福建师范大学21秋《复变函数》在线作业一答案参考13

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1、福建师范大学21秋复变函数在线作业一答案参考1. 已知曲面x2+2y2-z2-2xy+2xz-2yz-4x-1=0，求与方向1:-1:0共轭的直径面方程。已知曲面x2+2y2-z2-2xy+2xz-2yz-4x-1=0，求与方向1:-1:0共轭的直径面方程。因为 F1(x，y，z)=x-y+z-2=0 F2(x，y，z)=x+2y-z=0 F3(x，y，z)=x-y-z=0 所以与方向1:-1:0共轭的直径面方程为 1F1(x，y，z)+(-1)F2(x，y，z)+0F3(x，y，z)=0 即 2x-3y+2z-2=0 2. 设总体X有E(X)=，D(X)=2，从X中分别抽得样本容量分别为n、

2、m的两组独立样本，样本均值分别记为设总体X有E(X)=，D(X)=2，从X中分别抽得样本容量分别为n、m的两组独立样本，样本均值分别记为因为，故T为的无偏估计$ 令(D(T)a=0，解得 而，可见D(T)在处取得唯一的极值且为极小值，故知时，D(T)最小 3. 判断下列各式哪个成立哪个不成立，说明为什么(AB)一B=A；(AB)一B=A；正确答案：当AB互不相容时等式成立当A,B互不相容时,等式成立4. 计算曲线y=cosh x上点(0，1)处的曲率.高等数学复旦大学出版第三版上册课后答案习题二计算曲线y=coshx上点(0，1)处的曲率.计算曲线y=cosh x上点(0，1)处的曲率.答案仅

3、供参考，不要直接抄袭哦5. 若f(x)dx=F(x)+C，则e-xf(e-x)dx=( ) AF(ex)+C B-F(e-x)+C CF(e-x)+C D若f(x)dx=F(x)+C，则e-xf(e-x)dx=()AF(ex)+CB-F(e-x)+CCF(e-x)+CDBe-xf(e-x)dx=-f(e-x)d(e-x)=-F(e-x)+C6. 15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单位：kg/cm2)：甲：88，87，92，9

4、0，91乙：89，89，90，84，88假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高(=0.05)?15甲的抗拉强度比乙的高7. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测。( )A.正确B.错误参考答案：A8. 试证明： 设fn(x是R1上非负渐降连续函数列若在有界闭集F上fn(x)0(n)，则fn(x)在F上一致收敛于零试证明：设fn(x是R1上非负渐降连续函数列若在有界闭集F上fn(x)0(n)，则fn(x)在F上一致收敛于零证明 由题设可知，对任意的xF以及0，存在自然数指标n，使得fn(x)因为f(x)是连续函数，所以存在x0，使得fn(t)(tB(x，

5、x)注意到B(x，x)是F的开覆盖，故存在有限个开球 B(xi，xi) (i=1，2，m)， 记与xi相应的自然数指标为ni(i=1，2，m)，则令N=maxn1，n2，nm，我们得到 fn(x) (nN，xF) 这说明fn(x)在F上一致收敛于0 9. 设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则(m)等于什么?A、(m1)B、(m2)(m1)C、(m1)*(m1)D、(m2)*(m2)设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则(m)等于什么?A、(m1)B、(m2)(m1)C、(m1)*(m1)D、(m2)*(m2)正确答案： B10. 下列数列收敛于0的有( ). A，0，0，0， B1， C

6、 D下列数列收敛于0的有().A，0，0，0，B1，CDABCD因为这些数列的奇数项和偶数项都收敛于011. 证明每个结点的次数至少为2的图必包含一个回路证明每个结点的次数至少为2的图必包含一个回路设L是图G中最长路中的一条，设其长度为m，这条路的一个端点设为a，考察G中与a关联的那些边，这些边中任何一条边的另一端必在L上，否则，将这个结点加进L中就可得到一条更长的路 如果G中每个结点的次数至少为2，那么a也要关联于一条不在L上的边e，若e是环，则e本身就是回路，否则，边e的另一个端点b(与a不同的点)在L上，而连通L中a到b的子通路与边e就组成一个回路本题证明时所设L是考虑了能否构成环的最坏

7、情况(见图(a)，除两头外，其他结点的次数为2(满足至少为2的最少次数情况)，如果不按L来安排结点在图中位置的话，已经可出现回路 由于条件给出每个结点的次数至少为2，那么结点a及L中的另一端点的次数就不会是1，故会有如图(b)所示的情况由a引出的另一条边e的另一头必会去与另一结点相连(如结点b，因为按最差情形所有点均放到了L上)，此时已出现了回路 12. 给定数据 x 0.1 0.2 0.3 f(x) 5.1234 5.3053 5.5684 求一次最小二乘拟合多项给定数据x0.10.20.3f(x)5.12345.30535.5684求一次最小二乘拟合多项式设所求一次拟合多项式为 y=0+1

8、x 记x1=0.1，x2=0.2，x3=0.3，y1=5.1234，y2=5.3053，y3=5.5684，则s0=3， ，正规方程组为 即 解得0=4.8874，1=2.2250 因而所求一次拟合多项式为y=4.8874+2.2250x 13. 一底面积为S=4000cm2，高为h=50mn的圆柱形木制浮标浮于水面已知木制浮标的密度为0.8g/cm3求把浮标从水中托一底面积为S=4000cm2，高为h=50mn的圆柱形木制浮标浮于水面已知木制浮标的密度为0.8g/cm3求把浮标从水中托出水面所作的功(水的密度为103kg/m3)假设浮标处于平衡状态时露出水面部分的高度为x0cm，由于水的密度

9、为1g/cm3，因此由Sh80=S(h-x0)1，得到x0=10(cm)，即浮标处于平衡状态时露出水面10cm如果设F(x)(10x50)为浮标露出水面xcm时所需的托力，则有 F(x)=0.8h-S(h-x)10-3g=4g(x-10)(N)， 其中g=9.8m/s2是重力加速度因此，将浮标托出水面需要作功 14. 什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?在求解微分方程组时，经常出现解的分量数量级差别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称为刚性问题 求刚性方程

10、数值解时，若用步长受限制的方法就将出现小步化计算大区间的问题，因此最好使用对步长h不加限制的方法 如欧拉后退法及梯形法，即A-稳定的方法， 通常求解刚性方程的高阶线性多步法是吉尔方法还有隐式龙格-库塔法 15. 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_16. 求曲线x(t)=(a(1一sint)，a(1一cost)，bt) (a0，b0)的曲率、挠率求曲线x(t)=(a(1一sint)，a(1一cost)，bt) (a0，b

11、0)的曲率、挠率正确答案：解法1计算得rn因此rn解法2rnrn这表明rn因此用Frenet公式求g较容易rn若用x表示对弧长的求导则rn所以rn解法1计算得因此解法2这表明因此用Frenet公式求g,较容易若用x表示对弧长的求导,则所以17. 设f(x)在a，b上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n，都有abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个设f(x)在a，b上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n，都有abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点如果f(x)0，则结论显然成立 如果f(x)0，则可以证明，至少存在N+1个点x1，x

12、2，xN+1(a，b)，x1x2xN+1，使得f(x)在xk(k=1，2，N+1)的左、右邻域内符号相反事实上，假设这样的点只有m个，mN，不妨设x(a，x1)时，f(x)0，x(x1，x2)时，f(x)0，依此类推令p(x)=(x1-x)(x2-x)(xm-x)，则当x(a，b)时，f(x)p(x)0，且f(x)p(x)0，于是由f(x)p(x)的连续性知 abf(x)p(x)dx0 (1) 另一方面，由于p(x)是x的m次多项式，且mN，所以由题设条件得 abf(x)p(x)dx=0 但这与(1)式相矛盾，因此至少存在N+1个点x1，x2，xN+1属于(a，b)，使得f(x)在xk(k=1

13、，2，N+1)的左、右邻域内符号相反故由f(x)的连续性知f(x0)=0 (k=1，2，N+1)于是f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点 18. 设3阶矩阵已知向量组1(1，2，1，1)，2(2，0，t，0)，3(0，4，5，2)的秩为2，则t_。已知向量组1(1，2，1，1)，2(2，0，t，0)，3(0，4，5，2)的秩为2，则t_。正确答案：3；3；19. (x-c)2+(y-c)2=4 求曲线族的包络，并绘出图形：(x-c)2+(y-c)2=4 求曲线族的包络，并绘出图形：由(x-c)2+(yc)2=4，2c=x+y，得(x-y)2=8 见图3.14 20. 设f(x)和g(x)都

14、在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处( ) A必取极大值 B必取极小值 C不可设f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处()A必取极大值B必取极小值C不可能取极值D是否取极值不能确定D21. 一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式S=-12(2x2+3)dx22. 设f(x)Ca，b，求曲边梯形(x，y)|0axb，0yf(x)绕y轴旋转一周所成旋转体的体积设

15、f(x)Ca，b，求曲边梯形(x，y)|0axb，0yf(x)绕y轴旋转一周所成旋转体的体积正确答案：23. 求抛物线y24x上的点，使它与直线xy4O相距最近求抛物线y24x上的点，使它与直线xy4O相距最近正确答案：24. 求n=1+(n+2)xn+3的和函数求n=1+(n+2)xn+3的和函数25. 用高斯-若当方法求A的逆矩阵，其中用高斯-若当方法求A的逆矩阵，其中 26. 求方程x2ydx=(1y2x2x2y2)dy的通解求方程x2ydx=(1-y2+x2-x2y2)dy的通解27. 设随机变量X的分布函数 试求将X标准化后得到的变量(其中和分别表示X的期望和标准差)的分布函数设随机

16、变量X的分布函数试求将X标准化后得到的变量(其中和分别表示X的期望和标准差)的分布函数由题意及分布函数的性质，有随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.4 0.1 =E(X)=-10.2+00.3+10.4+20.1=0.4， E(X2)=10.2+00.3+10.4+40.1=1 D(X)=E(X2)-E2(X)=1-0.42=0.84 故，故的分布律为 X -1.52 -0.43 0.65 1.74 P 0.2 0.3 0.4 0.1 故Y的分布函数为 28. 证明：两异面直线l1，l2公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。证明：两异面直线l1，l2公垂线段的

17、长度就是l1，l2之间的距离。 (如图所示)设AB是l1与l2的公垂线段，长度为|AB|，在li上任取一点Qi(i=1，2)，作出由Qi，V1，V2决定的平面，于是AB，由Q2作的垂线，设垂足为N，因为l2，所以|AB|=|Q2N|，于是，在直角三角形Q1NQ2中，|Q1Q2|Q2N|=|AB|，所以，|AB|是l1与l2之间的最短距离，即两异面直线l1与l2线段的长度就是l1与l2之间的距离。 29. 设随机变量X的分布函数，则E(X)=( ) A B C D设随机变量X的分布函数，则E(X)=()ABCDB30. 设 都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得设都是有理数域Q

18、上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得对f(x)与g(x)施行辗转相除法 由此知x2-2是f(x)与g(x)的最大公因式，而 从而有u(x)=-(x+1),v(x)=x+2. 31. 某厂家生产的一种电子设备的寿命X(年)服从参数=4的指数分布若售出的设备在一年内损坏，厂家予以调换，调换某厂家生产的一种电子设备的寿命X(年)服从参数=4的指数分布若售出的设备在一年内损坏，厂家予以调换，调换一台设备，厂家亏损300元，否则厂家赢利100元，求厂家售出一台设备赢利的数学期望E(Y)=-300(1-e-1/4)+100e-1/4=400e-1/4-30011.5232. 求下列函数的极值： (1

19、) yx55x1； (2) yxlnx； (3) yx2x1求下列函数的极值： (1) yx55x1； (2) yxlnx； (3) yx2x1正确答案：解 (1) D(f)()y5x45 令y0得驻点x11x21rn列表rn解(1)D(f)(,),y5x45令y0得驻点x11,x21列表33. 连续4次掷一颗骰子至少出现1次一个6点(设为事件A)与连续24次掷两颗骰子至少出现1次两个6点(设为事件B)，哪个连续4次掷一颗骰子至少出现1次一个6点(设为事件A)与连续24次掷两颗骰子至少出现1次两个6点(设为事件B)，哪个事件的概率更大?P1=4/64 p2=24/624p1/p2=4/64*6

20、24/24=6191所以4次的概率大34. 设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0,试证在(a，b)内，一定存在f&39;(x)+kf(x)的零点设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0,试证在(a，b)内，一定存在f(x)+kf(x)的零点设F(x)=ekxf(x)在a，b上利用罗尔定理可证在(a，b)内，一定存在f(x)+kf(x)的零点35. 设随机变量XB(n，p)，EX=0.8，EX2=1.28则X取值为( )的概率最大；其概率为( )设随机变量XB(n，p)，EX=0.8，EX2=1.28则X取值为()的概率最大；其概率

21、为()0和1$0.8436. 就k的取值，讨论方程kx+lnx=0的实根的个数及所在区间就k的取值，讨论方程kx+lnx=0的实根的个数及所在区间(几何法)考虑曲线y=lnx与y=-kx的关系知，若k0，则方程有唯一实根；k=0时，根为x=1，k0时，根在(0，1)区间，如图4.47所示因此，讨论k0的情况 过原点，作y=lnx的切线y=ax，则在交点lnx=ax处有，故x=e，a=e-1，即直线与y=lnx相切于点(e，1)，于是知： 若-ke-1即k-e-1时，方程无实根 若-k=e-1，即k=-e-1时，方程有重根x=e 若k-e-1，则方程有两个根x1x2，其中x1在(1，e)内，x2

22、在(e，+)内 讨论的结果如下： 当k0，方程有唯一实根在(0，1)内； 当k=0，方程有唯一实根x=1 当-e-1k0方程有两根其中小根在(1，e)内，大根在(e，+)内； 当k=-e-1，方程有重根x=e； 当k-e-1，方程无实根 37. 设随机变量X与Y相互独立，令函数U=|X|，Y=|Y|，求证：U与V相互独立设随机变量X与Y相互独立，令函数U=|X|，Y=|Y|，求证：U与V相互独立证 由变量独立，证明函数独立 只须证明：对于任意实数u，v，有PUu，Vv=PUuPYv 当u0，或v0时，上式的两边都等于0，因此等式成立 设u10，且v0，由X与Y相互独立，有 PUu，Vv=P|X

23、|u，|Y|v=P-uXu， -VYv=P-uXuP-vYv =P|X|uP|Y|v=PUuPVv 38. 任意给定Cnn中的矩阵范数M，则存在Cn中的向量范数v，使得对任意的ACnn和任意的xCn都有 AxvAM任意给定Cnn中的矩阵范数M，则存在Cn中的向量范数v，使得对任意的ACnn和任意的xCn都有AxvAMxv(1.16)取非零列向量yCn，定义xv=xyHM，则v是Cn中的向量范数，且满足式(1.16) 证毕 39. 设随机变量X的概率密度，则Y=( )N(0，1) A B C D设随机变量X的概率密度，则Y=()N(0，1)ABCDB40. 向量组1，2，k含有零向量，则该向量组

24、必然线性相关 向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？例 设1=(1，2，4)，2=(2，4，8)，易知1，2线性相关，但1，2中不含零向量41. 设函数f(x)和f(x)在a，b上可积，则设函数f(x)和f(x)在a，b上可积，则此不等式的证明有多种方法，下面用二重积分证明 记 D(x，y)|axb，ayb 因为 所以 又 故 42. 计算方阵的三种常用范数(p=1，2，)计算方阵的三种常用范数(p=1，2，)由定义得 又由于，而 从而max(ATA)=32，所以 43. 一元二次多项式可以直接

25、用求根公式来求解。( )一元二次多项式可以直接用求根公式来求解。( )正确答案： 44. 试求下列复合函数(x，y，z为自变量)的一阶与二阶全微分：u=f(x,y,z),x=t,y=t2,z=t3试求下列复合函数(x，y，z为自变量)的一阶与二阶全微分：u=f(x,y,z),x=t,y=t2,z=t3du=f1dt+f22tdt+f33t2dt=(f1+2tf2+3t2f3)dt d2u=f11dt2+f224t2dt2+f339t4dt2+4f12tdt2+6t2f13dt2+12t3f23dt2+2f2dt2+6tf3dt2=(f11+4t2f22+9t4f33+4tf12+6t2f13+

26、12t3f23+2f2+6tf3)dt2 45. 函数z=x2y2，当x=1，y=1，x=0.2，y=-0.1时的全微分为( ) A0.20 B-0.20 C-0.1664 D0.1664函数z=x2y2，当x=1，y=1，x=0.2，y=-0.1时的全微分为()A0.20B-0.20C-0.1664D0.1664A46. 在，2上，函数f(x)=sinx满足罗尔定理中的_。在，2上，函数f(x)=sinx满足罗尔定理中的_。47. 设1，2是独立同分布的N(0，1)随机变量，试求的概率密度函数设1，2是独立同分布的N(0，1)随机变量，试求的概率密度函数因为1，2是独立同分布N(0，1)随机

27、变量，所以联合分布律 当z0时，FZ(z)=0 当z0时，有 所以 48. 判断下列级数的敛散性：(1)_；(2)_； (3)_；(4)_；(5)_。判断下列级数的敛散性：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_；(5)_。收敛$发散$发散$发散$收敛49. 双曲抛物面上过点(2，0，3)的两条直母线的夹角是_。双曲抛物面上过点(2，0，3)的两条直母线的夹角是_。50. 设0P(A)1，0P(B)1，则下列选项成立的是( ) A事件A和B互不相容 B事件A和B互相对立 C事件A和B互不设0P(A)1，0P(B)1，则下列选项成立的是()A事件A和B互不相容B事件A和B互相对立C事件A和B互不独

28、立D事件A和B相互独立D51. 设随机变量(，)在区域(x，y):axb，cyd内服从均匀分布，求：设随机变量(，)在区域(x，y):axb，cyd内服从均匀分布，求：区域D的面积A=(b-a)(d-c)，所以(，)的联合分布密度为 $ 52. 不存在这样的函数f：在区间a，b上增且使得f&39;(x)在a，b上积分值fdx。( )A.正确B.错误参考答案：B53. 某城市下雨的日子占全年的一半，而有雨时气象台预报有雨的概率为0.9。某人 每天上班很为下雨烦恼，凡是气象台某城市下雨的日子占全年的一半，而有雨时气象台预报有雨的概率为0.9。某人每天上班很为下雨烦恼，凡是气象台预报下雨他就带伞，即

29、使预报无雨，他也有一半的时候带伞。求他没带伞而遇雨的概率54. Z和L两人进行乒乓球决赛，规定谁连胜两场或总数先胜三场，谁就获得冠军请将本次决赛可能的比赛场次用根树来Z和L两人进行乒乓球决赛，规定谁连胜两场或总数先胜三场，谁就获得冠军请将本次决赛可能的比赛场次用根树来表示55. 设随机变量X的分布律为，求证：X没有数学期望设随机变量X的分布律为，求证：X没有数学期望证 没有数学期望的随机变量 由定义，数学期望应为 由微积分，右边的级数发散因此，随机变量X没有数学期望 56. 有A、B两家生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器。为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了有A、B两家

30、生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器。为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了3个竞争对策：(1)将新产品全面投入生产；(2)继续生产现有产品，新产品小批量试产试销；(3)维持原状，新产品只生产样品征求意见。B厂了解到A厂有新产品情况下也考虑了3个策略：(1)加速研制新计算器；(2)对现有计算器革新；(3)改进产品外观和包装。由于受市场预测能力限制，表3-4只表明双方对策结果的大致的定性分析资料(对A厂而言)。若用打分办法，一般记为0分，较好打1分，好打2分，很好打3分，较差打-1分，差为-2分，很差为-3分。试通过对策分析，确定A、B两厂各应采取哪一种策略？表3-4A厂策略

31、B厂策略1231较好好很好2一般较差较好3很差差一般A、B两厂均采取策略1。57. 甲、乙两人对策。甲手中有3张牌：2张K，1张A。甲任意藏起一张后然后宣称自己手中的牌是KK或KA，对此乙可以接受或甲、乙两人对策。甲手中有3张牌：2张K，1张A。甲任意藏起一张后然后宣称自己手中的牌是KK或KA，对此乙可以接受或提出异议。如甲叫的正确乙接受，甲得1元；如甲手中是KK叫KA时乙接受，甲得2元；甲手中是KA叫KK时乙接受，甲输2元。如乙对甲的宣称提出异议，输赢和上述恰相反而且钱数加倍。列出甲、乙各自的纯策略，求最优解和对策值，说明对策是否公平合理？游戏公平合理。58. ，其中D是由直线x=0，y=和y=x所围成的区域，其中D是由直线x=0，y=和y=x所围成的区域积分区域D如图8.24所示，0y，0xy 59. 通过直线且与平面2x+y+z=0垂直的平面方程是_。通过直线且与平面2x+y+z=0垂直的平面方程是_。x-6y+4z=060. 统计资料的整理方法主要有_和_两种。统计资料的整理方法主要有_和_两种。手工整理法$机械整理法