浙江高三数学总复习函数yAsinx与yAcosx的图象与性质一复习讲义

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1、第四节 函数y=Asin( 3 x+ )与y=Acos( 3 x+ )的图象与性质(一)-备考方向明确 方向比努力更重要复习目标学法指导1. y=Asin( 3 x+砕)的图象(1)用五点法画出y=Asin( 3 x+申)的图 象.y=Asin( 3 x+护)与 y=sin x的图象间的关 系.(3)函数 y=Asin( 3 x+护)的振幅、周期.函数y=Asin( 3 x+的的频率、相位和初 相.2. 掌握函数y=Acos( 3 x+)的图象与y=Asin( 3 x+)的图象 的联系.1.由y=sin x的图象变换到y=Asin( 3x+毋)的图象时注 意两种变换的区别：先相位变换再周期变换

2、(伸缩变 换),平移的量是|引个单位;而先周期变换(伸缩变换) 再相位变换，平移的量是叫(3 0)个单位.原因在于相 位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少 值,而不是依赖于3 x加减多少值.2作函数y=Asin( 3 x+p)的图象应注意的问题(1)首先要确定函数的定义域；对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只 要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数 的图象.3.由函数图象求解析式的方法(1) 如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数 表达式y=Asin( 3x+約中的参数A和3 ,再选取 第一 零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ 3 x+20”

3、(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得(2) 通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A, 3 ,4依据是五点法.(3) 运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数.-知识链条完善 hr把歆落的知识连起来(对应学生用书第6566页)网络构建I、y=Asin( 3 x+ )(A0, 3 0)的有关概念y=Asin( 3 x+w)(A0, 3 0)振幅周期频率相位初相AT仝f二丄T=GO3 X+W0, 30)的图象的一般步骤1. 定点：如表.X-甲co22CO2n/O3 X+0n2n3 n22ny=Asin( 3 x+申)0A0-A02. 作图,在坐标系中描出这五个关键点，用光滑

4、的曲线顺次连接这些点，就得到 y=Asin( 3 x+ )在一个周期内的图象.3. 扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y=Asin( 3 x+ )在R上的图象.三、由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin( 3 x+ )(A0, 3 0)的图象的步骤 法一法二画出y=sin x的图象卜画出y-sin x的图象 1 ! 1Fl得到y=sin(x+的图象”一！1 一得到y-sin 3 x的图象得到y=sin( 3 x+p)的图象得到y=sin（ 3 x+申）的图象媒坐标变为殴的心储1.法则理解（1）无论哪种变换，每一个变换总是针对“自变量x”而言的.即图象变换要看“自 变量X”发生什么变

5、化，而不是看角“ 3 X+ 的变化.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，左右平移的单位长度个数是不一样的.前者平移I |个单位长度,后者平移I丄I个单位 长度,原因在于相位变换和周期变换都是针对变量X而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误.（3）平移的法则是“左+右-,上+下- ” .2. 与确定解析式y=Asin（ 3 x+ ）+b中参数相关的结论（1）求 代入法.把图象上的一个已知点代入（此时A, 3 ,b已知）或代入图象与直线y=b 的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 ）. 五点法.确定值时,往往寻找

6、“五点法”中的第一个点为突破口，具体如下：选“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）时,令3 x+ =0;选“第二点”（即图象的“峰点”）时,令3 x+ j;选“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）时,令3 x+ =n ;选“第四点”（即图象的“谷点”）时,令3 x+=宁；选“第五点”时，令3 x+ =2n .求3 :因为T=2n,所以求3即求T.图象上相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T,相邻的一个最高点与最 低点之间的距离是-.2图象的相邻的对称轴(中心)之间的距离为T2 ,相邻的一个对称中心与对称轴之 间的距离为T.2温故知新1. 设函数f(x)二cos3 x( 3 0),将y=f(

7、x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则3的最小值等于(C )(A) 3 (B)3(C)6(D)9解析:由题意可知,nT=n(n N*),3 *所以 n 匕二n(n N),；：;3所以 3=6n(n Nl),所以当n=1时，3取得最小值6.故选C.2. 为了得到函数y=sin(2x- n)的图象，只需把函数y=sin(2x+ -)的图象(B )36(A)向左平移寸个单位长度(B)向右平移寸个单位长度(C)向左平移才个单位长度(D)向右平移才个单位长度解析:y=si n( 2x+ f)=si n2(x+ ),y=si n( 2x-f)=si n2(x- f)=s in 2(x-

8、亍+g),所以将y=sin(2x+ n)的图象向右平移才个单位长度得到y=sin(2x-才)的图象.故 选B.3. 如图是函数y二Asin( 3 x+ )+2(A0, 3 0)的图象的一部分，它的振幅、周期、 初相各是(C )(A) A=3,T=节,二 n(B) A=1,T=, =3n(C) A=1,T=4n, =-3n34(D) A=1,T=4n, =- n解析:由图象知,a=i, =66333需,由护尹三+2kn ,k 乙得=- 3n+2kn ,k 乙令 k=0,得;:=-3n.故选 C.444. 函数f(x)二Asin(3 x+ )(A0, 3 0,| n )的部分图象如图所示，则函数f

9、(x)的解析式为解析：由图可知A= 2,T 二 7 n n41234所以T=n ,故3 =2,因此 f(x)=2 sin(2x+).又函数图象过点(n,0)3因此 2X n+.= n +2kn,k Z,3又根据 | |0个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是.解析:y= 3cos x+sin x=2( cos x+ - sin x)=2sin(x+ n)的图象向左平移 m个单2 23位长度后，得到y=2sin(x+m+ -)的图象，此图象关于y轴对称，则x=0时,y= 士 2,3即 2sin(m+ n)= 士 2,所以 m+5=n+k n ,k 乙即 m=5+k n ,k 乙由

10、于 m0所以3 326mmin=n.6答案:n6-高频考点突破 在训练中掌握方法(对应学生用书第6668页)考点一P八、五点法作图【例1】设x R,函数y=f(x)=cos( 3 x+ )( 3 0,-寸 彳，求x的取值范围.解:(1)因为函数f(x)的最小正周期T=d = n ,o所以3=2,因为 f( n)=cos(2 x 亍+ )二cos( ；+ )二-sin二f,且-亍 -2,即 cos(2x-才) 彳，所以 2k n - n2x- n2kn + n,k Z,434贝S 2k n + 上2x2kn +D,k Z,12 12即 kn + 丄xkn +,k Z.2424所以x的取值范围是x

11、|k n +上x0,| |0)个单位长度，得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(菩,0),求0的最小值；(3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到解：(1)根据表中已知数据，解得A=5, 3 =2,=-,数据补全如下表：63 x+0可知,当k=1时,0取得最小值-.6把y=sin x的图象上所有的点向右平移n个单位长度，得到y=sin(x- n)的图6 6象，再把y=sin(x- n)的图象上的点的横坐标缩短到原来的-(纵坐标不变),得到6 2y=sin(2x- n)的图象，最后把y=sin(2x- n)上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍6 6

12、(横坐标不变),即可得到f(x)=5sin(2x-n)的图象.6考点二函数 y二Asin( 3 x+ ：:)(A0, 3 0)的图象变换【例2】(1)将函数f(x)=2sin(2x+寸)的图象向右平移(0)个单位，再将图象 上每一点的横坐标缩短到原来的寸(纵坐标不变),所得图象关于直线x=亍对称， 则的最小值为()(A) 1 n (B) 1 n (C) ? n (D) 3 n8248 将函数y=cos(2x+ )的图象沿x轴向右平移_”后，得到的图象关于原点对称6则的一个可能取值为()(A) - n (B) n (C) n (D) 52解析：(1)将函数f(x)=2sin(2x+n)的图象向右

13、平移(0)个单位，可得函数y=2sin2(x-)+ n=2sin(2x+ -2 )的图象，再将图象上每一点的横坐标缩短到44原来的!(纵坐标不变),可得函数y=2sin(4x+寸-2 )的图象；再根据所得图象关于直线x=匸对称，可得n + -2 =k n + - (k Z),即二3/-* 乙所以的最小4 4282值为竺,故选D.8 将函数y=cos(2x+ )的图象沿x轴向右平移匸后,得到的图象对应的解析式为6y=cos2(x- n)+ =cos(2x- - + ).再根据得到的图象关于原点对称，则-+ =k633n + n,k 乙即=kn +2,k 乙结合所给的选项，故选D.2 6(1)解决

14、三角函数图象变换问题，应先把变换前后两个函数化为同名函 数,然后找出它们的不同，指出实施的变换.(2)平移变换要注意平移量和平移方向，其实质是点的坐标的变换，横坐标的变 换对应着图象的左右平移，纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移.将函数f(x)=sin(2x+0 )(- n 0 0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x),g(x)的图象都经过点P(0,身)，则的值可以是(B )(A) * (B)(C) n (D)丄3626解析：因为函数f(x)的图象过点P,所以0 =才,所以f(x)=sin(2x+才).又函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)=sin2(x-)+日

15、的图象，所以 sin( n-2 )=身,32所以可以为生故选B.6考点三 求函数 y=Asin( 3 x+)+b 的解析式【例3】(1)函数f(x)=Asin( 3 x+ 0 )(A0, 3 0)的部分图象如图所示，则f(x) 等于()(A) 2sin(2x-上)6(B) 2 sin(2x- n)(C) 2 sin(4x+ n)(D) 2sin(4x+ 上)6_匹1/ 12 已知函数f(x)=Asin( 3 x+ ),x R(其中A0, 3 0,0 0, 3 0)的解析式的步骤(1) 求A,b,确定函数的最大值 M和最小值m,则a二S,b=吒.2 2(2) 求3,确定函数的周期T,则3 =各(

16、3) 求,常用方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. 五点法：确定值时,往往寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.已知函数f(x)=Atan( 3 x+ )( 3 0,| |亍),y=f(x)的部分图象如图，则f(咳)等 于(B )r1 丿11i11r111rI(A)2+ 3(B) 3 (C)山(D)2- 33解析:由图象可知T=2(K-n)二二8 8 2所以3=2,所以 2X n+ =k n + n,k 乙得.=上+k n ,k Z,824又I l0)3与g(x)=cos(2x+)的对称轴完全相同,为了得到h(x)

17、=cos( 3x+扌)的图象,只需 将y=f(x)的图象()(A) 向左平移亍个单位长度(B) 向右平移寸个单位长度(C) 向左平移才个单位长度(D) 向右平移n个单位长度2解析：因为对称轴一样，所以两个三角函数的周期必定一样，即3 =2,所以f(x)=sin(2x+ n),h(x)=cos(2x+ n)=sin2(x+ -)+ 习，故得到 h(x)的图象仅需将3343y=f(x)的图象向左平移才个单位长度，故选A.沁 (1)忽略函数名称的不同，误以为同名三角函数之间的变换;(2)忽略系数3的存在,误将x的变换认为是3 x的变换.(磁迪蜒已知函数f(x)=sin(3 x+ )( 3 0,| n

18、)的最小正周期是n ,若将f(x)的图象向右平移n个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(B )3(A) 关于直线x=右对称(B)关于直线x=1n对称(C)关于点(右,0)对称(D)关于点(5n,0)对称 解析：因为f(x)的最小正周期为n , 所以匕=兀,3 =2,所以f(x)的图象向右平移匸个单位后得到g(x)=sin2(x-)+ =sin(2x-勺+)333的图象，又g(x)的图象关于原点对称，所以-3+ ,k Z,3所以.u+k n ,k 乙3又| n,所以二丄，23所以 f(x)=sin(2x-n).3当x=丄时,2x- n=- n所以A,C错误;1236当x=*时,2

19、x- n=上，所以B正确,D错误.故选B.1232一解题规范夯实 左平凡的事情上特益求精(对应学生用书第6869页)三角函数图象【例题】 已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到： 先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的 图象向右平移n个单位长度.2(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；已知关于x的方程f(x)+g(x)=m 在0,2 n )内有两个不同的解a , 3 .a.求实数m的取值范围;2b.证明:COS( a - B )=竺-1.5(1) 解:将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2

20、倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象，再将y=2cos x的图象向右平移才个单位长度后得到 y=2cos(x- n)的图象，故 f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=k n +(k Z).2(2) a.解:f(x)+g(x)=2sinx+cos x= .5( ；sin x+；cos x)= 5sin(x+ )(其中 sin= 5，cos =25).依题意知，sin(x+)=:在0,2 n )内有两个不同的解a , 3 ,当且仅当| ；|1,故m的取值范围是(-5, 5).b.证明：因为a , 3是方程5sin(x+ )=m在0,2 n )内的两个不同

21、的解，所以 sin( a + )= m ,sin( 3 + )= m .当 1 m5 时，a + 3 =2(n-),即 a + = n -( 3 + );当-5m0, 3 0)的图象的一段.I.*2T5 Ji加石(1)求其解析式； 若将y=Asin( 3 x+ )的图象向左平移个单位长度后得y=f(x),求f(x)的对6称轴方程.解：(1)由图象知A= 3,由“五点法”列方程组 解之二2n得I 3所以所求解析式为y= 3sin(2x-字).f(x)=3sin2(x+ 书-2n= 3sin(2x-卫),633令 2x- n=n+kn (k Z),则 x=2 n +Tk Z),122 八所以f(x

22、)的对称轴方程为X=2 n +B(k Z).12 2【规范训练2设关于x的方程3 cos x+sin x+a=0在区间(0,2 n )内有相异的 两个实根a , B .(1)求实数a的取值范围;(2)求a +B的值.解：(1)原方程可化为sin(x+)=-,作出函数y=sin(x+ n)(x (0,2 n )的图象.323由图知，方程在(0,2 n )内有相异实根a(3的充要条件是即-2a- 3 或-3 a2.(2)由图知,当-3a2,即-a (-1,仝)时,直线y二里与三角函数y=s in(x+)的2223图象交于C,D两点，它们中点的横坐标为1 n ,6所以 =二2 6所以a + 3 =当

23、-2a0, w 0)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为(B )(A) y=2si n( 2x+ n)3(B) y=2si n( 2x+ 2n)3(C) y=2sin( f-f)(D) y=2si n(2x- n)解析:由题图可知a=2, - =5n-(- -)= n2 12 12 2所以 T=n , 3 =2,所以 f(x)=2sin(2x+),又 f(-上)=2sin(- n+ )=2,12 6即-/+ .n+2kn ,k Z,6 2所以=+2kn (k Z),结合选项知选B.34. 已知函数f(x)=Asin( 3 x+ )(A0, 3 0,| n )图象的最高点的纵坐标是 4,相邻的

24、两对称中心距离为n,图象经过点(,0),贝間数f(x)的解析式2 6为.解析:由题意知A=4,T=2X=n ,2所以2n= n ,则3 =2,co所以 f(x)=4sin(2x+).又函数图象经过点(丄,0),6所以 4sin(2 x n+ )=0,6所以+ n=kn (k Z),3所以=kn - n(k Z),又|0, 3 0,| n)的部分图象如图所示，若 Xi,X2 (- n, n),且 f(x 1)=f(x 2),则 f(x 1+X2)等于(D )63(A)1 (B)2 (C) -1 (D) f解析:观察图象可知,A=1,T= n , 所以 3=2,f(x)=sin(2x+).将(-n

25、,0)代入上式得sin(- n+ )=0,63由 | | n,得=n,23则 f(x)=sin(2x+亍).函数图象的一条对称轴为X=A =-.2 12又 x1,x 2 (- n n),且 f(x 1)=f(x 2),63所以却呂二n ,所以Xi+X2= n,2 12 6所以 f(x i+X2)=sin(2 x n+n)=.故选 D.6327. 已知直线y=b(b0)与曲线y=f(x)二sin(2x+寸)在y轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b的值是.解析：设三个横坐标依次为为-x2 = n由图及题意有X2 x2 n解得X2= 2n ,23X2=XlX3,所以 b=f( 2n)=- 2.答案:-12