多元函数微分学的几何应用23888学习教案

《多元函数微分学的几何应用23888学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元函数微分学的几何应用23888学习教案（21页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、会计学1多元函数微分学的几何多元函数微分学的几何(j h)应用应用23888第一页，共21页。6.5 多元多元(du yun)函数微分学的几函数微分学的几何应用何应用6.5.1 空间空间(kngjin)曲线的切线曲线的切线与法平面与法平面 设空间曲线设空间曲线(qxin)的方程的方程ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.MM 1 空间曲线由参数方程给出时空间曲线由参数方程给出时 第1页/共20页第二页，共21页。考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置 切线切线(qixin)的过程的过程上式分母上式分母(fnm)同除以同除以ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM 曲

2、线在曲线在M处的切线处的切线(qixin)方方程程第2页/共20页第三页，共21页。 注注 上式中的分母不能全为零。如其中某一个分上式中的分母不能全为零。如其中某一个分母为零，则相应母为零，则相应(xingyng)的分子也为零。的分子也为零。切向量：切线的方向切向量：切线的方向(fngxing)向量称为曲线的向量称为曲线的切向量切向量. 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直点且与切线垂直(chuzh)的的平面平面.第3页/共20页第四页，共21页。1. 空间空间(kngjin)曲线方程为曲线方程为法平面方程法平面方程(fngchng)为为特殊特殊(tsh)地：地：第4页/共20页第五页，共21

3、页。 点点M0(x0，y0，z0)是是 上一点上一点(y din)，又设，又设F，G对对各变量有连续偏导数，且各变量有连续偏导数，且2 当曲线当曲线(qxin) 由交面式方程给出由交面式方程给出时时 由本章第五节所讲隐函数存在定理由本章第五节所讲隐函数存在定理(dngl)3(dngl)3知，在知，在M0M0的某邻域确定了一组连续可导的函数的某邻域确定了一组连续可导的函数第5页/共20页第六页，共21页。上式等于上式等于(dngy)(dngy)两端对两端对x x求导数，得求导数，得 代入代入( (1) )式得恒等式式得恒等式切线切线(qixin)方程方程为为第6页/共20页第七页，共21页。法平

4、面方程法平面方程(fngchng)为为 (ii) 我们推出（我们推出（2）式是在（）式是在（2）式中的第一个分母不）式中的第一个分母不为为(b wi)零的条件下将零的条件下将y、z视作的视作的x函数而推出的，如函数而推出的，如（2）式中的第一个分母为零，而第二或第三个分母不为）式中的第一个分母为零，而第二或第三个分母不为(b wi)零，这时可视零，这时可视y或或z为自变量，同样可推出公式为自变量，同样可推出公式（2）。）。注注(i) 如如(2)式中有的分母式中有的分母(fnm)为零为零,则相应分子为零。则相应分子为零。第7页/共20页第八页，共21页。解解切线切线(qixin)方程方程法平面方

5、程法平面方程(fngchng)第8页/共20页第九页，共21页。第9页/共20页第十页，共21页。所求切线所求切线(qixin)方程为方程为法平面方程法平面方程(fngchng)为为第10页/共20页第十一页，共21页。1 设曲面设曲面(qmin)方程为方程为曲线曲线(qxin)在在M处的切向量处的切向量 在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过过(tnggu)点点M的曲线的曲线nTM曲面曲面上过点上过点M0且具有切线的任何曲线，它们在点且具有切线的任何曲线，它们在点M0处的切处的切线都位于同一平面上。线都位于同一平面上。 6.5.2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线第11页/共20页第十二

6、页，共21页。切平面切平面(pngmin)方程为方程为第12页/共20页第十三页，共21页。 过过M0而垂直于切平面的直线称为曲面而垂直于切平面的直线称为曲面(qmin)在点在点M0处的法线。法线方程为处的法线。法线方程为 称为称为(chn wi)(chn wi)曲面曲面在点在点M0M0处的一个法向量处的一个法向量第13页/共20页第十四页，共21页。2 空间曲面空间曲面(qmin)方程形为方程形为曲面在曲面在M处的切平面处的切平面(pngmin)方程为方程为曲面曲面(qmin)在在M处的法线方程为处的法线方程为令令法向量法向量第14页/共20页第十五页，共21页。切平面切平面(pngmin)

7、上点的上点的竖坐标的竖坐标的增量增量因为因为(yn wi)曲面在曲面在M处的切平面方程处的切平面方程为为第15页/共20页第十六页，共21页。4 曲面法向量曲面法向量(xingling)的方向角、方向余的方向角、方向余弦弦 假定取法向量假定取法向量(xingling)的方向是向上的方向是向上的，则的，则 式中式中fx=fx(x0，y0)， fx=fy(x0，y0)。 思考如果取思考如果取n向下时，方向余弦向下时，方向余弦(yxin)应如何应如何求？求？如方程为如方程为F( (x，y，z)=0)=0时，如何求方向余弦？时，如何求方向余弦？如方程为如方程为x=g(y, ,z)时时, ,或或y=h(

8、z, ,x)时如何求方向余时如何求方向余弦？弦？第16页/共20页第十七页，共21页。解解切平面切平面(pngmin)方程为方程为法线法线(f xin)方程为方程为第17页/共20页第十八页，共21页。解解令令切平面切平面(pngmin)方程方程法线法线(f xin)方程方程第18页/共20页第十九页，共21页。解解设设(x0 ,y0 z0 )为曲面为曲面(qmin)上的切点上的切点,切平面切平面(pngmin)方程为方程为依题意，切平面方程依题意，切平面方程(fngchng)平行于已知平行于已知平面，得平面，得因为因为(x0 ,y0 z0 ) 是曲面上的切点是曲面上的切点所求切点为所求切点为切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)第19页/共20页第二十页，共21页。NoImage内容(nirng)总结会计学。6.5.1 空间曲线的切线与法平面。第2页/共20页。注 上式中的分母(fnm)不能全为零。如其中某一个分母(fnm)为零，则相应的分子也为零。的某邻域确定了一组连续可导的函数。6.5.2 曲面的切平面与法线。过M0而垂直于切平面的直线称为曲面在点M0处的法线。切平面上点的竖坐标的增量。假定取法向量的方向是向上的，则。如方程为F(x，y，z)=0时，如何求方向余弦。切平面方程(2)。第19页/共20页第二十一页，共21页。