第二十一章二重积分

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1、第二一章重积分1二重积分概念1. 把重积分蝌xyds作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=0,1?0,1并D用直线网x=-,y=丄(i,j=1,2,川n-1)分割这个正方形为许多小正方形，每一nn小正方形取其右上顶点为其节点。证明：蝌xydxdy=lim邋-鬃2=lim4n(n+1)=-Dxi=1j=1nnnxn442. 证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积，贝Uf(x,y)在D上有界。证明：假设f(x,y)在D上可积，但在D上无界。则对D的任一分割T=S1,S2,|l(Sn,f(x,y)必在某个小区间Sk上无界。,I=蝌f(x,y)dxdy,D当i1k时，任取pi蝧i，令G=?f

2、(Pi)Sii1k由于f(x,y)在Sk上无界，即存在Pk蝧k使得|f(Pk)；1+G。从而Lskn邋f(Pi)Lsii=1f(Pi)ii)+f(Pk)Sk硈f(Pk)_k-i构k?f(Pi)sk2+1.ik(*)另一方面，由于f(x,y)在D上可积，取e=1，故存在d0，对任意D的分割T二S1,S2,川川Sn当TS时,nT的任一分？f(PiLOi)都满足i11n?f(pjLoi-I0则存在0,1对一切p(x,y)?Di，其中(Di二U(P0,3?D)，有f(x,y)-f(Xo,yo)0而f(x,y)在有界闭域D上非负连续，则有1蝌f(x,y)d卢蝌f(x,y)do+蝌f(x,y)dc?-f佻

3、小金o其中(表示DDiD-Di2为Di的面积)5.若f(x,y)在有界闭区域D上连续，且在D内任一子区域DiD上有蝌f(x,y)d(r=0则在D上f(x,y)o0.d证明：用反证法：假设在D内存在一点p0(x0,y0)使f(x0,y0)10，不妨设f(Xo,y)0。则存在S0。使得一切(x,y)?Di(其中(Di=U(Po,6?D)，1 1、有f(x,y)f(xo,y)0。这时，蝌f(x,y)d(/?-f(xo,Yo)Sd10，这与2Di2题设蝌f(x,y)dc二0产生矛盾(Sd1表示为D1的面积)d21.2直角坐标系下二重积分的计算1.设f(x,y)在区域D上连续，试将二重积分蝌f(x,y)

4、ds化为不同顺序的累次D积分：(1)D有不等式y3x,ya,x?b(0a0)所围成的区域；y2)dc,其中D=(x,y)|0#x1,、x#y2x蝌xy2ds,其中D由抛物线y2=2px与直线x=D蝌(x2+D蝌皐蝌vxdc其中D=(x,y)|xD(a0),其中D为图中的阴影部分+y2?x5_p_21j、一一128蝌(x2+y2)dxdy=蝌dxx(x2+y2)dy=?0(x2+-x2)dx=云蝌xy2dxdy=Dy2dyp_p22y2p12-xlxxxdx=y2(号)2-H)2dy=2-p22p157-：2+-3蝌二aa-a2-(x-a)21aa皿0甘dy=?0(甘x-a2ix一2xdy=2?

5、x、1-xdx=蝌TXdxdy=蝌d.一8-、x)dx=(2.2-)a33. 求由坐标平面及x=2，y=3，x+y+z=4所围的角柱体的体积;解：V=蝌zdxdy=蝌(4-x-y)dxdy=蝌dD132x0(4-x-y)dy+蝌dx0(4-x-y)dy=5563格林公式曲线积分与路线的无关性1.应用格林公式计算下列曲线积分：(1) B(x+y)2dx-(x2+y2)dy，其中L是以A(1,1),B(3,2),C(2,5)为顶点的三角形，方向取正向；(2) Qb(exsiny-my)dx+(excosy-m)dy,其中m为常数，AB为由(a,)到(,)经过圆x2+y2=ax上半部的路线。1解：(

6、1)AB的方程：y二(x+1)(1#x3);2BC的方程：y=-3x+11(2#x3)；CA的方程：y二4(x-3)(1#x2)。222抖PP=(x+y),Q=(x+y),-=-4x-2y抖(y则三角形域S被分成两部分和S2。原式=蝌(-4x-2y)dxdy=蝌(-4x-2y)dxdy+蝌(-4x-2y)dxdySs23-x+31x1(-4x-2y)dy(x+1)2S2Bldxx-1(x+1)23(-4x-2y)dy+蝌d=-463连接点O(O.O)与点A(a.0)，构成封闭路线AOA，在险段OAy二0,dy=0.于是Qaqb(exsiny-my)dx+(excosy-m)dy=0AOAAOA

7、BAO、由格林公式2my)dx+(excosy-m)dy=?mdxdy=-mpa-22CjD:x2+y2?ax因此原式=a282 .应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积:(1) 星形线：x=acos31,y=asin31;(2) 双扭线：(x2+y2)2=a2(x2-y2)解(1)有图的对称性可知ydx32ydx323a2p222sin2tdt=o(2)令x=r(q)cosq,y=r(q)sinq，可得x=acosq、cos2q,y=asinq.cos2q利用图的对称性,p刁22acos2qdq=ao(1)(1.1)、0.0)(1.1)(2)Q.0)(3)(1Q.(6.8)(4)Q.0)(1

8、.2)(5)Q.1)解:(1)(x-y)(dx-dy)ydx-xdy，沿在右半平面的路线;证明：若L为平面上封闭曲线，I为任意方向向量，贝Ucos(|,n)=0，其中n为曲线L的外法线方向。证：设(n,x),(l,n),与(l,x)分别表示外法线与x轴正向、I与外法线n以及l与x轴正向的夹角，则(l,n)=(n,x)+(l,n).cos(l,n)二cos(l,x)cos(n,x)+sin(l,x)sin(n,x)，cos(n,x)ds二dy-sin(n,x)ds二dx于是蝌cos(l,n)ds二匚-sin(l,x)dx+cos(l,x)dy，其中cos(l,x)与sin(l,x)是常数.由格林

9、公式，有Rcos(l,n)ds二0求积分值I二Rxcos(n,x)+ycos(n,y)Jis其中L为包围有界区域的圭寸闭曲线，n为L的外法线方向。解：设T为L的切线方向，S为区域Dde面积，I=蝌xcos(n,x)+ycos(n,y)ps=xcos(T,y)+ycos(T,x)ds=?xdy-ydx=2S3. 验证下列积分与路线无关，并求它们的值：22(2xcosy-ysinx)dx+(2ycosx-xsiny)dy1)x2xdx+ydy沿不通过原点的路线；2.2x+yj(x)dx+y(y)dy,其中j(x),y(y)为连续函数.P(x,y)=x-y,Q(x,y)=y-x.抖P=-1,=-1则

10、抖P=Q抖yx则抖y故积分与路径无关。、(1.1)(1.1)取路线y=x，有蝌(x-y)(dx-dy)=0(dx-dy)=0(0.0)(0.0)22(2)P=2xcosy-ysinx,Q=2ycosx-xsiny;Q=-2xsiny-2ysinx,=-2sinx-2xsinyx抖-二,则积分与路径无关，取(0.0)到(x,y)折线，抖/x(x,y)22(2xcosy-ysinx)dx+(2ycosx-xsiny)dy1(0.0)(x,0)=蝌蝌2xdx+x=蝌2xdx+2_=ycosx+xcosy/c、y1抖(3)P=,Q=-,=xx抖/蝌.2)11=(1.2)d(-Y)=-上艮Dx2(2.1

11、)xxx,y2(2ycosx-xsiny)dy(x.0)y2o(2ycosx-xsiny)dy2Q1二飞.积分与路径无关，且xxy(1.2)_(2.1)-蝌当(x,y)?(0.0)时,d(#)=xx：彎是全微分.x2x+y故积分与路径无关(6.8).j原式=Q0)d(、x2+y2)=.x2+y2|需)=9(5)x因j(x)W(y)为连续函数，则F(x)=蝌j(u)du与G(y)=分别是j(x)和W(y)的原函数，于是dF(x)+G(y)=dF(x)+dG(y)=j(x)dx+(y)dy故与路径无关则(1.2)q1)j(x)dx+y(y)dy=F(x)+G(y)12=蝌(x)dx+1W(y)dy

12、6.求下列全微分的原函数：(1)(2)y1W(r)dr(2.2)=F(1)+G(2)-F(2)-G(1)2222(x+2xy-y)dx+(x-2xy-y)dyexey(x-y+2)+ydx+exey(x-y)+1dyy(3)f(、.x2+解(1)：2P=x+2xy-)xdx+f(.、x2+)ydyU(x,y)=(丸,y)2y,=2x2xy2.華=,)x-xym故与路径无关:其原函数y)(x2+2xy-y2)dx+(x2-22xy-y)dy=x2x+x02y22xy-y)dx+?(x-2xy-y0y2)dyx2y-xy2-y3+C3P=exey(x-y+2)+y,Q=exey(x-y)+1，矿Q

13、=exey(x-y+1)+1,故积分与路径无关，其x.(x,y)蝌蝌exey(x-y+2)+ydx+exey(x-y)+1dy=(1-eyy)dy+?exey(x-0y+2)+ydy=(x-y+1)ex+y+yex+1(3):P=fGx2+y2)x,Q=fGx2+y2)y,抖=f弓2,故积分与路径无关抖yx也+y令du=fG,x2+y2则原函数U(x,y)二q)xdx+仏b)ydy=2f(E)d(x2+y2)1tx2+y2)d(x2+y2)7.为了使曲线积分qF(x,y)(ydx+xdy)与积分路线无关，则可微函数F(x,y)应满足怎样的条件？解：P=yF(x,y),Q=xF(x,y).则积分

14、与路径无关的等价条件是抖Q=P:耳=y.即xFx(x,y)=yFy(x,y)4二重积分的变量变换1.对积分蝌f(x,y)dxdy进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分:D(1) 当D为由不等式a2?x2y23b2,y0所确定的区域；(2) D=(x,y)|x2+y23y,x0(3) D=(x,y)|0#x1,0?xy?1解:(1)令xrcosq,则将d变成d=(r,q)|a#rb,0#qp?y=rsinq,IaP从而蝌f(x,y)dxdy=蝌f(rcosq,rsinq)rdrdq=蝌drqrf(rcosq,rsinq)dqDD(2)令Xrcosq,则将d变成d=(r,q)|0#qsinq

15、,从而?y=rsinqp.sinq蝌f(x,y)dxdy=蝌f(rcosq,rsinq)rdrdq二蝌dqrf(rcosq,rsinq)drDD1p=蝌dr2rf(rcosq,rsinq)dq.*0arcsinr人彳x=rcosq,(3)令了.?y=rsinq,PP-#q,0#rcosq1,0?r(cosqsinq)?1,则蝌f(x,y)dxdy=蝌dqDsecq)rf(rcosq,rsinq)dr+蝌dqQcosq+sinqrf(rcosq,rsinq)dr=蝌2drPiprf(rcosq,rsinq)dr+蝌2dr-4Tpp21rf(rcosq,rsinq)dq+蝌+arccos_4.2P

16、.-arcsin4P-424dri2rrf(rcosq,rsinq)dq1+蝌dr22.用极坐标计算下列二重积分：(1)蝌sinx2+_y2dxdy,其中D=(x,y)|p2?D-arccos.P4x2,i4f(rcosq,rsinq)rdqy2?4p2；解：令rcOsq,将D变换成极坐标平面下区域?y=rsinq,D=(r,q)|0#q2p,p#r2p则蝌sinx2+y2dxdy=D2prsinrdr=2pp2p2rcosr+sinr|p=-6p蝌r(cosq+sinq)rdrdqd3p4(cosq+sinq)4dq4cosq+sinq=蝌4dqo43p-4318(+2sin2q-?cos4

17、q)dq=-(3)蝌|xy|dxdy,其中D为圆域：x2Dr2(sinq+cosq)dr=p蝌f(t)dt=-3蝌|xy|dxdy=蝌|rcosq鬃sinq|rdrdq=D=-=2|sin2q|dq?(4)蝌f(x2+yar3dr02)dxdy,其中D为圆域1蝌|sin2q|r3drdq2Dx2+y2?R2.D解：令?x=则蝌f(x2+Drcosq,极坐标平面下区域D=(r,q)|O#qrsinq,y2)dxdy=蝌f(r2)rdrdq=蝌卩dq2p,0#rR,(r2)dr蝌(x+y)dxdy,其中D=(x,y)|x2+y2?xy;D解：令/rcosq，由方程x2+y2=x+y可知y|(00)

18、=1,则极坐标下区域?y=rsinq,!4禳；ad=I|r,q)|-#qsinq+cosq.则蝌(x+y)dxdy=1铪4d3pR2p24costdt=0解：令?x=rcosq,将。变换成极坐标平面下区域?y=rsinq,+y2?a2;D=(r,q)|0#q2p,0#ra,则=pQf(t)dt=p轾(R2)-f(0).3.在下列积分中引入新变量u、v后，试将它化为累次积分:22-x蝌dxf(x,y)dy,若u=x+y,v=x-y;亠01-x由得XX?u.(u+v)21(u-v)2则变换后的区域D=(u,v)|1#u2,-u#v4-u12121212?(x,y)=，?(u,v)犏(u+v),*(

19、u-v)dv.12f(x,y)dy=-蝌d(2)蝌f(x,y)dxdy,其中D=(x,y)|x+、科3a：D44若x=ucosv,y=usinv;解：在变换x-?y=4cosv4sinv2-xlx1-x24-ulu-u,x0,y?0.?(x,y)=?(u,v)蝌f(x,y)dxdy=4蝌dv4ucosv“禳亠下，区域D为|u,v)10#ua,0usinv铪-4ucos3vsinv4usin3vcosvpa334.4ousinvcosvf(ucosv,usinv)du=4usin3vcos3vDa=4蝌dv(3)蝌f(x,y)dxdy，其中D=(x,y)|x+y3a,xD解：由x+y=u,y=u

20、v,将D变换成D(u,v)|0#ua则蝌f(x,y)dxdy=蝌f(u-uv,uv)ududv=蝌duP2usin3vcos3v?f(ucos4v,usin4v)dv.00,y?0.若xy=a,0#v1,|J=1f(u-uv,uv)鬃dv0D1a=蝌dvof(u-uv,uv)鬃du.4.试作适当变换，计算下列积分：(1)蝌(x+y)sin(x-y)dxdy,D=(x,y)|0?xy#p,0x-y?p;D11解令x=(u+v),y=(u-v),22则D色(u,v)10#u1p,0#vp,心匕1蝌(x+y)sin(x-y)dxdy=蝌usinv-dudv于是DD21P12udusinvdv=p.u

21、,y=uv.1-v-uvuy(2)蝌ex+ydxdy,D=(x,y)|x+y3,x0,y?0.D解令x=v-u,y=u,则D0(u,v)|0#uv,0#v,J(u,v)=1.yu于是1蝌ex+ydxdy=_蝌evdudv=DD010vuduev1=2(e-1).5求由下列曲面所围立体V的体积:(1)V是由z=x2+y2和z=x+y所围的立体;解立体V在平面上投影区域为：D=(x,y)|x2+y2?xy,1+rsinq,21+rsinq,2则D0=(r,q)|0#q2p,0#rV=蝌(x+y)-(x2+y2)dxdyD1所以=蝌(-r2)rdrdqD022R212p=蝌dq02(2-r)rdr=

22、-.2222(2)V是由曲面z=+和2z=+所围的立体494922解：体V在平面上的投影区域为D:+?4.496.求由下列曲线所围的平面图形面积：(1)x+y=a,x+y=b,y=ax,y=bx(0ab,0a/a2cosq+b2sin2qJ=abr,所以2pSD=蝌dxdy=蝌abrdrrv=ab蝌dqDD0Ja2cos2q+b2sin2qrdr0122=尹p(a+b)(3)解；圆x2+y2=a2与双纽线(x2+y2)2=2a2(x2-y2)在第一象限交点为令p-brcosjy=rsinj,a#r_2acos2jpS=4蝌dj2acos2jrdrop=26dj(2a2cos2ja2灿5三重积分

23、1计算下列积分：蝌？(xy+z2)dxdydz,其中V=-2,5?3,3?0,1;V(2)蝌？xcosycoszdxdydz其中V=0,1创犏号臌臌2,蝌？dxdydz3,其中V是由x+y+z=1与三坐面所成的域;蝌蝌-(1+x+y+z)3(4)蝌？ycos(x+z)dxdydz,其中V是由y=，x,y=0,z=0及x+z=V2所围成的区域解25315(1)蝌蝌(xy+z)dxdydz=2dx蝌dy(xy+z2)dz=蝌dxV31(xy+-)dy=14;31pTcoszdz=-;2(2)蝌蝌xcosycoszdxdydz=xdx蝌cosydy(3)积分区域如图21-18,dxdydz3(1+x

24、+y+z)1-z1-x-zdx?0蝌？V1=蝌011=2蝌dz轾犏臌1+x+z)51-zdy(1+x+y+11._dx4z)31=(In2-2(4)积分区域如图21-19。蝌?ycos(x+z)dxdydzVp.x=蝌dx0P-x1ydy蝌cos(x+z)dz=2.试改变下列累次积分的顺序。1蝌血x(1-2sinx)dx=16(1)1-xx+y0dy?0f(x,y,z)dz；V(2)(1)三重积分积分区域如图所示,V=(x,y,z)0#zx+y,0#y1-x,0#x1体V在xoz平面上的投影Dzx=(X,z)0#x1,0#z1贝U11-xx+y蝌dx0dy?0f(x,y,z)dz=110dz蝌

25、dy1x1-x111-x1z1-y蝌dxodz蝌f(x,y,z)dy+dx蝌dz乙xf(x,y,z)dy=蝌dzdy蝌f(x,y,z)dx+dx(2)三重积分积分区域如图所示。V=(x,y,z)0#zx2+y2,0#y1,0#x1,体在xoz平面投影Dxz=(乙x)0#z1+x2,0#x1442+2蝌dx0dy?0yf(x,y,z)dz2=蝌1dx0dz蝌1f(x,y,z)dy+dx蝌x2x2dz12f(x,y,z)dy,2-x2=蝌dzJ厂dx0f(x,y,z)dy+vz蝌2dzo1.dxf(x,y,z)dy+蝌dz右dx?1f(x,y,z)dyVz-x2g1vz-x23.计算下列三重积分与

26、累次积分：(1)蝌?dxdydz，其中V由x2+y2+z2?r2和x2+y2+z2?2rz所确定;1蝌dx1-xJ2-X2-y220dy?Fzdz.解：（1）用平行于xoy平面去截积分区域V,截面为:2D-i:x+2y?2rz2D2:x+y2?r2所以蝌？dxdydz=蝌2dz蝌Z2dxdyDirrdz蝌Z2dxdy2D2r=p蝌z2(2rz-z2)dz+Prz2(r2-2z2)dz=595480Pr.因为V在xy平面上的投影区域D=(x,y)|0#y,1-x2,0#x1.乙(x,y)=、.x2+y2,Z2(x,y)=、2-1所以蝌dx1所以蝌dx1-x22-x2-y220do记p=蝌dq1.

27、-2-r20rdr蝌z2dz=r|-3r2)2-r3dr1(2-r2)2-50=討2-1).154.利用适当的坐标变换，计算下列各曲线面所围成的体积:(1)z=x2+y2,z=2(x2+y2),y=x,y=x2;(2)解(1)所以2+鼢+骣極=1(x吵0,y0,z?0,a0,b0,c0).因为V由两个旋转抛物面，平面y=x和母线平行于z轴的柱面y=x2所围成，V在xy平面上的投影区域D=(x,y)|x2#yx,0#x1.222Z1(x,y)=x+y,Z2(x,y)=2(x+y2),V=蝌蝌dxdydz=Vsinq严dr2r2Psinq2rdz=蝌dqJr3drP4814sin4qsecqdq=

28、-423tanq(1+tanq)dtanq=-35?(x,y,z)?(r,j,q)Sx=arsinjcos2q,y=brsinjsin2z=crcosj,q,hp-2p-22asinjcosq2bsinjsinqccosj.2arcosjcosqbrcosjsin2q-crsinj-2arsinjcosqsinq2brsinjsinqcosq02=2abcrsinjsinqcosq,V=蝌蝌!xdydz=Vpp022abcsinjdj蝌sinqcosqdq01血=扣5.设球体积x2+y2+z2?2x上各点的密度等于该点到坐标原点的距离。求这球体体积的质量。密度函数f(x,y,z)2+x+,则z

29、球体M=蝌？Vxy2+z2dxdydz，应用球面坐标变换x2+y2+z2?2xV:x2+y2+z2?2x变成V6=|lr,q,J)|-#qP,0#Jp,0#r2sinJcosqpp2sinJcosqpp2sinJcosq所以M=蝌dqodJ?35rsinJdr=p86重积分的应用1.求曲面az=xy包含在圆柱x2+y2=a2内那部分的面积.解:设曲面面积为s,由于，十？则蝌(1+(彳)2+(|)2dxdy,其中D:x2+y2?a2.由广义极坐标变换，得2p12222p12蝌dqar.1+rdr=a蝌dqqr.1+rdr=2p(2-1)a2.S=S=3披xzy2.求锥面z=,x2+y2被柱面z2

30、=2x所截部分的曲面面积。解：曲面在xOy平面上的投影区域D:x2+y2?2x,而则S=蝌d(1+(H)2+(_y)2dxdy=72蝌dxdy=V2x.3.求下列均匀密度的平面的平面薄板重心：2土31,y0;2(1)求椭圆令+a解：设重心坐标为(x,y),由对称性x=0,蝌rydxdyy=D二；bp蝌ydxdy蝌rdxdyabpddr1224b=蝌dqabrsinqdr=.ab盯03p蝌rydxdyDy=-=蝌rdxdy-2ha-聶)h蝌ydxdy(a+b)hb+2a-h.3(a+b)h-(y-h)+aydyLi(x):y=其中，L2(x):y=2h骣a亠，b7alx+2尹，2h骣a+x-+h

31、.a-b桫2r4.求下列均匀密度物体的重心：(1)z?1x2-y2,z?0;解设物体重心坐标为（x,y,z）,由对称性知，x=y=0,4b则重心为（0,上）3p（2）高为h，底分别为a和b的等腰梯形。（x,y），由对称性x=0,蝌?zrdxdydzVz=蝌？rdxdydzV1坐标为(0,0,).311-r2zdz2p11-r2蝌dq0rdr?0dz2p蝌dq0rdr?01-（应用柱面坐标变换）3，所求重心（2）由四面体的重心坐标为（x,y,z）,由于物体为均匀密度，且V二蝌?dxdydz=V112,_-.所以，x=v蝌蝌xdydz=0xdx蝌2dy_11y=V蝌蝌xdydz=V1-x11V00

32、dz=1x+2y+14dx蝌2ydyx+2y+1dZ=?解：设重心坐标为Fz=kr蝌x2+y2?R2p=krcdq0)处的单位质量的引力；解由对称性，引力必在z轴方向上因此Fx=0,Fy=0,C3 dxdy均匀柱体x2+y2#a2,0z?h对于点r(0,0,c)(ch)处的单位质量的引力；解由对称性，Fx=O,Fy=O,FZ=Kr蝌VFZ=Kr蝌VZ-C3dxdydzX2+Y2+(2-C)222pah=kr蝌dqordr?。空2dzl+(z-c)2=2pSa2+c2-Ja2+(h-c)+hk?r,故F=f,0,2Kpr轾北Ja2+(h-+J故F=f,0,2Kpr轾北Ja2+(h-+J22、a+c均匀密度的正圆锥体（高h,底半径R）对于在它的顶点处的质量为m质点的引力；解由对称性知Fx=Fy=0,只需求Fz,设顶点坐标为（0,0,h),Fz=km蝌？V(Z-h)3dxdydz,轾2+y2+(z-沪由柱坐标变换（体V面在XOY投影区域D:X2+Y2?R2）,hFZ=KMr蝌(z-h)dzhFZ=KMr蝌(z-h)dz2prrdq?3dr00!h(z-h)F2kmrh(R2+h2-h)则引力为犏.R2+h2犏2kmrh0,(R2+h2-h)R2+h2蝌dx0dy?0+yf(x,y,z)dz;