整式的运算技巧

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1、-整式的运算整式的加减一、整式的有关概念1单项式1概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：可以看成，所以是单项式；而表示2与的商，所以不是单项式，但凡分母中含有字母的就一定不是单项式.2系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：的系数是；的系数是注意：单项式的系数包括其前面的符号；当一个单项式的系数是1或时，1通常省略不写，但符号不能省略. 如：等；是数字，不是字母.3次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.注意：计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1的情况. 如的次数为，而不是5；切勿加上系数上的指数，如的次数是3，而不是8；的次数是5

2、，而不是6.2多项式1概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：必须由单项式组成；表达和的运算法则.2项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：共含有有三项，分别是，所以是一个三项式.注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是，而不是1.3次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式中，的次数是4，的次数是5，的次数是3，故此多项式的次数是5，而不是.3整式：单项式和多项式统称做整式.4降幂排列与升幂排列1

3、降幂排列：把一个多项式按*一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.2把一个多项式按*一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.注意：降升幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；把一个多项式按降升幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；在进展多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式按的升幂排列为：；按的降幂排列为：.二、整式的加减1同类项：所含的字母一样，并且一样字母的指数也分别一样的项叫做同类项.注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：与是同类项；而与却不是同类项，因为一样的字母的指数

4、不同.2合并同类项1概念：把多项式中一样的项合并成一项叫做合并同类项.注意：合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如显然不正确；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉.2法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.注意：合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.3去括号与填括号1去括号法则：括号前面是，把括号和它前面的去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是，把括号和它前面的去掉，括号内的各项都改

5、变符号.注意：去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；明确法则中的都字，变符号时，各项都变；假设不变符号，各项都不变. 例如：；当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.2填括号法则：所添括号前面是号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是号，添到括号内的各项都改变符号.注意：添括号是添上括号和括号前面的或，它不是原来多项式的*一项的符号移出来的；添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验. 例如：4整式的加减整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：1如果有括号，则先去括

6、号；2如果有同类项，再合并同类项.注意：整式运算的结果仍是整式.类型一：用字母表示数量关系1填空题： (1)香蕉每千克售价3元，m千克售价_元。(2)温度由5上升t后是_。(3)每台电脑售价*元，降价10后每台售价为_元。(4)*人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为_。思路点拨：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出来。举一反三：变式 *校学生给希望小学邮寄每册元的图书240册，假设每册图书的邮费为书价的5，则共需邮费_元。类型二：整式的概念2指出以下各式中哪些是整式，哪些不是。(1)*1；(2)a2；(3)；(4)SR2；(5)；(6)总结升华：判断是不是

7、整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。举一反三：变式把以下式子按单项式、多项式、整式进展归类。*2y， ab， *y25， ， 29， 2a*9b5， 600*z， a*y， *yz1， 。分析：此题的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。类型三：同类项3假设与是同类项，则a,b的值分别是 Aa=2, b=1。 Ba=2, b=1。Ca=2, b=1。 Da=2, b=1。思路点拨:解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母一样且一样字母的

8、指数一样，要注意同类项与系数的大小没有关系。解析：由同类项的定义可得：a1=b,且 2a+b=3，解得 a=2, b=1，应选A。举一反三：变式在下面的语句中，正确的有( )a2b3与a3b2是同类项 *2yz与z*2y是同类项； 1与是同类项；字母一样的项是同类项。A、1个 B、2个 C、3个 D、4个解析：中a2b3与a3b2所含的字母都是a，b，但a的次数分别是2,3，b的次数分别是3,2，所以它们不是同类项；中所含字母一样，并且一样字母的指数也一样，所以*2yz与z*2y是同类项；不含字母的项(常数项)都是同类项，正确，根据可知不正确。应选B。类型四：整式的加减4化简mnm+n的结果是

9、 A0。B2m。C2n。D2m2n。思路点拨：按去括号的法则进展计算，括号前面是号，把括号和它前面的号去掉，括号里各项都改变符号。解析： 原式=mnmn=2n，应选C。举一反三：变式 计算：2*y+3*y=_。分析：按合并同类项的法则进展计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意不要出现5*2y2的错误。答案：5*y。5化简代入求值法*，y,求代数式(5*2y2*y23*y)(2*y5*2y2*y2)思路点拨：此题直接把*、y的值代入比拟麻烦，应先化简再代入求值。解析：原式5*2y2*y23*y2*y5*2y2*y25*y当*，y时，原式5。总结升华：求代数式的值的第一步是

10、代入，即用数值替代整式里的字母；第二步是求值，即按照整式中指明的运算，计算出结果。应注意的问题是：当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，再代入求值。举一反三：变式1 当*0，*，*-2时，分别求代数式的2*2*1的值。解：当*0时，2*2*1202011；当*时，2*2*12；当*-2时，2*2*12-22-2124+2111。总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。变式2 先化简，再求值。3(2

11、*2y3*y2)(*y23*2y)，其中*，y1。解： 3(2*2y3*y2)(*y23*2y)(6*2y9*y2)*y23*2y6*2y9*y2*y23*2y9*2y10*y2。当*，y1时，原式9(1)10(1)2。总结升华：解题的根本规律是先把原式化简为9*2y10*y2，再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，表达了化繁为简，化难为易的转化思想。变式3 求以下各式的值。(1)(2*2*1)，其中*(2)2mn(3m)3(2nmn)，其中mn2，mn3。解析：(1) (2*2*1)2*2*1*2*3*234*24当*时，原式44945。(2) 2mn(3m)3(2nmn)2mn6

12、m6n3mn5mn6(mn)当mn2，mn3时原式5(3)6227。类型五：整体思想的应用6*2*3的值为7，求2*22*3的值。思路点拨：该题解答的技巧在于先求*2*的值，再整体代入求解，表达了数学中的整体思想。解析：由题意得*2*37，所以*2*4，所以2(*2*)8，即2*22*8，所以2*22*3835。总结升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的*一项或*一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从宏观上进展分析，抓住问题的整体构造和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。在中考中该思想方法比拟常见，尤其在化简题中经常用到。举

13、一反三：变式1 *2*10，求代数式*32*27的值。分析：此题由条件无法求出*的值，故考虑整体代入。解析：*2*10，*21*，*32*27*(1*)2(1*)7*222*7-*2-*-5-*2-*+1-6 =6。变式2 当*1时，代数式p*3q*1的值为2003，则当*1时，代数式p*3q*1的值为( )A、2001 B、2002 C、2003 D、2001分析：这是一道求值的选择题，显然p，q的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与值之间的关系。解析：当*1时，p*3q*1pq12003，而当*1时，p*3q*1pq1，可以把pq看做一个整体，由pq12003得pq2002，于是p

14、q(pq)2002，所以原式200212001。应选A。变式3 A3*32*1，B3*22*1，C2*21，则以下代数式中化简结果为3*37*22的是( )A、AB2C B、AB2C C、AB2C D、AB2C分析：将A，B，C的式子分别代入A，B，C，D四个选项中检验，如：AB2C3*32*1(3*22*1)2(2*21)3*32*13*22*14*223*37*22。答案：C变式4 化简求值。(1)3(abc)8(abc)7(abc)4(abc)，其中b2(2)ab2，求2(ab)ab9的值。分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将abc，abc分别视为一个整体，这样化

15、简较为简便；(2)假设想先求出a，b的值，再代入求值，显然行不通，应视ab为一个整体。解析：(1)原式3(abc)7(abc)8(abc)4(abc) 4(abc)4(abc) 4a4b4c4a4b4c8b。 因为b2，所以原式8216。(2)原式2(ab)(ab)9 (ab)9 因为ab2，所以原式2911。类型六：综合应用7多项式3(a*22*1)(9*26*7)的值与*无关，试求5a22(a23a4)的值。思路点拨：要使*个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可.解析：3(a*22*1)(9*26*7) 3a*26*39*26*7(3a9)*24。因为原式的值与*无关

16、，故3a90，所以a3。又因为5a22(a23a4)5a22a26a83a26a8，所以当a3时，原式33263837。总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。举一反三：变式1当a(*0)为何值时，多项式3(a*22*1)(9*26*7)的值恒等为4。解析：3(a*22*1)(9*26*7) 3a*26*39*26*7(3a9)*24。因为(3a9)*244，所以(3a9)*20。又因为*0，故有3a90。即a3，所以当a3时，多项式3(a*22*1)(9*26*7)的值恒等于4。变式2当a3时，多项式3(a*2

17、2*1)(9*26*7)的值为多少？解析：3(a*22*1)(9*26*7) 3a*26*39*26*7 (3a9)*24， 当a3时， 原式(339)*244。8关于*的多项式(a1)*5*|b2|2*b是二次三项式，则a_，b_。分析：由题意可知a10，即a1，|b2|2，即b4或0，但当b0时，不符合题意，所以b4。答案：1，4举一反三：变式假设关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m，n的值答案：m=5，n=-1方法技巧篇一整式的加减技巧一、根据系数特征分组合并同类项的合并实际上是系数的加减，因此，如何根据系数的特征进展分组合并是合并同类项时的一种技巧.例1 计算：y+*-y+*-1+

18、2-y-*分析：先去括号，得，原式=y+*-y-*+1+2-y-*，注意这个多项式共有三类，第一类是y，系数分别是，-1和-，第二类是*，系数分别是，-和-，第三类是常数项，分别是1和2.各类合并时，考虑各类系数的特征，易得解法如下是最简便的.解：原式=y+*-y-*+1+2-y-*=y-y+*-*-y-*+1+2=-y+0-y+3=-2y+3.评注：按系数特征合并同类项，一般是将系数为相反数的同类项分为一组，系数能够凑整的同类项分为一组，系数是同分母的同类项分为一组.二、按整体进展合并如果多项式出现假设干局部一样，则可以把一样的这局部视为整体进展合并.例2 计算：9*-1+71-*-*-1.

19、分析：此题中的1-*可化为-*-1，-*+1可化为-*-1-2，因此，先把*-1作为整体进展合并.解：原式=9*-1-7*-1-*-1-2=9-7-1*-1-2=*-1-2=*-3.评注：运用整体思想进展整式加减运算时，常常需要选择适宜的整体，然后添括号，再进展合并，然后再去括号，再合并同类项.三、逆向合并一般情况下，在合并同类项时大多是将系数相加减，但有时反过来，视系数为类进展合并可以收到意想不到的效果.例3 计算：-；分析：注意到同分母的几组式子，将它们分别相加易于计算，于是解：原式=+-=*-y-*-y-=*-y=0.评注：此题从系数入手，无意中构造出*-y这个整体，然后于运用整体思想得

20、到了巧妙的解决，真是无心插柳柳成荫.由上几例可见，合并同类项与有理数运算一样，如果能够先观察一下题目特征而不急于动笔，然后针对题目特征，打破常规解法，灵活运用一些技巧，则可以起到化繁为简，事半功倍的效果.方法技巧篇二整式的加减一、直接代入求值法例 当、时，分别求代数式的的值二、化简代入求值法例 ，求代数式的值解法1：因式分解法 解法2：降次法例2 代数式的值为9，则的值为( )A7B18C12D9例3 ，求的值解法1：平方法 解法2：配方法*例4 中，当时，则当时，y的值是( )A-3 B-7 C-17 D7三、说理题解法举例例1 做游戏，猜数字：让对方任想一个数，让他做如下运算：乘5，再加上

21、6，再乘4，再加上9，再乘5，把得数告诉你，然后(你只要从中减去165，再除以100)你就可以说出他原来的数用数字验证：比方，*人想的一个数是7，则，第一步，75得35，第二步，35+6得41，第三步,414得164，第四步，164+9得173，第五步，1735得865他告诉你：865，于是你就算出(865-165)100=7你自己也可举例，结果总对，你知道其中的微妙吗？解：不妨设所想的数是a，按照题中的运算，得=因此把所想的数经过上面的五步运算，结果仍得所想的数例2 在数学自习课上，张教师出了一道整式求值题，张教师把所要求值的整式写完后，让小刚同学任意说出一组a，b的值，再计算结果当小刚说完

22、：后，小莉很快说出了答案3同学们都感到其名其妙，觉得不可思议，张教师满意地说：这个答案准确无误亲爱的同学，为何能小莉快速得出结果？例3 小明和小亮在同时计算这样一道求值题：当时，求整式的值小亮正确求得结果为7，而小明在计算时，错把a=-3看成了a=3，但计算的结果却也正确，你相信吗？你能说明为什么吗？解：原式=，从化简的结果上看，只要a的取值是互为相反数，其计算的结果总是相等的四、探索规律题的解法1观察题目中的不变量与变量，不变量照写，变量用序号来表示序号为n例 研究以下算式，你会发现什么规律？请你把找出的规律用含正整数n的公式表示，解：规律为：2将所给的条件进展适当的变形，再找规律例 观察等

23、式：，+1，你会发现什么规律？请你把发现的规律用含正整数n的公式表示解：规律为：3借助于图形观察找规律例1柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见以下图: 第一层有23听罐头， 第二层有34听罐头， 第三层有45听罐头 根据这堆罐头排列的规律，第n(n为正整数)层有_听罐头用含n的式子表例2 图是由假设干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图倒置后与原图拼成图的形状，这样我们可以算出图中所有圆圈的个数为图图图图如果图中的圆圈共有12层：(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按圈的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，则最底层最左边

24、这个圆圈中的数是_；(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按圈的方式填上一串连续的整数-23，-22，- 21，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和答案：(1)67 (2)17614借助于表格进展观察例 用正方形的普通水泥砖图中白色小正方形和彩色水泥砖图中灰色小正方形按如图的方式铺人行道，像这样，第n个图形需要彩色水泥砖多少块？解：将上述结果列表分析如下：序号彩色水泥砖块数4710不难发现砖块数是序号数的3倍还加1，即第n个图形需要砖块(3n+1)块五、用字母表示数的思想用字母表示数是代数的一个重要特点，是整个中学数学最根本的知识，是从算术过渡到代数的桥梁用字母表示数能够把数量关系一般地、简明地表示出

25、来，它是列代数式的根底深刻理解用字母表示数的意义，掌握它的方法及规律，是学好代数的关键例l 如图是*个月份的日历，像图中那样，用一个十字框在图中任意圈住五个数，如果中间的数用a表示，则圈住的五个数字的和可用含a的代数式表示为_.答案：5a例2如图是2002年6月份的日历，现有一长方形在日历任意框4个数，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系：解析：观察可知11+3-10+4，故例3 小红对小丽说：有一种游戏，其规则是；你任想一个数，把这个数乘2，加上6再把结果乘2，再减去8，再把结果除以2，最后再减去你所想的数的2倍你不用告诉我你所想的数是什么，我就能知道结果请你说明小红为什么知道结果？解：

26、设小丽所想的这个数为*，根据游戏规则，得最后的结果为：也就是说，无论小丽开场所想的这个数是几，最后的结果始终都是2六、观察、比拟、归纳、猜测的数学思想观察才能获取大量信息，成为智慧的能源；比拟才能发现信息的异同，通过归纳使共同点浮出水面，总结归纳的结果进而获得猜测，有所发现，这就是归纳的思想，这是数学发现的重要方法例1 (2005*省)观察按以下顺序排列的等式：，猜测：第n个等式n为正整数可以表示成_答案：例2 (2005*市)*市是中国历史文化名城，*市烂柯山是中国围棋文化的重要发样地，如图是用棋子摆成的巨字，则第4个巨字的棋子数是_；按以上规律继续下去，第n个巨字所需要棋子数是_答案：例3

27、观察图中的四个点阵，s表示每个点阵中的点个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜测第n个点阵中的点的个数s为( ) 答案：DABCD例4按一定的规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是_，用整数n表示第n个数是_解析：第7个数是，第n个数是：(1)当n是奇数时，为；(2)当n是偶数时，为七、整体思想所谓整体思想，就是将具有共同特征的*一项或*一类看成一个整体，加以确定、解决，这样往往能使问题的解答简洁、明快，在求代数式的值时，有时问题中的量或字母没有直接给出，往往考虑使用整体思想来解答(1)整体化简例 ：，求的值答案：98(2)整体变形求解对于*些比拟复杂的条件，如果对其

28、进展整体变形，则可收到事半功倍的效果例1 假设，则的值为_答案：2007例2 当时，求代数式的值解：因为，所以.答案：八、方程思想例1 假设与是同类项，求的值原式=-40例2 假设两个单项式与的和仍是一个单项式，则m=_，n=_答案：1，3九、分类讨论思想 所谓分类讨论思想，是对事物分情况加以讨论的思想，它是根据事物的特点按照*一标准不重复、不遗漏地对事物分别归类，分类讨论思想既是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，对于同学们良好的思想品质的形成具有重要意义例1 假设，则_解：， ， 或5.例2 化简：+十、数形结合思想在列代数式时，常常能遇到另外一种类型题：给你提供一定的图形，通过对图形的

29、观察探索，搜集图形透露的信息，并根据相关的知识去列出相应的代数式例 如图，小正方形的边长、圆弧的半径均为a，计算图中阴影局部的面积答案：答案：原式=练习题：一、填空题1在校举行的运动会上，小勇和小刚都进入了一百米决赛，小勇用了*秒，小刚用了15秒，小勇获得了冠军，小勇比小刚快_秒2计算：2*yyy+*y=_3在代数式1ab；2；3中单项式有_；多项式有_；整式有_4根据去括号法则，在下面各式中方框里填或号1ab+c=abc；2abcd=ab+c+d5当*=2时，代数式*2+2*1的值是_6把多项式2*23*+*3+2按*的降幂排列是_7有理数a，b，c在数轴上的位置如图测所示，则abac=_8

30、a33与b1互为相反数，则a+b=_9如图测，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案1第4个图案中有白色纸片_；2第n个图案中有白色纸片_10如果代数式2y2+3y+7的值是8，则代数式4y2+6y9的值为_二、化简以下各题：15a4+3a2b103a2b+a41；222*2+9y35*24y；3a2ab+2abb22a2+b2三、化简求值12*4*2y3*2y+1，其中*=3，y=2007；2*y2y224*y3y2*2y+53y2+*2y，其中*=1，y=2四、*服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元厂方在开展促销活动期间，向客户提供

31、两种优惠方案：买一套西装送一条领带；西装和领带都按定价的90%付款现*客户要到该服装厂购置西装20套，领带*条*20：1假设该客户按方案购置，需付款_元用含*的代数式表示；假设该客户按方案购置，需付款_元用含*的代数式表示2假设*=30，通过计算说明此时按哪种方案购置较为合算？3当*=30时，你能给出一种更为省钱的购置方案吗？试写出你的购置方法整式的加减提高测试题 班级 * 一、 填空题此题20分，每题4分：仅当a，b，c 时，等式a *2b*c *22*3 成立；仅当b，c 时，5*3y2与23 *byc是同类项；煤矿十月份生产a 吨煤，比九月份增产45%，煤矿九月份生产煤吨；当3a 4时，

32、化简 |a 3|a 6| 得的结果是，它是一个数； n张长为acm的纸片，一张接一张的贴成一个长纸条，每张贴合局部的长度都是bcm，这个纸条的总长应是cm二 、计算以下各题此题30分，每题10分：5a na n 7a n3a n；解：2*33*26*5*36*9；解：9*1594*11y2*10y2*.解：三 先化简再求代数式的值：5a 2a 25a 22a 2a 23a ，其中a；解：、a 43a b6a 2b23a b24a b6a 2b7a 2b22a 4，其中a2，b1.解：四 此题10分a，且*为小于10的自然数，求正整数a的值解：五 此题10分 代数式15ab 2的最大值是多少当a

33、b2 3取最小值时，a 与b 有什么关系解：六 此题10分当a0，b0时，化简|5b|b2a|1a|.解：整式的乘法一幂的乘法运算一、知识点讲解：1、同底数幂相乘： 推广：都是正整数同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：注意：正确处理运算中的符号，防止以下错误，如：等；例1、计算：1234变式练习：1、a16可以写成 Aa8+a8 Ba8a2 Ca8a8 Da4a42、则的值是。3、计算：(1) a a3a5 23 4(*+y)n(*+y)m+15nmmn2nm42、幂的乘方：推广：都是正整数幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：幂的乘方法则可以逆用：即如：例2、计算

34、：11035 2 3 (4) 变式练习：1、计算*57+*75的结果是 A2*12 B2*35 C2*70 D02、在以下各式的括号内，应填入b4的是 Ab12= 8 Bb12= 6 Cb12= 3 Db12= 23、计算：1 23 (4)m34+m10m2+mm3m8 3、积的乘方：推广：积的乘方，等于各因数乘方的积。如：=注意：正确处理运算中的符号，防止以下错误，如：等；二、典型例题：例3、计算：1ab2 23*2 345变式练习：1、如果ambn3=a9b12，则m，n的值等于 Am=9，n=4 Bm=3，n=4 Cm=4，n=3 Dm=9，n=62、以下运算正确的选项是 (A) (B)

35、 (C) (D)3、*n=5，yn=3，则*y3n=。4、计算：1a3 22*43 3(4) 5 (6) (7) (8)4、同底数幂的除法法则：都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：练习1.计算：=，=.2.计算：=.3.计算：_4.以下计算正确的选项是Ay7y4=y3； B*+y5*+y=*4+y4；Ca16a12=a13； D*5*3=*2.5计算：的结果，正确的选项是A.；B.； C.； D.6.假设，,则等于( ) A.； B.6 ； C.21； D.20.5、零指数，即任何不等于零的数的零次方等于1。二整式的乘法一、知识点讲解：1、单项式单项式1系数相乘作为积的系数2一

36、样字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为一个因式3单独出现的字母，连同它的指数，作为一个因式注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。一样字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：？二、典型例题：1以下计算的结果正确的选项是 A-*2-*2=*4 B*2y3*4y3z=*8y9z C-41038105=-3.2109 D-a-b4a+b3=-a+b72计算-5a*3*2y2的结果是 A-45a*5y2 B-15a*5y2 C-45*5y2

37、D45a*5y232*y2*2y=_； -5a3bc3ac2=_-5ab2*-a2b*3y=_；-3a3bc3-2ab22=_；4am=2，an=3，则a3m+n=_；a2m+3n=_5假设单项式-3a2m-nb2与4a3m+nb5m+8n同类项，则这两个单项式的积是多少？2、单项式多项式单项式分别乘以多项式的各项；将所得的积相加注意：单项式与多项式相乘，积仍是一个多项式，项数与多项式的项数一样积是一个多项式，其项数与多项式的项数一样。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：=二、典型例题：14ab22b3*2y2*

38、+12*y23a2b4ab25ab12ab2 34a3+12a2b7a3b34a243*2*2*+45先化简，再求值3a2a24a+32a23a+4，其中a=26先化简，再求值：2a2b+ab22a2b1ab22，其中a=2，b=23、多项式多项式先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。注意：运算的结果一般按*一字母的降幂或升幂排列。二、典型例题：1(2*3y)(3*2y) (2)(*2)(*3)(*6)(*1)35*+2*+12*3*5(4)(3*2y)(2*3y)(*3y)(3*4y)5的展开式中，项的系数是_6要使多项式不含关于*的二次项，则p与q的关系是

39、A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.乘积为17.假设(*a)(*2)*25*b，则a_，b_8.假设a2a12，则(5a)(6a)_9.当k_时，多项式*1与2k*的乘积不含一次项10中不含3次项，试确定的值.11 (2*1)(2*1)5*(*3y)4*(4*2y)，其中*1，y2三乘法公式一、知识点讲解：1、平方差公式： ； 变式：1； 2；3=； 4=。2、完全平方公式：=。公式变形：12； 3 4； 5二、典型例题：例2、计算：1(*2)(*2) 2(5a)(-5a)34(5) 6变式练习：1、直接写出结果：1(*ab)(*ab)=； 2(2*5y)(2*5y)=；3(*y)(*

40、y)=；4(12b2)(b212)_； (5)(-2*+3)(3+2*)=；6a5-b2a5+b2=。2、在括号中填上适当的整式：1mn n2m2；213* 19*23、如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，假设将图1的阴影局部拼成一个长方形，如图2，比拟图1和图2的阴影局部的面积，你能得到的公式是。4、计算：1 23 4(m2n2)(m2n2)5 6abcabc5、，求的值。例3、填空：(1)*210*_( 5)2；(2)*2_16(_4)2；(3)*2*_(*_ )2； (4)4*2_9(_3)2例4、计算：1 2(*+)23 4例5、，求；例6、化简求值，其中：。变式练习：1

41、、设，则P的值是 A、 B、 C、 D、2、假设是完全平方式，则k=3、假设a+b=5，ab=3，则=.4、假设，则代数式的值为。5、利用图形中面积的等量关系可以得到*些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：,你根据图乙能得到的数学公式是。6、：7、计算：13a+b2 2(3*25y)2 3(5*-3y)24(4*37y2)2 53mn5ab2 6(abc)2(7) 8 8、化简求值：，其中9、，求以下各式的值：1；2。整式的除法整式的除法分为单项式除以单项式和多项式除以单项式，主要进展公式计算。单项式的除法单项式相除，把它们的系数相除，同底数幂的幂相减，作为商的一个因式，对于

42、只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。单项式除以多项式，用多项式先除以单项式的每一项，再将所得的商相加，合并同类项后取倒数。注意：是整个多项式取倒数，而不是每一项分别取倒数后合并。二、典型例题：【例题】以下计算，正确的选项是 CA . *4*3=*B*6*3=*2C*3=*4D*y32=*y6练习：1、以下计算正确的选项是DA2a2+a2=3a4Ba6a2=a3Ca6a2=a12D-a62=a122、假设3*4，9y7，则3*2y的值为( A)A. B. C3 D. 例：先化简，再求值。

43、， 其中练习：14*4y2(-2*y)2=_32(-a2)3a3=_4_5*2y=5*y25ym+2n+6=ym+2_6_(-5my2z)=-m2y3z47(16a3-24a2)(-8a2)=_ 8(m+n)2(m-n)(m+n)2=_10 计算：(-8*4y+12*3y2-4*2y3)(4*2y)(a+b)(a-b)(a4+a2b2+b4)(b6-a6)-3(ab)2(3a)2(-ab)3(12a3b2)(2mn)2(m2+n2)-(m2n2)3m3n4+3m2n4162m82n4m43(n-m+1) (4*n-1yn+2)2(-*n-2yn+1)因式分解定义：把一个多项式在一个范围(如有理

44、数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。1意义：是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。特性：因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、开展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好根底；学好它，既可以培养学生的观察、思维开展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。根本结论：分解因式与整式乘法为相反。

45、高级结论：在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比拟复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。2 、所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这

46、看起来或许有点不可思议。比方*4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。如果有兴趣，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。(这是因为，由代数根本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。)3 、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的

47、辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比拟笨，不过能有效地解决找公因式的问题。4、因式分解是很困难的，但初中所接触的只是因式分解很简单的一局部，真正的因式分解需要研究生的水准，抽象代数在因式分解上有重要的应用，大家可以尝试因式分解 *n-1 ，这道经典的考题曾经在1978年全国奥数竞赛中出现。方法因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，

48、换元法，长除法，短除法，除法等。提公因式法法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的一样的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出负号时，多项式的各项都要变号。根本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式：找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；提公因式并确定另一个因式，注意要确定

49、另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因 式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数一样。口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。例：注意：把变成不叫提公因式，因为括号内不得用分数公式法如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把*些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。分解公式：1、平方差公式：即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。2、完全平方公式：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍

50、，等于这两个数的和 (或差)的平方。注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的 形式，另一项为哪一项这两个数(或式)的积的2倍。口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。同号加、异号减，符号添在异号前。推广：(1)即三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。(2)即四数和的平方，等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。即几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。(3)(4)3、立方和公式：即两数之和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。推广：三项立方和公式：即三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积

51、的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍变形：4、立方差公式：即两数之差，乘它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差。变形：5、完全立方公式：即两数之和(差)的立方等于这两个数的立方和(差)与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和(和与差)。6、两根式：例：a2+4ab+4b2=(a+2b)2十字相乘法对于*+p*+q型的式子如果q能分解为分解为数a,b的积，且有a+b=p时(即a与b和是一次项的系数)，则*+(a+b)*+ab=(*+a)(*+b)；或对于k*2+m*+n型的式子如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，则k*2+m*+n=(a*+c)(b*+d)。这种分解因式的

52、方法叫做十字相乘法。注：与十字相乘法对应的还有双十字相乘法具体方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，穿插相乘再相加等于一次项。口诀：分二次项，分常数项，穿插相乘求和得一次项。(拆两头，凑中间)特点：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和。根本步骤：(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;(2)尝试十字图，使经过十字穿插线相乘后所得的数的和为一次项系数;(3)确定适宜的十字图并写出因式分解的结果;(4)检验。例1：把6*2+13*+ 6分解因式原式=(2*+3)(3*+2)例2：把3m3-3m2-60m分解因式解：原式=3m(m2-m-20)=3m(m-5)(m+4)双十字相乘法对于*些二元二次六项式a*2+b*y+cy2+d*+ey+f(*、y为未知数，其余都是常数)，用两次十字相乘法分解因式，这种分解因式的方法叫做双十字相乘法。一般步骤：(1)用十字相乘法分解二次项(a*2+b*y+cy2)，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字穿插之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十