福建师范大学21秋《常微分方程》平时作业2-001答案参考93

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1、福建师范大学21秋常微分方程平时作业2-001答案参考1. 函数y=6x-5-sin(ex)的一个原函数是6x-cos(ex)。( )A.正确B.错误参考答案：B2. 集合A=2，3，4，5，6表示( )A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参考答案：B3. 试用常数变易法求方程 y-y&39;-2y=ex-2xex的一个特解试用常数变易法求方程y-y-2y=ex-2xex的一个特解相应齐次方程的通解是 y=C1e2x+C2e-x 要得到非齐次方程的通解，

2、C1、C2不能是常数，而令y=u1(x)e2x+u2(x)e-x，出现两个待定函数u(x)、u2(x)，需要两个独立方程，其中一个是y应当满足原题所给方程另一个可以由我们自由确定由 y=u(x)e2x+u2(x)e-x+2u1(x)e2x-u2(x)e-x 令 e2xu1(x)+e-xu2(x)=0 (1) 这时，y=2u1(x)e2x-u2(x)e-x， y=4u1(x)e2x+u2(x)e-x+2u1e2x-u2e-x 代入题中的非齐次方程，得 2u1e2x-u2e-x=ex-2xex (2) 联立(1)、(2)，解之得 3e2xu1=ex-2xex 3e-xu2=2xex-ex 求得u1

3、，u2各一特解为 故得所求方程的一个特解为 =xe-x本题介绍求二阶线性非齐次方程特解的常数变易法请与上题比较两种常数变易方法的异同点，并用待定系数法求本题的通解 4. R为含幺环，a，bR，且a-1，b-1R，证明：(ab)-1=b-1a-1R为含幺环，a，bR，且a-1，b-1R，证明：(ab)-1=b-1a-1(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aa-1=1 (b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1b=1 于是b-1a-1是ab的逆元，即(ab)-1=b-1a-1 5. 函数定义的5个要素中，最重要的是掌握变量间的依存关系和定义域。( )A.正确B.错误参考答案

4、：A6. 设(，)的联合密度函数为 试求：设(，)的联合密度函数为试求：$因为Cov(，)0，所以与不独立 相关系数为 7. 离散型随机变量X仅取两个可能值x1，x2，且x2x1，X取x1的概率为0.6，又已知E(X)=1.4 D(X)=0.24则X的分布律为(离散型随机变量X仅取两个可能值x1，x2，且x2x1，X取x1的概率为0.6，又已知E(X)=1.4 D(X)=0.24则X的分布律为()AX01P0.40.4BXabP0.60.4CXnn-1P0.60.4DX12P0.60.4D8. 若同构的群认为是相同的，那么3阶群有_个，4阶群有_个若同构的群认为是相同的，那么3阶群有_个，4阶

5、群有_个1$29. 设，求可逆矩阵P，使P-1AP为上三角矩阵设，求可逆矩阵P，使P-1AP为上三角矩阵，10. 设函数,其中，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式|grad u|=1.设函数,其中，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式|grad u|=1. 因为, 同理. 所以. 又因为, 所以，使, 即球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=1上的点使|grad u|=1成立. 11. 设函数f(x)，g(x)在a，b上连续，且在a，b区间积分f(x)dx=g(x)dx，则( )A.f(x)在a，b上恒等于g(x)B.在a，b上至少有一个使f(x)g(x)的子区间C.在a，b

6、上至少有一点x，使f(x)=g(x)D.在a，b上不一定存在x，使f(x)=g(x)参考答案：C12. 设f(x，y)在点(x0，y0)处有f&39;x(x0，y0)=0，f&39;y(x0，y0)=0，则f(x，y)在(x0，y0)点处全微分是零( )设f(x，y)在点(x0，y0)处有fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，则f(x，y)在(x0，y0)点处全微分是零()参考答案：错误错误13. 下列各微分式不正确的是( )。A.xdx=d(x2)B.cos2xdx=d(sin2x)C.dx=-d(5-x)D.d(x2)=(dx)2参考答案：ABD14. 微分方程xlnxyy的通解

7、是 AyC1xlnxC2ByC1x(lnx1)C2CyxlnxDyC1x(lnx1)2微分方程xlnxyy的通解是 AyC1xlnxC2ByC1x(lnx1)C2CyxlnxDyC1x(lnx1)2正确答案：B15. 根据研究对象的不同性质，预测模型可以分为( )。 A比例关系模型 B时间关系模型 C相关关系模型 D结构根据研究对象的不同性质，预测模型可以分为()。A比例关系模型B时间关系模型C相关关系模型D结构关系模型E发展关系模型BC16. 某单人裁缝店做西服，每套衣服需要4道不同的工序，4道工序完工后才开始做另一套西服，每道工序所需时间所服从某单人裁缝店做西服，每套衣服需要4道不同的工序

8、，4道工序完工后才开始做另一套西服，每道工序所需时间所服从参数4u的负指数分布，平均需要2h。又设顾客前来定制西装的过程为泊松过程，平均每周来到5.5人(每人定制一套西服，且设每周工作6天，每天工作8h)。试问一位顾客从定货到做好一套西服平均需要多少时间?17. 计算y=3x2在0，1上与x轴所围成平面图形的面积=( )A.0B.1C.2D.3参考答案：B18. 下列说法不正确的是( )。A.无穷小的和仍为无穷小B.无穷大的和仍为无穷大C.有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D.收敛数列必有界参考答案：ABC19. 证明：若齐次线性微分方程组的每个解当t+时有界，则零解是稳定的。证明：若齐次线性微

9、分方程组的每个解当t+时有界，则零解是稳定的。设是方程组的基解矩阵， 即 ， 于是方程组的所有解可表示成形式(C为任一常数矩阵)。由方程组的每个解有界知，不等式成立(M是一常数)。因此， 对，取，从不等式x(t0)=C有 x(t)MCM=， 故零解是稳定的 20. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( ) A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B当f(x)是偶函数时，F设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则()A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C当f(x)是周期函数，F(x)必为周期函数D当f(x)是单调增

10、函数，F(x)必为单调增函数21. 设f(x)具有一阶连续导数，F(x)=f(x)(1|sinx|)，则f(0)=0是F&39;(0)存在的( ) (A) 必要但非充分的条件 (设f(x)具有一阶连续导数，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(0)存在的()(A)必要但非充分的条件(B)充分但非必要的条件。(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件22. 设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于( ) (A) BAB-E (B) ABA-E (C) ABA-A (D) BAB-B设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)

11、-1等于()(A) BAB-E(B) ABA-E(C) ABA-A(D) BAB-BC(A-B-1)-1-A-1)(ABA-A) =(B(AB-E)-1-A-1)(ABA-A) =B(AB-E)-1(AB-E)A-A-1A(BA-E)=E 23. 设f(x)在a，+)上连续且取得正值和负值，又，则f(x)在a，+)上必取得最大值和最小值设f(x)在a，+)上连续且取得正值和负值，又，则f(x)在a，+)上必取得最大值和最小值证 由假设，f(x)在a，+)上取得正值，故有x0a，+)，f(x0)0.由于，故对=f(x0)0，当xX时，有 显然x0a，X.由于f(x)在a，X上连续，故f(x)在a

12、，X上必取得最大值M，且Mf(x0)而当xX时，f(x)f(x0)M.因此M=maxf(x)|xa，+)这就证明了f(x)在a，+)上必取得最大值 类似地，可以证明f(x)在a，+)上必取得最小值. 24. 运输问题有可行解的充要条件是运输问题有可行解的充要条件是必要性，设xij(0)是问题的可行解，则有 从而有 充分性记,令 (i=1，2，m；j=1，2，n)，则易验证(xij)满足问题，即xij)是运输问题的一个可行解 25. 已知函数y=|x|/x，则下列结论正确的是( )。A.在x=0处有极限B.在x=0处连续C.在定义域内连续不可导D.在定义域内连续可导参考答案：D26. 已知某产品

13、的净利润P与广告支出x有如下的关系：Pba(xP) 其中a、b为正的已知常数，用P(0)P。0已知某产品的净利润P与广告支出x有如下的关系：Pba(xP) 其中a、b为正的已知常数，用P(0)P。0 求PP(x)正确答案：27. 微分方程y2yy0的一个特解是( )Ayx2exByexCyx3exDyex微分方程y2yy0的一个特解是( )Ayx2exByexCyx3exDyex正确答案：B28. f(x)=|cosx|+|sinx|的最小正周期是( )A./4B./2C.D.2参考答案：B29. 二阶无零元素的行列式等于零的充要条件是其两行对应元素成比例( )二阶无零元素的行列式等于零的充要

14、条件是其两行对应元素成比例()正确30. 在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。空格31. 甲、乙两人同时向一敌机射击，已知甲击中的概率为0.6，乙击中的概率为0.5，求敌机被击中的概率_甲、乙两人同时向一敌机射击，已知甲击中的概率为0.6，乙击中的概率为0.5，求敌机被击中的概率_0.832. 函数y=sinx在其定义域内有界。( )A.错误B.正确参考答案：B33. 设函数f(x)在a，b上可导，且f(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得设函数f(x)在a，b上可导，且f(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得证明令F(x)=lnf(

15、x)，则 因为F(x)在a，b上满足拉格朗日定理的条件，所以，存在一点(a，b)，使得 F(b)-F(a)=F()(b-a)，即 分析将要证的等式变形为 可观察出应构造函数F(x)=lnf(x)，在a，b上应用拉格朗日定理 34. 如果函数f(x，y)在点P0(x0，y0)沿各方向的方向导数都存在，那么能否断定f(x，y)在点P0连续？如果函数f(x，y)在点P0(x0，y0)沿各方向的方向导数都存在，那么能否断定f(x，y)在点P0连续？不能例如，函数 在点(0，0)处沿任一方向el=(cos，cos)的方向导数都存在，且 当cos0时， 当cos=0时， 而，故f(x，y)在点(0，0)处

16、不连续 反过来，由函数在一点处的连续性也不能推出函数在该点沿各方向的方向导数均存在，例如，问题2中提到的函数在(0，0)处连续，但它沿方向l：el=(cos，cos(coscos0)的方向导数并不存在. 35. 奇函数的图像关于y轴对称。( )A.正确B.错误参考答案：B36. 已知函数 在x=0处连续，求a、b的值。已知函数在x=0处连续，求a、b的值。因为 f(0)=1 又由题设f(x)在x=0处连续，知 即a=lnb=1 则a=1，b=e 37. 设随机变量，求函数y=1-3X的数学期望与方差设随机变量，求函数y=1-3X的数学期望与方差函数的数字特征 用函数的数学期望公式，得 由方差公

17、式，有 38. 两个无穷小的差也为无穷小。( )两个无穷小的差也为无穷小。( )正确答案： 39. 下列结论正确的是( )A.若|f(x)|在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续B.若f(x)2在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续C.若f(x)3在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续D.若f(x)在x=a点处连续，则1/f(x)在x=a点也必处连续参考答案：C40. 设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_841. 设Ai(i=1，2，3，n)是正n边形的顶点，O

18、是它的中心，试证设Ai(i=1，2，3，n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证(如图所示)因为 ， 以上各式相加得 由于2，所以 42. y=1/(x-2)有渐近线( )。A.x=2B.y=2C.x=-2D.x=0参考答案：A43. 设随机变量X的方差D(X)=1，且y=X+(，为非零常数)，则D(Y)为( ) A- B+ C D2设随机变量X的方差D(X)=1，且y=X+(，为非零常数)，则D(Y)为()A-B+C D2D44. 已知直线方程 L1： L2： 验证它们相交，并求它们所确定的平面方程已知直线方程L1：L2：验证它们相交，并求它们所确定的平面方程因为M1(1，1，0)是L1上的

19、点，M2(-1，-2，-1)是L2上的点所以 因为 2，3，1)不平行于-1，1，1 故L1与L2相交 设M(x，y，z)是所求平面的任一点那么平面方程为 即 2x-3y+5z+1=0 45. 有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质量管理部门怀疑那两台机器是否充装同样的16.0盎司净容量从机器的产品中各取一个随机样本机器1：16.0316.0416.0516.0516.0216.0115.9615.98

20、16.0215.99机器2：16.02 15.9715.9616.0115.99 16.03 16.04 16.02 16.0116.00在显著水平=0.05下，质量管理部门的怀疑是正确的吗?46. 两个无穷大量的和仍是无穷大。( )A.错误B.正确参考答案：A47. 曲线y=x5+5x3-x-2的拐点为_曲线y=x5+5x3-x-2的拐点为_(0，-2)48. 已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?用A表示求职n次至少有

21、一次获得一个就业机会，则表示求职n次没有获得任何就业机会，依题意，即1-(1-0.4)n0.9，解之得n4.5所以至少要求职5次，才能有90%的把握获得一个就业机会49. 已知z=3sin(sin(xy)，则x=0，y=0时的全微分dz( )A.dxB.dyC.dx+dyD.0参考答案：D50. 设S=a，b，定义二元运算：*为a*a=b*a=a，a*b=b*b=b，证明(S，*)是半群设S=a，b，定义二元运算：*为a*a=b*a=a，a*b=b*b=b，证明(S，*)是半群由条件可知满足封闭性，且满足结合律 (a*b)*a=b*a=a， a*(b*a)=a*a=a； (b*a)*a=a*a=a， b*(a*a)=b*a=a； (a*b)*b=b*b=b， a*(b*b)=a*b=b； (b*a)*b=a*b=b， b*(a*b)=b*b=b； 故是半群