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1、湖北省武汉市2014届下学期高三年级2月调研测试数学试卷(文科)2014.2.20一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A= xC N| x22xW0,则满足 AU B= 0 , 1, 2的集合B的个数为A. 3 B . 4 C .7 D .82 .设 a, be R,则“ abw0” 是 “ aw。” 的A.充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3 .函数f(x)=ln( x2+2)的图象大致是4 .某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组
2、依次为：20, 40) , 40 , 60), 60, 80), 80, 100.若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是A. 45B. 50C. 55D. 605 .执行如图所示的程序框图，若输入 n的值为5, 则输出s的值是A 4B. 7C. 11D. 166 .若关于x的不等式|x3| + |x 4| va的解集是空集，则实数a的取值范围是A ( 8, 1B. (8, 1)C. 1 , +8 )D. (1 , +OO )7 .已知e1, e2是夹角为60的两个单位向量，若a=e1 + &, b=4e1+2&,则a与b的夹角为A. 30 B . 60 C . 120 D . 1508.
3、张丘建算经卷上第 22题一一“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加1629尺C1631尺9.如图，在长方体ABCD-AiCD中，E, H分别是棱A1B1, DC上的点（点E与B不重合），且 EH/ AD,过EH的平面与棱 BB, CC相交，交点分别为 F, G设AB= 2AA= 2a, EF=a, BE=BF .在长方体 ABCD-用CD内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE-EDCGHJ 的概率为11A 16 B10.抛物线G:象限内的点3, 4 C , 16 D , 8x2=2py
4、(p0)的焦点与双曲线C2:x22, . , ,_-y = 1的左焦点的连线交 C1于第二3M若C在点M处的切线平行于G的一条渐近线，则 p=433二、填空题：本大题共 7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11 .下图是某公司10个销售店某月销售某品牌电脑数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间19, 30)内的频率为12 .若复数z=(m27mH 15) + (m2-5m 3)i (me R, i为虚数单位)在复平面内对应的点位于直线y= x上，则m=13 .已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为14 .若点(x
5、, y)位于曲线y= | x 2|与y= 1所围成的封闭区域内，则2x+y的最小值为 15 .如下图所示，它们都是由小圆圈组成的图案.现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小圆圈个数为f (n),则侧视图口正视图俯视图.(I) f(5) =；(n) f(2014)的个位数字为 .OOOO16 .过点P( 10, 0)引直线l与曲线y=-50-x2相交于A, B两点，O为坐标原点，当 AOB勺面积取最大彳1时，直线l的斜率等于 .17 .已知函数f (x)=43sin2 x+2cos2x+m在区间0 , -2上的最大值为3,则(1)m=;(n)当f (x)在a, b上至少含有20个零点时
6、，b-a的最小值为 .三、解答题：本大题共 5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18 .(本小题满分12分)在锐角 ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c.已知sin( A- B)=cosC.(I )求 B;(n)若 a=3/，b = V10,求 c.19 .(本小题满分12分)已知数列an满足 0v av 2, an+1=2|an|, nC N*.(I)若ai, a2, a3成等比数列，求ai的值；(n)是否存在ai,使数列an为等差数列？若存在，求出所有这样的ai；若不存在，说明理由.20 .(本小题满分13分)如图所示，在四锥P-ABCDK 底面AB
7、C时矩形，P4平面ABCD点E在线段PC上,PCL平面BDE(I )证明：BDL平面PAC(n)若PA= 1, AD= 2,求三棱锥 E-BCD勺体积.21 .(本小题满分14分)已知函数f(x) = ex1x.(I)求f (x)的最小值；(n )设 g(x) = ax2, ae r. 、一，1 ,(1)证明：当 a=2时，y=f(x)的图象与y = g(x)的图象有唯一的公共点；(ii)若当x0时，y=f(x)的图象恒在y=g(x)的图象的上方，求实数 a的取 值范围.22 .(本小题满分14分)如图，矩形 ABC丽，|AB=2a/2, |BQ=2. E, F, G, H分别是矩形四条边的中
8、点，分一一 ，., 别以HF, EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知 OR=入OE CR =入CF, 其中0V入v 1.x22(I )求证：直线 ER与GR的交点 M在椭圆r : - + y2= 1上；(n)若点 N是直线l： y=x+2上且不在坐标轴上的任意一点， F1、E分别为椭圆 r 的左、右焦点，直线 NF和NF与椭圆r的交点分别为P、Q和S、T.是否存在点 N,使得 直线OP OQ OS OT的斜率koF koQ ko& koT满足够+ ko升kos+ kT= 0?若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.武汉市2014届高三2月调研测试数学（文科）试题参考答案及
9、评分标准、选择题6. A 7、填空题11 . 0.612313. 33 %14. 315(I) 21； (n) 316-t 17(i)0;(n)28 %3三、解答题18.(本小题满分12分)解：(I )由 sin( A B) = cosC, 4# sin( A B) = sin(。.ABB锐角三角形，TT一TT一-A- B=C,即 A B+ C= y, 又A+ B+ C=兀, 一一 一兀由一，得B=-.(n )由余弦定理 b2= c2+ a2 - 2cacos B,得(,10)2=c2+(3 2)2 2cX3 2cos-4,即 c2-6c+8=0,解得 c=2,或 c=4.当 c=2 时，b2
10、+c2a2 = (仃)2+22(34)2=40, .b2+c2va2,此时A为钝角，与已知矛盾，cw2.故 c= 4.12分19.（本小题满分12分）解：（I）0a1解得ai=l.从而an=1 (n N),此时an是一个等差数列;因此，当且仅当 a = 1时，数列an为等差数歹U.12分20.(本小题满分13分)解:(I) PA!平面 ABCD PAL BD PCL平面 BDEPCL BD又 PAH PC= P,BDL平面 PAC(H)如图，设. PCL平面 BDE，PC1 OE由(I )知，BD1平面 PAC BDL AC由题设条件知，四边形 ABC时正方形.由 AD= 2,得 AC= BD
11、= 2y2, OC=啦.在 RtA PAO43, PC= pA+AC =寸12+(2小)2= 3.易知 RtAPACCRtA OECOE CE OC 口. OE CE 2=一一即=二-PA AC PC 12啦 3，OE=解:VE- BC户-S；A CEO, BD=1 1OE- CE-33 2(本小题满分14分)(I)求导数，得 f (x)=ex1.1B- 613分令 f (x) =0,解得 x=0.当XV 0时，f (x) V 0,，f (x)在(一8, 0)上是减函数；当 x0 时，f (x) 0,，f(x)在(0 , + 00)上是增函数.故f(x)在x=0处取得最小值f(0) =0. 4
12、分(n)设 h(x) = f(x) -g(x) =ex-1 -x-ax2,则 h (x) = ex- 1 -2ax.(i)当a = 2时，y=ex1 x的图象与y= ax2的图象公共点的个数等于v1。一h( x) = e 1 x /x零点的个数.-1 h(0) =11 = 0, . h( x)存在零点 x= 0.由(I),知 e1+x,h (x) = e 1 x0,h(x)在R上是增函数，h(x)在R上有唯一的零点.一， 1 一故当a =2时，y = f(x)的图象与y= g(x)的图象有唯一的公共点. 9分(ii)当x0时，y = f(x)的图象恒在y = g(x)的图象的上方?当 x0 时
13、，f(x)g(x),即 h(x) =ex1 xax20 恒成立.由(I),知ex1+x (当且仅当x=0时等号成立)，故当 x0 时，ex 1 +x.h (x) = ex 1 2ax1 + x- 1 2ax= (1 2a)x,一一.一 1.从而当 12a0,即 aw2时，h (x) 0 (x0),h(x)在(0, +8)上是增函数，又 h(0) =0,于是当 x0 时,h(x) 0.由 ex 1 + x (xw 0),可得 e x 1 -x (x w 0), -1 .从而当 a2时，h (x) = e - 1 - 2ax e - 1 + 2a(e - 1) = e (e - 1)(e2a),故
14、当 x (0 , ln2 a)时，h (x)0,此时h(x)在(0, ln2a)上是减函数，又 h(0) =0,于是当 x(0, ln2 a)时,h(x) 0.1综上可知，实数 a的取值范围为(8, 2 . 14分22.(本小题满分14分)解：(I)由已知，得f(42, 0), 啦，1).由Or=入Of cR =入CF,彳导r也入，0), r (叵 1入).又 E(0 , 1), G0, 1),则1直线ER的方程为y=-x-1,山入直线GR的方程为y =金x+1.由，得M2t23, 1十八1入21+入2) ,4 入 2+(1 入 2)2(1 +入 2)(1)(1+ 入2)2 =1，直线ER与G
15、R的交点x22 rM在椭圆 r : - + y =1 .(n)假设满足条件的点Nx0,y0)存在，则直线NF的方程为y=ki(x+1),其中k，x0 +1直线NE的方程为y=k2(x1),其中,yk2=x。一 1y=k1(x+1),消去y并化简,得(2k1+1)x2+4k2x+2k2 2=0.由I22j+y=1.设 Rx1, y1), Qx2, y2),则 x + x2 =4k12k22x1x2=2k2+ 1,OP OQ勺斜率存在,k。叶 koo= +y1 y k(x1 +1) + k1(x2+1)x1 x2 x14k1= k1(2加二?)=x22k1717 .k1 1xd x2=2kd k1 x%e-2k222.kkz k + kkz k2k1同理可得 kos+ koi= 一 k 1kop+ ko* ko kL 2(kn) = 2 . (k2-1)( k2-1)2( k1 + k2)( kk1)koH koo4 kos+ koi= 0,(k21)(k21) ,2( k1k2)( kk2 1)(k21)( k2-1)=0,即(k + k2)( kk 1) =0.由点N不在坐标轴上，知kik2= 1,yo即一X0+ 1V。Xo 11.又 V。= Xo+ 2,.一53解，得 xo= - 4, yo= 4.14分 53故满足条件的点n存在，其坐标为（-4, 4）
湖北省武汉市下学期高三年级2月调研测试数学试卷(文科)含答案
