数学物理方程讲义学习教案

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1、会计学1数学数学(shxu)物理方程讲义物理方程讲义第一页，共15页。1、一般研究程序： 1）将物理问题依有关定律建立相应的数学(shxu)模型 2）对数学(shxu)模型应用数学(shxu)方法求解 3）将解答通过数学(shxu)论证和实践检验鉴定其正确性 三、研究(ynji)方法及本课程内容2、本课程内容：以三种典型方程的定解问题的求解方法为主要研究内容，重点掌握 1）有关基本概念 2）典型物理问题方程的建立 3）常用的几种(j zhn)解法及典型例题求解第2页/共15页第二页，共15页。2、方程的阶数方程中出现(chxin)的未知函数的最高阶偏导数。 可分为一阶方程、二阶方程、高阶方程2

2、、数学物理、数学物理(wl)方程的基本概念方程的基本概念 一、方程的概念一、方程的概念由未知量组成的关系式（等式由未知量组成的关系式（等式(dngsh)(dngsh)）1 1、按未知量的形式：、按未知量的形式：代数方程代数方程未知量是数量；未知量是数量；函数方程函数方程未知量是函数；未知量是函数；常微分方程常微分方程方程含有函数的导数；方程含有函数的导数；偏微分方程偏微分方程方程含有多自变量函数的偏导数；方程含有多自变量函数的偏导数；积分方程积分方程方程含有未知函数的积分；方程含有未知函数的积分；第3页/共15页第三页，共15页。3、方程的线性与非线性： 线性方程(xin xn fn chn)

3、如果一个偏微分方程的未知函数及其各阶偏导数都是线性的（一次幂），如m个自变量的二阶线性偏微分方程可写成如下形式 非线性方程含有未知函数及其偏导数的非线性项，非线性项有三种(sn zhn)形式： 拟线性方程未知函数的所有(suyu)最高阶偏导数都是线性的 半线性的拟线性方程最高阶导数的系数仅仅是自变量的函数1）未知函数本身为非线性的项，如2）未知函数偏导数的系数含有未知函数或其低阶导数项， 如 3）未知函数最高阶导数为非线性的项，如2,sin ,uuu e2,(sin)xxyyxyyuu u uu u222sin(),uxxyyxxxuux ue u2,1( )( )( )( )mmijii j

4、iijiuuaxb xc x uf xx xx 第4页/共15页第四页，共15页。1、定解条件、定解条件(tiojin)三、定解条件三、定解条件(tiojin)和定解问题和定解问题(1) 初始条件：给出未知函数或其对时间的偏导数的起始状态(zhungti)(2) 边界条件：给出未知函数在所求区域的边界上的值或导数值或两者的线性组合。为完全确定一个物理状态所给出的初始状态和边界状态，即外加的特定条件|( , )suf P t( , )sug P tn()( , )SuuP tnS给定区域v 的边界第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件如：第5页/共15页第五页，共15页。2、定解问题、定解问

5、题(wnt)(1) 初始问题（柯西问题）：只有(zhyu)初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有(zhyu)边界条件的定解问题；依所给边界条件的类型分为：第一类边值问题（Dirichlet问题）；第二类边值问题（Neumann问题）；第三类边值问题（Robbin问题）(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。1）泛定方程：通常称偏微分方程为泛定方程2）把泛定方程和其相应的定解条件结合在一起(yq)，就构成了一个定解问题。3）定解问题的提法第6页/共15页第六页，共15页。1、偏微分方程、偏微分方程(wi fn fn chn)的解的解 古典解：如果将

6、某个函数 u 代入偏微分方程(fngchng)中，能使方程(fngchng)成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程(fngchng)的解。通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同(xin tn)的任意常数的解。 特解：满足方程及定解条件的解，也称为定解问题的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。 四、定解问题的适定性四、定解问题的适定性解析解：可展开成收敛幂级数形式的解。 光滑解：可无穷次可微的解。 第7页/共15页第七页，共15页。 为使定解问题(wnt)的解能反映原来的物理现象，对数学上的解提出的一些标准，称为适定性。包括存在性、唯一性和稳定性。2、定解问题、定解问题(wnt)的适定性

7、的适定性 解的存在性：所给定(i dn)解问题有解；解的稳定性：当定解条件及方程中的系数或自由项有微小 变化时，相应的解也只有相应的微小变动。解的唯一性：所给定解问题只有一个解；第8页/共15页第八页，共15页。2,1( )( )( )( )mmijii jiijiuuaxb xc x uf xx xx 22211122212222uuuuuaaabbcufxx yyxy ( , ), ( , ), ( , )xxyyx yx y ， ），即：二阶线性偏微分方程的一般(ybn)形式3、二阶线性偏微分方程、二阶线性偏微分方程(wi fn fn chn)的分类的分类 特别对有两个(lin )自变量

8、（x，y）函数的二阶线性偏微分方程可写为：为简化方程设作代换则由复合函数的求导有第9页/共15页第九页，共15页。111222122A uA uA uBuB uCuF22111112221211122222221112222()2xxyyxxxyyxyyxxyyAaaaAaaaAaaa 22111222 20 xxyya za z za z而，恰是方程的解期中(q zhn)系数 ( , ) z x yc设是上述方程的解 xyzdydxz 则由复合函数求导得：2111222 ()20dydyaaadxdx从而上式变为常微分方程原方程(fngchng)的特征方程(fngchng)可见若有 使上两式

9、为零，则原方程可以简化。，第10页/共15页第十页，共15页。由一元二次方程的求解,可将特征方程分成(fn chn)两个方程：121122 ( , ) ( , ) Az x yzx yA取和则，均为零，原方程可简化2212121122121211221111 , aaa aaaa adydydxadxa1122 z ( , ) z ( , ) x ycx yc进而得特征方程的通解和称为特征曲线2121122 ( , )3x yaa a根据判别式 的符号可将二阶线性偏微分方程化为 类2121122 ( , )0 x yaa a1） 原方程为双曲型偏微分方程2121122 ( , )0 x yaa

10、 a2）=原方程为抛物型偏微分方程 uAuBuCuF双曲型方程的第一标准型形式 uuAuBuCuF双曲型方程的第二标准型形式 uAuBuCuF抛物型方程的标准型形式第11页/共15页第十一页，共15页。222220uuatx22201 ()0aa 双曲型方程(fngchng) 02222yuxu201 10 椭圆型方程(fngchng) 222xuatu201 00 抛物型方程(fngchng) uuAuBuCuF椭圆型方程的标准型形式2121122 ( , )0 x yaa a3） 原方程为椭圆形偏微分方程例如：波动方程 位势方程 热传导方程 222121122121122 )()xyyxA

11、A Aaa a 由于（所以，判别式 的符号在作变量代换时不变，即所作变量代换不改变方程类型( , )x y第12页/共15页第十二页，共15页。4、线性叠加原理、线性叠加原理(yunl)线性方程的解具有(jyu)叠加特性 1 LC uC LuC、（为 任 意 常 数 ） 2,1( )( )( )( )mmijii jiijiuuL uaxbxc x ufxxxx对n个自变量的二阶线性偏微分方程(wi fn fn chn) 容易验证L是线性微分算子，即满足性质 121212+ L uuL uL uuu2、（、为任意函数）121211221122+C uuCCL C uC uC L uL u综 合

12、 得 ： 对 任 意 函 数、和 常 数、有 对于一般的线性边界条件()( , )SuuP tn 也可以写成算子的形式 snuuuL)(0可以证明L0也是线性算子第13页/共15页第十三页，共15页。 1,2,iiL ufimiiuCu 叠加原理1 设ui满足线性方程（或者(huzh)线性定解条件） 则它们(t men)的任意线性组合 也满足方程（或定解条件） 11mmiiiiL uL C uC f 叠加原理(yunl)2 设ui满足线性方程（或者线性定解条件）1 iiuCu又设级数 收敛及满足其它必要条件 1,2,iiL ufi 那么u满足线性方程（或者线性定解条件） 11iiiiL uL CuC f第14页/共15页第十四页，共15页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第15页/共15页第十五页，共15页。