2018年二次函数压轴题题型归纳

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1、.一、二次函数常考点汇总1、两点间的距离公式：2、中点坐标：线段的中点的坐标为：直线与的位置关系：1两直线平行且 2两直线相交3两直线重合且 4两直线垂直3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下： 用和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程,求出方程的根；两种形式：分式、二次根式 分析求解：若是分式,分母是分子的因数；若是二次根式,被开方式是完全平方式。例：关于的一元二次方程有两个整数根,且为整数,求的值。4、二次函数与轴的交点为整数点问题。方法同上 例：若抛物线与轴交于两个不同的整数点,且为正整数,试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如

2、下： 已知关于的方程为实数,求证：无论为何值,方程总有一个固定的根。解：当时,； 当时,、；综上所述：无论为何值,方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题,举例如下：已知抛物线是常数,求证：不论为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于的方程；,解得：；抛物线总经过一个固定的点1,1。题目要求等价于：关于的方程不论为何值,方程恒成立小结：关于的方程有无数解7、路径最值问题待定的点所在的直线就是对称轴1如图,直线、,点在上,分别在、上确定两点、,使得之和最小。2如图,直线、相交,两个固定点、,分别在、上确定两点、,使得之和最小。3如图,是直线同旁的两个

3、定点,线段,在直线上确定两点、在的左侧 ,使得四边形的周长最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图,SPAB=1/2 PMx=1/2 ANy9、函数的交点问题：二次函数与一次函数 1解方程组可求出两个图象交点的坐标。 2解方程组,即,通过可判断两个图象的交点的个数 有两个交点 仅有一个交点 没有交点10、方程法 1设：设主动点的坐标或基本线段的长度 2表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 3列方程或关系式11、几何分析法特别是构造平行四边形、梯形、相似三角形、直角三角形、等腰三角形等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何

4、分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移、平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等例题精讲OxyABCD一 基础构图：y=以下几种分类的函数解析式就是这个和最小,差最大 1在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小,求出P点坐标2在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大,求出P点坐标OxyABCD求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P,使得面积最大,求出P坐标OxyABCD 讨论直角三角 连接

5、AC,在对称轴上找一点P,使得为直角三角形,求出P坐标或者在抛物线上求点P,使ACP是以AC为直角边的直角三角形 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P,使得为等腰三角形,求出P坐标OxyABCD 讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标二 综合题型例1 中考变式如图,抛物线与x轴交与A,B两点,顶点为D。交Y轴于C求该抛物线的解析式与ABC的面积。在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使MBC是以BCM为直角的直角三角形,若存在,求出点P的坐标。若没有,请说明理由若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点,过

6、E作EF与X轴垂直,交BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？当E点运动到什么位置时,线段EF的值最大,并求此时E点的坐标？在5的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？在5的情况下点E运动到什么位置时,使三角形BCE的面积最大？例2 考点： 关于面积最值如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为、,点B在x轴上已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点点P与B、C不重合,过点P作y轴的平行线交BC于点Fyx

7、BAFPx1CO1求该二次函数的解析式；2若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段PF的长；3求PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标例3 考点：讨论等腰如图,已知抛物线yx2bxc与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为2,0,点C的坐标为0,11求抛物线的解析式；2点E是线段AC上一动点,过点E作DEx轴于点D,连结DC,当DCE的面积最大时,求点D的坐标；BCOA备用图yx3在直线BC上是否存在一点P,使ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由DBCOAyxE例4考点：讨论直角三角如图,已知点A一1,0和点B1,2,在坐标轴上确定点P,使得ABP为直角三

8、角形,则满足这样条件的点P共有 A2个 B4个 C6个D7个已知：如图一次函数yx1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B；二次函数yx2bxc的图象与一次函数yx1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为1,01求二次函数的解析式；2求四边形BDEC的面积S；OAByCxDE23在x轴上是否存在点P,使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由例5 考点：讨论四边形已知：如图所示,关于x的抛物线yax2xca0与x轴交于点A2,0,点B6,0,与y轴交于点C1求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标；2在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰

9、梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式；3在2中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在,请直接写出点Q的坐标；如果不存在,请说明理由BAyOCx综合练习：1、平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为,OBOC,抛物线的顶点为D。 求此抛物线的解析式； 若此抛物线的对称轴上的点P满足APBACB,求点P的坐标； Q为线段BD上一点,点A关于AQB的平分线的对称点为,若,求点Q的坐标和此时的面积。2、在平面直角坐标系中,已知二次函数的图像与轴交于点,与轴交于A、

10、B两点,点B的坐标为。1 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；2 点M是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM把四边形ACDB分成面积为1 ：2的两部分,求出此时点的坐标；3 点P是第二象限内抛物线上的一动点,问：点P在何处时的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。3、如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴负半轴交于点,顶点为,且对称轴与轴交于点。1求点的坐标用含的代数式表示；2为中点,直线交轴于,若0,2,求抛物线的解析式；3在2的条件下,点在直线上,且使得的周长最小,在抛物线上,在直线上,若以为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标。4、已知关于的方程。1 若方程有两个不相等的实数根,

11、求的取值范围；2 若正整数满足,设二次函数的图象与轴交于两点,将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点时,求出的值只需要求出两个满足题意的k值即可。5如图,抛物线y=ax2+2ax+ca0与y轴交于点C0,4,与x轴交于点A4,0和B1求该抛物线的解析式；2点Q是线段AB上的动点,过点Q作QEAC,交BC于点E,连接CQ当CEQ的面积最大时,求点Q的坐标；3平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为2,0问是否有直线l,使ODF是等腰三角形？若存在,请求出点F的坐标；若不

12、存在,请说明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1已知二次函数yx2xm2的图象与x轴相交于Ax1,0,Bx2,0两点,且x1x21若x1x20,且m为正整数,求该二次函数的表达式；2若x11,x21,求m的取值范围；3是否存在实数m,使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C0,2,若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由；4若过点D0,的直线与1中的二次函数图象相交于M、N两点,且,求该直线的表达式题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题例2 已知二次函数y= x2+mx+m-5,1求证：不论m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点；2求当m取何值时,

13、抛物线与x轴两交点之间的距离最短题型三、抛物线方程的整数解问题例1 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且m5,则整数m的值为_例2已知二次函数yx22mx4m81当x2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围；AOxy2以抛物线yx22mx4m8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正M,N两点在拋物线上,请问：AMN的面积是与m无关的定值吗？若是,请求出这个定值；若不是,请说明理由；3若抛物线yx22mx4m8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的值题型四、抛物线与对称,包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1已知抛物线其中b0,c0与y轴的交点为A,点A关于抛物线对

14、称轴的对称点为B,且AB=2.求m,b的值如果抛物线的顶点位于x轴的下方,且BO=。求抛物线所对应的函数关系式友情提醒：请画图思考题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等例1已知：二次函数的图象与x轴交于不同的两点A,0、B,0,其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D1求实数m的取值范围；2如果+1+1=8,求二次函数的解析式；3把2中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移,如果平移后的函数图象与x轴交于点、,顶点为点C1,且是等边三角形,求平移后所得图象的函数解析式综合提升1已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C0,4,且|AB|2,图象的对称轴为

15、x11求二次函数的表达式；2若二次函数的图象都在直线yxm的下方,求m的取值范围2已知二次函数yx2mxm21若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB,求m的值；2设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N,且SMNC 27,求m的值3. 已知关于x的一元二次方程x22xk20有两个整数根,k5且k为整数1求k的值；2当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数yx22xk2的图象沿x轴向左平移4个单位,求平移后的二次函数图象的解析式；3根据直线yxb与2中的两个函数图象交点的总个数,求b的取值范围4已知二次函数的图象经过点A1,0

16、和点B2,1,且与y轴交点的纵坐标为m1若m为定值,求此二次函数的解析式；2若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围；3若二次函数的图象截直线yx1所得线段的长为2,求m的值四、中考二次函数定值问题1. 2012XXXX8分如图,已知二次函数L1：y=x24x+3与x轴交于AB两点点A在点B左边,与y轴交于点C1写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；2研究二次函数L2：y=kx24kx+3kk0写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化？如果不会,请求出EF的长度；如果会,请说明理

17、由2. 2012XX潍坊11分如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点分别过点C、D作平行于x轴的直线、 求抛物线对应二次函数的解析式； 求证以ON为直径的圆与直线相切； 求线段MN的长,并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长3. 2012XX义乌12分如图1,已知直线y=kx与抛物线交于点A3,61求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；2点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M点M、O不重合,交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是,求

18、出这个定值；如果不是,说明理由；3如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上与点O、A不重合,点Dm,0是x轴正半轴上的动点,且满足BAE=BED=AOD继续探究：m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个？42011株洲孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请解答以下问题：1若测得OA=OB=2如图1,求a的值；2对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BFx轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标；3对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.