“ .n lSn-Sn上,(n 冽3、an等差，公差 d, caO,c#1,则 cai,ca2H|can,即can等比，公比 cd.4、an等比，公比 q, an 0 (a 0,a Wi), logaJog a2,川 loga ,即log a 等差，公差 lOgaq.5、an等差,bn等比,则an bn前n项和求法，利用错位相消法6、求和方法：公式法，倒加法，错位相消法，裂项法，累加法，累积法，等价转化法等。5、递推数列表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递

5、推公式。作为特殊的函数，数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如 an41 = an+f(n)递推数列的基本方法，其中数列 f(n)可求前n项和，即an =a1+(a2-a1)+|H+(anan)；累乘法是求 形如 %+=g(n)an递推数列通项公式的基本方法，其中数列g(n)可求前n项积，即 an 二a a2 -a3ll|-an-,(a =0).ai a2 an .4第一节等差数列的概念、性质及前n项和学习好资料欢迎下载题根一等差数列an中，a6 +a9 +a12 +a15 =20，求 S20思路等差数列前n项和公式S =(a1

6、+an =na1 +n(n-1)d : 221、由已知直接求 ai ,公差d.2、利用性质 m+n = p+ q= am+an =ap+aq解牛意由 % + a9 +ai2+a15=20, a6+ ai5 = a9a ai2 ai + a20,得2(ai+ a20)=20 )，ai+a20=10,二 Sn Jaja20/20=i00。2收获灵活应用通项性质可使运算过程简化。请你试试1 11、等差数列an满足ai +a2 +HI +ai0i =0，则有 ()A、 a1 +401 0 B、 a2 +a100 n),求Sn+m的值。思路Sn, Sm, Sm卡下标存在关系：m+n=m+n,这与通项性质

7、 m + n = p+q= am + an = ap + aq是否有关?解题 由 S=a,Sm=&+a n+i +an+2+am=b得 a n+i+an+2+am =b-a,an 1aan 1 - a b - a即 _jlm(m_n)=b_a , 得m =22 m - n由(n+1)+m=1+(n+m),得 an+1+am=a1+am+na1 - am nan 1 - am z 、 b - a ,、故 Sm n =(m n) =(m n) =(m n).22m - n请你试试1 31、在等差数列an中，&=15, Sg=55,求 S15 。2、在等差数列an中，S3=1, S9=3,求 S12

8、 。第3变 已知已知前n项和及前2n项和，如何求前 3n项和变题3在等差数列an中，S10=20, S20 =40,求S30思路由 S10, S20, S30 寻找 S10, S20-Sio,S30 S20之间的关系。解题 设数列an公差为 d ,：S10= a1 +a2+a10,S20-S10=a11+ a12 十 a20 ,S30 _S20=a21+a22+|H +230,($2060) S10 =10x10d ,(S30 一S20)_(S20-S10) = 10x10d ,所以S10,S20 S0,S30 S20 成等 差数歹U，公差 100d，于是2(S20Si0)= 0+00S20)

9、,得S30 =3(S20 -S10) =3乂20=60。收获1、在等差数列an中，S,0,S20 &0,S30S20 成等差数列，即a1+a2+|+a10, a11 + a12+| + a20 ,a21 +a22 *111 *a30,成等差数列，且S30 = 3(S20 S10) 3、可推广为 S5n =5(S3n &n)，S7n = 7($4n - $3n)，S(2k)n = (2kgnSg)n 。 请你试试141、在等差数列an中，a1+a2=3, a3+a4=6,求 a7+a82、在等差数列an中,a，a2 +IM +a10 =10 , a +a12+a20 = 20 ,求 a31 +a

10、32 +IM，a403、在等差数列an中，S10=20, S20 =30,求 S50 及 S100。4、数列an中，Sn=a, S2n=b,求 S3n。5、等差数列a n共有3k项，前2k项和52k =25 ，后2k项和 S2k =75,求中间k项和S中。学习好资料欢迎下载第4变 迁移变换 重视sx=AX2+BX-丽时变题4 在等差数列an中，Sn=m, Sr=n,(mn),求Sn+m的值。思路等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，若所求问题与a1,d无关时，常设为S=Ar2+Bn形式。解题由已知可设 S n=An2+Bn=mS m=An2+Bm=n ,两式相减，得 A(n+m)(n-m)+

11、B(n-m尸m-n ,又 mn , 所以 A(n + m) + B = 1,得 Sm = A(m +n)2 +B(m +n) =(m +n) A(m + n) + B = (m+ n)。收获“整体代换”设而不求，可以使解题过程优化。请你试试1 51、在等差数列an中，S12=84, S20 =460,求 S322、在等差数列an中，Sm = Sn，(m#n),求 Sm+n3、在等差数列an中，a1A0, S0=S15,求 当n为何值时，Sn有最大值第5变归纳总结，发展提高题目在等差数列an中，$=a,Sm=b,(mn),求Sn+m的值。(仍以变题2为例)除上面利用通项性质 m - n; p q

12、= am+ an =ap +aq求法外，还有多种方法。现列举例如下:1、基本量求解：n(n -1)Sn nad2=a, Sm = ma1+ m(m-1)db, 2相减得(n -m)a1 ,m n -1d = a -b ,Sm n =(m n)a1(m n)(m n代入得Sm n(m n)(a b)on -m2、利用等差数列前 x项和公式Sx=A+Bx求解由 Sx=A/+Bx,得 S n=An2+Bn,Sm=Am+Bm两式相减，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b即 A(n +m) +B = 故 Sm+ = A(m + n)2+B(m + n) = -m(a - b)n-mn-m=A

13、n + B求解S3、利用关系式n由 Sn二 An B ns .知 Sn与n成线性关系，从而点集 n(n,Sn)中的点共线，即(n,(m, Sm ),(m+n,S0)共线，则有 m nma -nbsm n -an -msn _ sm_mn -mna -nbSm .n _ Snm n nm n -nsm nan -mn m z即 sm n(a-b).n -m4、利用定比分点坐标公式求解由 A(n,Sn ),B(m,nSm),mP(m+n, Sm n ) m n点共线，将点P看作有向线段AB的定比分点，则sn_ APPBm n -nm -(m n)(_m)同 n m1 (-m)nn n1- nn m

14、 /即 sm n(a -b) .n -m请你试试16若Sn是等差数列an的前n项和，S2=3, S6=4 ,则S12.第二节等比数列的概念、性质及前n项和求a9。题根二 等比数列an ,a5=4,a7=6,思路1、由已知条件联立，求，从而得2、由等比数列性质，知成等比数列。解题14,6由 a5 = a1q = 4, a7 = aq=9,两式相除，得2 .a9 = a7q解题2由a5, a7 ,a9成等比，得a9 =I 2J6- = 9。a54收获1、灵活应用性质，是简便解题的基础;2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。请你试试2130等比数列a n ,a 0,q = 2 ,右 a1 a2

15、 3111 30 =2 ，则 a3 a a III a。=第1变连续若干项之和构成的数列仍成等比数列变题 2等比数列an , a1+a2+a3=2,a4+a5+a6=6 ,求 a10 +a11+a12o思路等比数列中，连续若干项的和成等比数列。解题设b=a1+a2+ a3,b2= a4+a5 +a6 , ,b4= a10 + a11+ a12,则bn是等比数列，b1 =2, q =3,b4 =b1q3 =2 33 = 54 ,即 a10 +a11 +a12 =54 o收获等比数列an ,q#1时，Sk,S2k Sk,S 3-Sk2 ,成等比数列，但总有Sk ( Sk - Si) =( S k

16、- SM当k为偶数时，qk 0恒成立。 请你试试2 21、等比数列anq#1 时，S2 =2,S4 =6,求 S6。2、等比数列an , q#1 时，S2 =1,S6 =21 ,求 S4。第2变&,%,&成等差，则 9，现成等差变题3等比数列an中，S3,S9,S6成等差，则 a3,a9,a6成等差思路S3,0,S6成等差，得S3+S6 =2Sg,要证a3,a9,%等差，只需证 a3+a6=2ag。解题由S3,S9,S6成等差，得S3+S6=2S9,当 q=1 时，S3=3a1,S6=6a1,S9 =9a1,由a1 =0 得S3 + S6 /2S9,二 q。1。由 S3+S6=2S9,得ai(

17、1-q3) , ai(1-q6)2ai(1-q9)十一)1-q 1 -q 1-q整理得36936q +q =2q , I q #0 ,得 1 +q =2q ,两边同乘以 33,得a3 +a6 =239,即a3,a9,a6成等差。收获1、等比数列an中，S3,S9,S6成等差，则 32,38,35成等差。*2、等比数列an中，0,8,&成等差，则 anmam4d,ak用(其中m+d,n+d,k+d w N ,d w Z )成等差3、等比数列an中，an, 3m, 3k成等差，则3n七，3m七，3k七(其中m + d ,n + d ,k + d = N ,d = Z )成等差。请你试试2 31、等

18、比数列3n , q#1, 33,35,36成等差， 求311 +40)的值。2、等比数列3n , 31,37,34成等差，求证 2s3,S6,S12 S6成等比。第3变Sn是等比，3n也是等比数列变题4数列3n中，现#0且S1,S2,lll,Sn,| ,是等比数列，公比 q ( q*1),求证3n( n之2)也是等比 数列。思路：3n =Sn -Sn工,欲证3n为等比数列，只需证 为常数。3n 4解题Van =Sn Sn_H 3n+=Sn+-Sn , (n2),得B二&，而 Sn = Sn= q , &书=0q2,3nSn Sn况:&工q(q -D, (n2 ),故3n从第二项起，构成等比数列

19、，公比为 q 。3nSn4(q-1)第4变等比数列在分期付款问题中应用问题 顾客购买一售价为 5000元的商品时，采用分期付款方法，每期付款数相同，购买后 1个月付款一次,0.8%,每月利息按复利计算，那么每期应付款多少？(精确到1元)到第12次付款后全部付清。如果月利润为 分析一：设每期应付款 x元，则第1次付款后，还欠第2次付款后，还欠第3次付款后，还欠5000(1+0.8%)-x(元)5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)5000(1+0.8%) 2-x(1+0.8%)-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)

20、3-x(1+0.8%) 2-x(1+0.8%)-x(元)最后一次付款后，款已全部还清，贝U5000(1+0.8%) 12-x(1+0.8%) 11-x (1+0.8%) 10-x(1+0.8%)-x=0,121211101 - 1.008移项 5000(1+0.8%) =x(1+0.8%) +x (1+0.8%)+x(1+0.8%)+x, 即 x=5000x1 0081 -1.008算得x =上438.6 (元)5000 1.00812 (1.008 -1)1.00812 -1一般地，购买一件售价为a元的商品，采用分期付款时，要求在m个月内将款还至b元，月利润为p,分n (nm是m的约数)次付

21、款，那么每次付款数计算公式为x=a(1+p)rT1b(1 + P -1.(1 P)m -1分析二：设每月还款 x元，将商家的5000元折算成12个月后的钱要计算12个月的利息，而顾客第一次还的钱也应计算11个月的利息，第二次还的钱应计算10月的利息，于是得方程1211105000(1+0.8%) =x(1+0.8%) +x (1+0.8%) +x(1+0.8%)+x , 解得 x 制 438.6(兀)分析三：设每次还款 x元，把还款折成现在的钱，可得xxx5000 =x一十x声+1+x-石，解得 x%：438.6(兀)。1 0.8% (1 0.8%)(1 0.8%)将上述方法应用到其他实际问题

22、中，如木材砍伐，人口增长等。请你试试24某地现有居民住房的总面积为a m2,其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%勺住房增长率建设新住房。如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？(取1.1 10为2.6)第三节常见数列的通项及前 n项和111题卞3求分数数列 ,，,|的前n项和Sn1 2 2 3 3 4思路写出数列通项公式，分析数列特点：分母中两因数之差为常数1。1、一，一、,11解题数列通项公式 an =,亦可表本为 an =- ，n(n 1)n n 1111111 n所以 Sn =1+|l|

23、-1 =。2 2 3 n n 1 n1n1收获将数列每一项裂为两项的差，再相加，使得正负抵消。第1变分母中两因数之差由常数1由到d111变题1 求分数数列 -1-Ml的前n项和Sno1 33 55 7 思路写出通项公式，裂项求和。解题,: an(2n -1)(2n 1) 22n -1 2n 1111 1&二5 1-3 3-5 32n -1 2n 122n 1 2n 1收获1、求分数数列的前 n项和sn时，将数列每一项裂为两项的差，称裂项法。2、用裂项法可求解:（1）若an为等差数列，an #0,k =1,2,111 ,公差为d,则111 一 1十+|+一a a2a2 a3a3 a4an an

24、1a1 an 13、常见裂项法求和有两种类型:分式型和根式型。如分式型ann(n 3)根式型 an（ja -而）。另外还有:nn!=(n+1)!-n!,m-1mCn请你试试 311、求分数数列11111,1,，,，,|的前 n 项和 &2 6 12 202、求分数数列2、求分数数列1二III的前n项和SnO 42 88 4 一12 q2，q2二2，二2 72,冲，川的刖门项和Sn。 1 3 3 5 5 7 7 912 28 122 48 232 68 3第2变分母中因数由2到3、一 1变题2求分数数列一112,|的前n项和Sn。思路数列中的项的变化:分母因数由两个变为三个，是否还可裂项呢?解题

25、由an=,In(n+1)(n+2) 2 |n(n+1) (n+1)(n+2)_)IIIn(n 1) (n 1)(n 2)n(n 3)2 d 2 (n+1)(n+2)J (n+1)(n+2)收获1、分母为连续三因数的积，仍拆为两项的差，再相加，使得正负抵消。11112、对于公差为 d ( d =0)的等差数列an,有=.(-).a1 a2 11同 (k - 1)d a aHlaka2 a3(H ak请你试试 321、求分数数列 111一 的前n项和Sn o1 3 53 5 75 7 9 1112、求分数数列 111一 的前n项和Sn。1 2 3 42 3 4 53 4 5 6 11113、求分数

26、数列IHm的前n项和&。C3 c 4 c5 Cn第3变由分数数列到哥数列变题3求数列12,22,32,的前n项和Sn。思路利用恒等式(k十1)3 k3 =3k2+3k+1 ,取k=1 , 2,3 ,，相加正负抵消可解。解题由恒等式(k+1)3 k3 =3k2+3k+1取k=1、2、3,得23 -13 =3 12 3 1 133 -23 = 3 22 3 2 1 33_ 2_(n - 1)3 -n3 =3n2 3n 11 /、3 c n(n 1)(n1 = (n1)3n -13 _2各式相加得(n 1)3 -13 =3(12 22 n2) 3(1 2 HI n) n得 Sn =12 22 W n

27、2 -1(n 1)3 -3(1 2 |l n)- 31_ ：n(n+1)T -o_2-n(n +1)(2n +1)。 6收获利用恒等式(k+1)4 k4 =4k3+6k2+4k+1，类似可得 Sn = 13+23 十| 十 n3注意：正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。请你试试3 3 O . O.OQQ. .QQQ .Q求和 1 1)S =22 +42+i +(2n)2(、 S =13 +33+il +(2n 1)3( S S = 23 + 43 +1 + (2 n)3小仲 V I) Sn 24 I (2n),(2) Sn 13 I (2n I), (3) Sn24 ”1 (2n)。第4变

28、由哥数列到积数列变题4求数列1父2,2父3,3父4,的前n项和Sn。思路1写通项公式，由通项特征求解。解题 1 */an =n(n +1) =n2 + n ,222、222 Sn =(11) (22) III (n n) =(12 22 |卜 n2) (1 2 | - n)1 n(n 1) 1=-n(n +1)(2n +1) + =-n(n +1)(n+2)。6231思路 2利用 an = n(n +1) =- ln(n +1)(n +2) -(n -1)n(n +1)裂项相加。 3解题2 *an-n(n+1)4In(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)1得 sn =1 2 2 3 3

29、4 IM n(n 1)1=-1(1 2 3-0 1 2) (2 3 4 -1 2 3) I n(n 1)(n 2) -(n -1)n(n 1)131= n(n +1)(n +2)。3收获对于通项为两因数的积，可推广到通项为 k个因数的积，如求数列1 X2x3|k,2 M3H|(k+1),3x4|(k+2),的前项和 &。.1由 an =nM(n+1)M (n+k -1) =n(n +1) (n + k) (n1)n (n +k -1),将母一项裂为两项的差，k 1相加即可正负抵消。21思路3联想组合数公式，可见 cn=-n(n +1),利用组合数性质可得。222 L , .221解题 3由 a

30、n =n(n+1)=2Cn，得 Sn =2(C?+C3 +川+C0书)=2C0n(n+1)(n+2)。3请你试试34求数列1父2父3,2父3父4,3父4父5,的前n项和Sn。第4变由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列变题 5在数列an中，an =(n+1) 110 1 =n11+ n, (1)分别求出an4an0和2门+-2门0的门取值范围；(2)求数列最大项；(3)求数列前n项和8n3、利用错位相消法。思路1 、解正整数不等式，2、利用函数单调性,解题(1)由O- 11-12)+n-n a-1 naO- 111O- 11- 1 n一119-n，当 nan；当n9时即an由2,n= N

31、）求通项公式an。22ann -13nan4 n 1 n -1 21 ,2, 1 Z1 1、3_斛答 an =207=1=307 3,即,飞露弋二广飞乐-/又旷得22/1 :尸b1=3T，所以。，）七J nn 3得 an=3nq0请你试试42x*函数 f(x)=，数列an 满足 ai=1, an = f(an), (nW N ) , (1)求an的通项公式 an； (2)3x 1设 s =a1 2+a2 a3+IH+an an书，求 Sn。a 4变题 2数列an中，S1=0,an=q,(n 之 2)，求 an and -2思路1令x =4,得x1 =4,x2 = 1 ,即两不动点，可得 an*

32、 _4是等比数列, x-2an 1 1解法1-3an12an J 23(an14)一 ?an- 2令 bn =an4, 则 ( a )an-22(an1)an J., -2an.一2令 Cn =an +1 ,则 Cn = ( ban 二,12（a）式除以（b）式 得名=3 ,虫，即J bn 1是首项为b1 =a二4 = _4,Cn2 gCnGa113b -3 2 a- 一4公比为3的等比数列，b =-= a-思路22Cn2 2jan +11.1和均可化为 前+=pan +q( p # 1)型递推式, an 1 an 1 -x2解法21an4 -221=-=-an -43(an4-4)3(an

33、厂 4)3人1-2114n -41 X _2_15 20 . 3an -4则 bb_1_3_1 23一 ，1，所以 an =4 巾=411/2)一4解法 3由3 - 1一 +-,an 12 an12一一20亦可求得an =4.AJ 2)4 + 1 ：I 3 )收获求解an4=pan +q型递推数列的通项公式的方法:ran s令x = px +q ,设其两根为X1,X2即两不动点。于是rx s史史二x1是等比数列, an 1 - x2 |1并且1一和an 1 - X11均可化为an噂 = pan+q( p 01)型递推式。 an 1 - X2请你试试43写出解法3的详细过程。变题3设数列an前n项和为Sn =4an 3n+2,求an及Sn。思路将已知关系中 Sn的化为an,再进一步变形。1斛题由 Sn =4an 一3n+2 ,得 阚=44一1,即 a1= .34an =Sn Sn=4an 3n +2 4an-3(n -1) +2 =4an -4an+ 3,倚 an = an一1.3这是an = pan+q型递推式，由(#)式得1an = T1-43+1，343 1-0,an 0)型4、两边取对数，变形转化为模型an 1 = f (n)an变题 10数列an中 a1=10,an书=百，令 bn=lgan,(1)求数列bn的通项公式,(2)设T上皿,k=2 b