直线平面平行的判定与性质

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1、-8.4直线、平面平行的判定与性质2014高考会这样考1.考察空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系复习备考要这样做1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的表达步骤要完整，防止因条件书写不全而失分；2.学会应用化归思想进展线线问题、线面问题、面面问题的互相转化，牢记解决问题的根源在定理1直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba难点正本疑点清源1证明线面平行是高考中常见的问

2、题，常用的方法就是证明这条线与平面内的*条直线平行但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内2在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用3辅助线(面)是解(证)线面平行的关键为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)1不重合的直线a，b和平面，假设a，b，则ab；假设a，b，则ab；假设ab，b，则a；假设ab，a，则b或b.上面命题中正确的选项是_(填序号)答案解析假设a，b，则a，b平行或异面；假设a，b，则a，b平行、相交、异面都有可能；假设ab，b，则a或a.2、是不同的两个

3、平面，直线a，直线b，命题p：a与b没有公共点；命题q：，则p是q的_条件答案必要不充分解析a与b没有公共点，不能推出，而时，a与b一定没有公共点，即pD/q，qp，p是q的必要不充分条件3平面平面，直线a，有以下命题：a与内的所有直线平行；a与内无数条直线平行；a与内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是_答案解析因为，a，所以a，在平面内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题为真命题，命题为假命题在平面内存在无数条直线与直线a垂直，故命题为假命题4(2011)假设直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l

4、平行D内的直线与l都相交答案B解析由题意知，直线l与平面相交，则直线l与平面内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的5(2012)以下命题正确的选项是()A假设两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C假设一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D假设两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案C解析利用线面位置关系的判定和性质解答A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，ABC的三个顶点中，A、B在的同侧，而点C在的另一侧，且AB平行于，此时可有A

5、、B、C三点到平面的距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，应选C.题型一直线与平面平行的判定与性质例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且APDQ.求证：PQ平面BCE.思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质证明方法一如下图作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，连接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，AEBD.又APDQ，PEQB，又PMABQN，PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形，PQMN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面

6、BCE.方法二如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K，连接EK，AEBD，APDQ，PEBQ，又ADBK，PQEK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ平面BCE.方法三如图，在平面ABEF内，过点P作PMBE，交AB于点M，连接QM.PM平面BCE，又平面ABEF平面BCEBE，PMBE，又AEBD，APDQ，PEBQ，MQAD，又ADBC，MQBC，MQ平面BCE，又PMMQM，BEBCB，平面PMQ平面BCE，又PQ平面PMQ.PQ平面BCE.探究提高判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的

7、性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，AB2，PA1，PA平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点求证：BE平面PDF.证明取PD中点为M，连接ME，MF，E是PC的中点，ME是PCD的中位线，ME綊CD.F是AB的中点且四边形ABCD是菱形，AB綊CD，ME綊FB，四边形MEBF是平行四边形，BEMF.BE平面PDF，MF平面PDF，BE平面PDF.题型二平面与平面平行的判定与性质例2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共

8、面；(2)平面EFA1平面BCHG.思维启迪：要证四点共面，只需证GHBC；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行证明(1)GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E、F分别为AB、AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG.A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.探究提高证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于

9、另一个平面，则这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行；(5)利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化 证明：假设一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线解：直线a平面，直线a平面，b.求证：ab.证明：如下图，过直线a作平面，分别交平面，于直线m，n(m，n不同于交线b)，由直线与平面平行的性质定理，得am，an，由平行线的传递性，得mn，由于n，m，故n平面.又n，b，故nb.又an，故ab.题型三平行关系的综合应用例3如下图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置

10、时其截面面积最大？思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值解AB平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.ABFG，ABEH，FGEH，同理可证EFGH，截面EFGH是平行四边形设ABa，CDb，FGH (即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)又设FG*，GHy，则由平面几何知识可得，两式相加得1，即y(a*)，SEFGHFGGHsin *(a*)sin *(a*)*0，a*0且*(a*)a为定值，当且仅当*a*时，*(a*)，此时*，y.即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最

11、大探究提高利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.证明如下：Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.P、O分别为DD1、DB的中点，D1BPO.又D1B平面PAO，PO平面PAO，QB平面PAO，PA平面PAO，D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，D1B、QB平面D1BQ，平面D1BQ平面PAO.立

12、体几何中的探索性问题典例：(12分)如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论审题视角(1)可过E作平面ABB1A1的垂线、作线面角；(2)先探求出点F，再进展证明B1F平面A1BE.注意解题的方向性标准解答解(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.2分又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上

13、的射影，EBM为BE和平面ABB1A1所成的角4分 图(a)设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE3.于是，在RtBEM中，sinEBM，5分即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.6分(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1CA1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，图(b)所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E四点共面所以BG平面A1BE.8分因四边形C1CDD1与B1BCC1

14、皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1FBG，10分而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.12分答题模板对于探索类问题，书写步骤的格式有两种：一种：第一步：探求出点的位置第二步：证明符合要求第三步：给出明确答案第四步：反思回忆查看关键点，易错点和答题标准另一种：从结论出发，要使什么成立，只需使什么成立，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法温馨提醒(1)此题属立体几何中的综合题，重点考察推理能力和计算能力(2)第(1)问常见错误是无法作出平面ABB1A1的垂线，以致无法确定线面角

15、(3)第(2)问为探索性问题，找不到解决问题的切入口，入手较难(4)书写格式混乱，不条理，思路不清晰方法与技巧1平行问题的转化关系2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.失误与防范1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从低维到高维的转化，即从线线平行到线面平行，再到面面平行；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于模式化3解题中注意符号语言的标准应用A

16、组专项根底训练(时间：35分钟，总分值：57分)一、选择题(每题5分，共20分)1假设直线m平面，则条件甲：直线l是条件乙：lm的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D2直线a，b，c及平面，以下条件中，能使ab成立的是()Aa，bBa，bCac，bcDa，b答案C解析由平行公理知C正确，A中a与b可能异面B中a，b可能相交或异面，D中a，b可能异面3在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是()A平行 B平行和异面C平行和相交 D异面和相交答案B解析CD，CD和平面内的直线没有公共点4设m、n表示不同直线，

17、、表示不同平面，则以下结论中正确的选项是()A假设m，mn，则nB假设m，n，m，n，则C假设，m，mn，则nD假设，m，nm，n，则n答案D解析D中，易知m或m，假设m，又nm，n，n，假设m，过m作平面交平面于直线p，则mp，又nm，np，又n，p，n.二、填空题(每题5分，共15分)5过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条答案6解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的

18、直线共6条6.如下图，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案a解析平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP，CQ，从而DPDQ，PQa.7.如下图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.答案M线段HF解析由题意，得HN面B1BDD1，FH面B1BDD1.

19、HNFHH，面NHF面B1BDD1.当M在线段HF上运动时，有MN面B1BDD1.三、解答题(共22分)8(10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：PAGH.证明如图，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，APOM.则有PA平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，PAGH.9.(12分)如图，平行四边形ABCD中，BC6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点(1)求证：GH平面CDE；(2)假设CD2

20、，DB4，求四棱锥FABCD的体积(1)证明方法一EFAD，ADBC，EFBC.又EFADBC，四边形EFBC是平行四边形，H为FC的中点又G是FD的中点，HGCD.HG平面CDE，CD平面CDE，GH平面CDE.方法二连接EA，ADEF是正方形，G是AE的中点在EAB中，GHAB.又ABCD，GHCD.HG平面CDE，CD平面CDE，GH平面CDE.(2)解平面ADEF平面ABCD，交线为AD，且FAAD，FA平面ABCD.ADBC6，FAAD6.又CD2，DB4，CD2DB2BC2，BDCD.SABCDCDBD8，VFABCDSABCDFA8616.B组专项能力提升(时间：25分钟，总分值

21、：43分)一、选择题(每题5分，共15分)1设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且l1Bml1且nl2Cm且nDm且nl2答案B解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1m可得l1，同理可得l2，故可得，充分性成立，而由不一定能得到l1m，它们也可以异面，故必要性不成立，应选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由于nl2可转化为n，同选项C，故不符合题意综上选B.2下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的

22、图形是()A B C D答案A解析由线面平行的判定定理知图可得出AB平面MNP.3给出以下关于互不一样的直线l、m、n和平面、的三个命题：假设l与m为异面直线，l，m，则；假设，l，m，则lm；假设l，m，n，l，则mn.其中真命题的个数为()A3 B2 C1 D0答案C解析中当与不平行时，也能存在符合题意的l、m.中l与m也可能异面中lm，同理ln，则mn，正确二、填空题(每题5分，共15分)4平面平面，P是、外一点，过点P的直线m与、分别交于A、C，过点P的直线n与、分别交于B、D且PA6，AC9，PD8，则BD的长为_答案24或解析根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD的长分别为或2

23、4.5.一个正方体的展开图如下图，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为_答案解析复原为正方体如下图，BECD，则EBA就是异面直线CD与AB所成的角或所成角的补角设正方体棱长为2，则BE2，BA，AE3.所以在ABE中，由余弦定理得cos EBA.6正方体ABCDA1B1C1D1，以下结论中，正确的结论是_(只填序号)AD1BC1；平面AB1D1平面BDC1；AD1DC1；AD1平面BDC1.答案三、解答题7(13分)如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点(1)求三棱锥APDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA平面EDM？假设存在，求出AM的长；假设不存在，请说明理由解(1)因为PD平面ABCD，所以PDAD.又因ABCD是矩形，所以ADCD.因PDCDD，所以AD平面PCD，所以AD是三棱锥APDE的高因为E为PC的中点，且PDDC4，所以SPDESPDC4.又AD2，所以VAPDEADSPDE24.(2)取AC中点M，连接EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EMPA.又因为EM平面EDM，PA平面EDM，所以PA平面EDM.所以AMAC.即在AC边上存在一点M，使得PA平面EDM，AM的长为. z.