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1、公式应用1上下垂线例1 （适合八年级）如图，已知边长为a的正方形ABCD,E为AD的中点,P为CE的中点，F为BP的AG, CH,1八-CHgBD).C. -a232与4CDF的面积求解，也可以建立平面直角坐标系,利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得12D. 一a 64BC三角形面积公式之水平宽铅垂高三角形的面积公式计算较多，而在平面直角 坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积 一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅 垂高面积公式会更加的方便.公式呈现如右图所示，过4ABC三个顶点分别作x轴的垂 线，其中过A, C两条垂线与x轴交于点E, F, 线段EF的长度称为4ABC的水平宽，而过B
2、点1的垂线与边AC父于点D,线段BD的长度称为铅垂图，则$ ABc=1EFgBD , 此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽EF通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B）与边（AC）交点（D）之间的距离.公式推导 如右图，过点A, C作铅垂高BD上的高1则有 Saabc = Szabd+SIabcd= - AGgBD1 一 八1=AG CH gBD = EFgBD .22中点，则 BFD的面积是“1 2-12A. a B. a 816说明：本题可以连结CF,由4BCD的面积减去4BCF解析：不妨以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，则点 C坐标为（a,
3、 0）,点D坐标为（a, a）,. E为AD的中点,.占.八、. P为CE的中点,.占.八、. F为BP的中点,.占.八、过F点作BC的垂线交BD于点G,3坐标为3a ,又直线BD的解析式为8G的纵坐标为3 a ,8.BDF 的铅垂高 FG = 3a 1a=a, 848BDF=1BCg=G 1ag1a a2.22 *16E坐标为（P坐标为（F坐标为（公式应用2左右垂线 、3例2（适合八年级）如图，直线y x 1与3x轴，y轴分别交于点A, B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角AABC ,且1/ BAC=90 .如果在第二象限内有一点 Pa,1,2且AABP的面积与RtA ABC的面积相
4、等，求a的 值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP, AABP 的面积= AOB面积+4BOP面积4AOP面积，然后用a的代数式表示，与RtAABC的面积相等列方程求解；二是将点C沿AB翻折到C位置，则4 ABC面积与 ABC询积相等，若4ABP的面积与RtAABC的面积相等，则可得PC AB,因此，可以由点A, C坐标先求C坐标，再根据AB的 斜率与点C坐标求直线PC的解析式，将点P纵坐标代入，即可求a的值.三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从 A, B, P三点向x轴作垂线，较OB=1,而P的纵坐标为-,所以E为AB的中点,2所以 PE = -a+也, 2从而有-22-1 a ,22
5、23解得a 4.2公式应用3内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向 x轴，也可以作向y轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有 时根据需要也可以取任意两条直线的宽度，则公式可以变化为:1 -EFgCG.简单推导：c八一11 Sa abc = Sz acg Sa bcg=-CGgEH -CGgFH221= 2EFgCG.条垂线将与第三边（AB）的延长线相交，此时顶SA ABC =说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三点(C)到交点(G)的距离为铅垂高(CG) 例3 (适合九年级) 如图所示，直线l: y=3x+3与 x轴交于点A,与y轴交于点B
6、.把4AOB沿y轴翻 折，点A落到点C,抛物线过点B, C和D (3, 0).(1)求直线BD和抛物线的解析式.(2)若BD与抛物线的对称轴交于点 M ,点N在坐 标轴上，以点N, B, D为顶点的三角形与zMCD相 似，求所有满足条件的点N的坐标.(3)在抛物线上是否存在点 P,使Sapbd=6?若存 在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由(4)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点 Q使得BQ CQ的值最大,当 x2 3x 4 时，解得x11,x2 4 ，即当 P (-1, 8)或 P (4, 3)时，Szxpbd=6.解后 ： 从以上几例可以看到， 灵活运用水平宽与铅垂高公式， 可以有效解决三角形面积问题， 尤其是在例 3， 可以将 P 点的两种不同的位置分类统一为 PE 长(绝对值)问题求解，可以有效回避原本点 P 在 BD 上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶 2015 年 1 月 26 日记于温十七中
三角形面积公式之水平宽铅垂高讲义
